(完整版)《电路分析》谭永霞PPT课件06

1、 本章介绍正弦电流电路的基本概念，正弦量的相量表示，本章介绍正弦电流电路的基本概念，正弦量的相量表示，基尔霍夫定律的相量形式以及电阻、电感、电容伏安关系的相基尔霍夫定律的相量形式以及电阻、电感、电容伏安关系的相量形式等，为正弦稳态电路的分析和计算打下基础。量形式等，为正弦稳态电路的分析和计算打下基础。第六章第六章 正弦电流电路的基本概正弦电流电路的基本概念念6 61 1 正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念 6 62 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 6 63 3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 6 64 4 电阻、电感、电容元件电阻、电感、电容元件伏安伏安 关系的相量形式关

2、系的相量形式主主 要要 内内 容容 正弦信号可以用正弦信号可以用 sin 表示，也可以用表示，也可以用 cos 表示，本课用表示，本课用 cos 。 一一. 正弦电压和电流（以电压为例）正弦电压和电流（以电压为例） 的波形如右图所示，横坐标的波形如右图所示，横坐标可以是可以是 t 也可以是也可以是t ，它们分别标于，它们分别标于横轴的上方和下方。横轴的上方和下方。 1. 各量的物理概念各量的物理概念 式（式（61 ）中）中 u (t ) 电压瞬时值，电压瞬时值，u (t ) 也可简写为也可简写为 u 。( )cos()muu tut( )u tumumtt2tt （61）6 61 1 正弦信号

3、的基本概念正弦信号的基本概念 u um 电压最大值或振幅电压最大值或振幅 波形图中波形图中 t 电压的周期（秒电压的周期（秒 ，s） 定义：定义： 频率（赫兹，频率（赫兹， hz1/s） 由波形的横轴看出由波形的横轴看出 1ft2t2 2ft 角频率（弧度角频率（弧度/秒，秒， rad / s） 式（式（61 ）中）中ut u (t ) 的相位角，简称相位的相位角，简称相位u u (t ) 的初相位。可以用弧度或度（的初相位。可以用弧度或度（）表示，通常在主）表示，通常在主值范围内取值，即值范围内取值，即 。180u 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 由式（由式（6 1）可见，只要知道了正弦

4、量的最大值、频率（或角频率）和初）可见，只要知道了正弦量的最大值、频率（或角频率）和初相位，则就可写出该正弦量的表达式，故将此三个量称为正弦量的三要素。相位，则就可写出该正弦量的表达式，故将此三个量称为正弦量的三要素。 正弦量的三要素为正弦量的三要素为um、f（或（或）、）、 。 f 0 t u (t ) 常数常数 直流，可见，直流信号可直流，可见，直流信号可视为正弦信号的特例。视为正弦信号的特例。 3. u (t ) 波形波形 （ u (t ) 与其波形对应关系）与其波形对应关系） 0 、 0 和和 0 时的波形相当于将标时的波形相当于将标准波左移准波左移 ， 0 时的波形相当于标准波右移时

5、的波形相当于标准波右移 。u 说明：说明：( )cos()muu tutuuuuuuu u (t ) 波形的画法如下波形的画法如下 ： 标准波左移标准波左移 弧度弧度 标准波右移标准波右移 弧度弧度 结论：结论：uuuumumum202ttt图（图（a）图（图（b）图（图（c）0u0uuucos()ut0u：将：将 cos 标准波左移标准波左移 u0u：将：将 cos 标准波右移标准波右移 u（正左、负右）（正左、负右）此结论对此结论对 sin 表示的正弦量也适用，只是标准波不同罢了。表示的正弦量也适用，只是标准波不同罢了。 002uu 例例 61 正弦电压正弦电压 u (t ) 的最大值的最

6、大值um v，频率，频率 f 50 hz ，初相，初相角角 。（。（1）求）求 t 、，写出，写出 u (t )的表达式并画波形；（的表达式并画波形；（2）求）求 t 1s时的电压值时的电压值 u (1) 。220 230u解（解（1）110.02 20 50tsmsf2100 /314 /frad srad s( )cos()220 2cos(10030 )220 2cos(31430 ) vmuu tuttt u (t )波形如下图所示，由于初相波形如下图所示，由于初相300u波左移波左移 。6，故，故 u (t ) 波形为标准波形为标准u / v2314t /rad220 2660（2）

7、(1)220 2cos(1001 30 ) vu 式中，括号内第一项为弧式中，括号内第一项为弧度，第二项为度，计算时应将弧度化为度，即度，第二项为度，计算时应将弧度化为度，即360(1)220 2cos(10030 )269.44 v2u 例例 62 电流波形如下图所示。试求电流波形如下图所示。试求 t 、f 、，并分别用，并分别用 cos 和和 sin 写出写出i (t ) 的表达式的表达式 。1000t /rad2410i / a0解解 由横坐标可见，由横坐标可见，1000 rad /s ，所以，所以1000 159 22fhzhzmssft 28. 6 1000211000t /rad2

8、410i / a0 右图波形为标准波右移右图波形为标准波右移 的结的结4果，因此果，因此 i (t ) 的初相为负，大小为的初相为负，大小为 4即即 ，故，故45( )10cos(100045 )i tt根据三角公式根据三角公式 ，cossin(90 )i (t ) 亦可表示为亦可表示为( )10sin(10004590 )10sin(100045 ) ai ttt若从波形移动上看，上图波形相当于标准波若从波形移动上看，上图波形相当于标准波 左移左移 的结果，的结果，10sin() t4因此因此 i (t ) 用用 sin 函数表示时，其初相为正，大小为函数表示时，其初相为正，大小为 ，故可直

9、接写出，故可直接写出4( )10sin 100010sin(100045 ) a4i ttt41000t /rad2410i / a0o1o2o344 例例 63 上例所示波形（见下图），若时间起点分别为上例所示波形（见下图），若时间起点分别为o1 、 o2 、 o3 （见虚（见虚线纵轴所示），试写出线纵轴所示），试写出 i 的表达式（用的表达式（用 cos 表示）。表示）。解解o1 起点：起点： ( )10cos 1000410cos(100045 ) ai ttto2 起点：起点： 3( )10cos 1000410cos(1000135 ) ai ttto3起点：起点： 3( )10co

10、s 100010cos(1000135 ) a4i ttt 二二 . 同频率正弦量的相位关系同频率正弦量的相位关系 ( )cos()muu tut( )cos()mii titu 与与 i 的相位差用的相位差用 表示，则有表示，则有()()uiuitt 说明：说明：（1） 即即 u 与与 i 同相（位）同相（位） 0ui（2） u 与与 i 反相（位）反相（位） （3） u 与与 i 正交正交 2 （4） u 超前超前 i 为为 ，或，或 i 滞后滞后 u 为为01801800 u 滞后滞后 i 为为 ，或，或 i 超前超前 u 为为u 与与 i 同相、反相、正交、超前（滞后）的波形分别如下面

11、的图（同相、反相、正交、超前（滞后）的波形分别如下面的图（a）、）、（b）、（）、（c）、（）、（d）所示。）所示。2图（图（a）图（图（b）图（图（c）图（图（d）ttttuuuu i i i i 2图（图（c）tu i 上图（上图（c）中）中 u 与与 i 正交，具体是正交，具体是 i 超前超前 u 为为 （或（或 ）。图（）。图（d）中，）中， i 290图（图（d）tu i 滞后滞后 u 为为 。由由 u 、 i 波形可直接判断超前、滞后关系。若波形可直接判断超前、滞后关系。若 u 的最大值的最大值 um 比比 i 的最大的最大值值 im 提前出现（在小于提前出现（在小于 的范围内），

12、则的范围内），则 u 超前超前 i ，超前的弧度为，超前的弧度为 um 与与 im 对应横轴之间的弧度，也可以是对应横轴之间的弧度，也可以是 u 、 i 由负到正通过零值点之间的弧度。由负到正通过零值点之间的弧度。 例例 64 已知：已知： ， ， ， 。试求。试求 与与 、 、 的相位差，并说明它们超前或滞后的关系。的相位差，并说明它们超前或滞后的关系。 解解 同频率正弦量的相位关系必须在相同函数（均为同频率正弦量的相位关系必须在相同函数（均为 cos 或均为或均为 sin ）的）的前题下进行比较，同时函数的最大值应该用正值表示。为此将前题下进行比较，同时函数的最大值应该用正值表示。为此将

13、、 改写为改写为 1100cos(60 ) vut250cos(10 ) vut350sin(150 ) vut460cos(30 ) vut u1u3u4u3u4460cos(30 ) v60cos(30180 ) v60cos(150 ) vuttt （ u1 超前超前 u2 为为 ）50（ u1 滞后滞后 u3 为为 ）60超过主值范围，故改写成超过主值范围，故改写成（ u1 滞后滞后 u4 为为 ）150u2v )120 50cos(v )90150 50cos(v )150 sin(503tttu210)150(604150106021、601206031、

14、 例例 65 试由下图所示波形说明试由下图所示波形说明u1 、u2 、u3 的相位关系。的相位关系。0tu1u2u34解解 由图可见：由图可见：u1 与与 u2 的相位差的相位差 ， u1 超前超前 u2 为为 ；1 23244、135u2 与与 u3的相位差的相位差 ， u2 超前超前 u3 为为 ；23244、3135u3 与与 u1的相位差的相位差 ， u3超前超前 u1 为为 。23、190 三三 . 周期信号的有效值周期信号的有效值 定义（以图和式表示）：定义（以图和式表示）：rri (t )ii (t ) 周期电流周期电流i 恒定电流恒定电流功率：功率：2pi r2pi r一周期内

15、耗能：一周期内耗能： 2 0 0ttwpdtri dt2wi rt若若 即即 （1）ww 22 0tri dti rt则则 i 称为周期电流称为周期电流 i (t ) 的有效值。由上式有的有效值。由上式有 2 01tii dtt 称为方均根值称为方均根值结论结论周期电流周期电流 i (t ) 的有效值的有效值 i 周期电流周期电流 i (t ) 的方均根值的方均根值同理周期电压同理周期电压 u (t ) 的有效值为的有效值为 2 01tuu dtt 四四 . 正弦信号的有效值正弦信号的有效值 1 . 正弦量的有效值正弦量的有效值 正弦信号是周期信号，故上式适用。以电流为例，设正弦信号是周期信号

16、，故上式适用。以电流为例，设将将 i (t ) 代入方均根式中，得电流的有效值代入方均根式中，得电流的有效值( )cos()mii tit 22 01cos ()0.7072tmmimiiitdtit或或 同理同理 正弦电压的有效值与最大值之关系为正弦电压的有效值与最大值之关系为2mii2muu 2muu 2 . 用有效值表示正弦量用有效值表示正弦量故正弦量的三要素为：故正弦量的三要素为：u（或（或 um）、）、 f（或（或）、）、注意注意在正弦电路中，要严格区分字母的大、小写。瞬时量必须小写，在正弦电路中，要严格区分字母的大、小写。瞬时量必须小写， 有效值和最大值必须大写。有效值和最大值必须

17、大写。，) cos( 2)(ititi) cos( 2)(ututu6 62 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 正弦电路如果用正弦量的瞬时值进行分析，会涉及繁杂的三角运算及微分、正弦电路如果用正弦量的瞬时值进行分析，会涉及繁杂的三角运算及微分、积分等运算，为简化分析，我们采用一种变换方法积分等运算，为简化分析，我们采用一种变换方法 相量法。相量法的基础相量法。相量法的基础是复数运算，下面先对复数作简要复习，然后再介绍正弦量的相量表示法。是复数运算，下面先对复数作简要复习，然后再介绍正弦量的相量表示法。 一一. 复数复数 复数复数 a 可表示为可表示为 a a1 j a2 式中式中 j 为虚

18、数单位（数学中是为虚数单位（数学中是 i ，为避免与电流，为避免与电流 i 混淆，电路中混淆，电路中改用改用 j ），）， a1 是是 a 的实数部分，简称实部，表为的实数部分，简称实部，表为 a1 re ， a2 是是 a 的虚的虚数部分，简称虚部，表为数部分，简称虚部，表为 a2 im 。归纳：。归纳： aa11a a1 j a2j 1a1 rea2 imaa 1 . 复数在复平面上的表示复数在复平面上的表示 通常复数通常复数 a 在复平面上是用一个矢量表示，在复平面上是用一个矢量表示，该矢量从坐标原点指向该矢量从坐标原点指向 a 的坐标点（的坐标点（ ， ），），为右图所示。为右图所示。

19、a 矢量的长度称为矢量的长度称为 a 的模，记为的模，记为 ，a 矢量与正实轴之夹角矢量与正实轴之夹角称为称为 a 的幅角。的幅角。 2 . 复数的几种数学表示式复数的几种数学表示式 （1） 由上图有：由上图有：0a1a2a1a2aa a 的模的模 a 幅角幅角aa a1 j a2 代数式代数式 aa cosa sina (cossin)jj欧拉公式欧拉公式aje1ja （2） 指数式指数式 （3） 极坐标式极坐标式 （4） 各量之关系各量之关系 由右图可见由右图可见aaje0a1a2a1ja1 a cosa2 a sin2212aaa21arctanaaa 例例 66 复数复数 a j ，b

20、 j ，c 1 ，d 2 j 1.5 。试写出它们。试写出它们的极坐标式，并在复平面上画出对应的矢量。的极坐标式，并在复平面上画出对应的矢量。 解解 d36.8701211.5 a 1c1b1jaa 221 901 9011 1801.521.521.5 arctan2.5 36.872ajbjcdj 3 . 复数的若干运算复数的若干运算 （1） 用代数式进行运算方便用代数式进行运算方便 设设 则则 c 与与 a 、b 矢量的关系如左下图所示，一般为了减少辅助线（虚线），常矢量的关系如左下图所示，一般为了减少辅助线（虚线），常画成右下图形式。画成右下图形式。ab12aaja12bbjb1122

21、dab()()abj ab01jacb01jacb)()()()(bac22112121bajbajbbjaaca+b ca+b d 与与 a 、b 矢量之关系如左下图所示，亦可画成右边两种形式。矢量之关系如左下图所示，亦可画成右边两种形式。1122dab()()abj ab01jadbb01jadbb01jadb （2） 、 用指数式或极坐标式运算方便用指数式或极坐标式运算方便 设设 ， 则则a ba b12aaa aja12bbb bjbaba ba b abaa bbdab dab dab （3） （或（或 ） 与与 a 之关系之关系 与与 a 的矢量如右上图所示。由图可见，的矢量如右上

22、图所示。由图可见， 矢量为矢量为 a 矢量逆时针矢量逆时针转一个转一个 角的结果。例如角的结果。例如 和和 、 的矢量如下图所示：的矢量如下图所示：ajea aaa je()aaa jjee 则则设设ajeaje01aajeaa 30a 120a 1203001a.120120a 120a 120 二二 . 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 设设取复数取复数 进行分析：进行分析：可见可见( )cos()2cos()muuu tutut()ujtmu e()cos()sin()ujtmmumuu eutjut()( )cos()reujtmumu tutu e或或 上式改写为上式改写为上两式

23、中上两式中 称为电压最大值相量称为电压最大值相量 称为电压有效值相量称为电压有效值相量 umjmmueuuu ujuueuu tjmtjjmeueeutuu rere)(tjtjjeueuetuu 2re2re)( 说明：说明： （1） 相量：表示正弦量的复数称为相量。相量：表示正弦量的复数称为相量。 （2） 相量图：用矢量表示相量的图形称为相量图。相量图：用矢量表示相量的图形称为相量图。 例如例如 v 的相量图如右所示。的相量图如右所示。 （3） 正弦量与相量是正弦量与相量是 一一 一一 对应之关系，即对应之关系，即u (t ) 和和 i (t ) 是在时间域中，而是在时间域中，而 、 是在

24、复数域中，它们不是相等关系。是在复数域中，它们不是相等关系。 例例 67 已知：已知： ， ， 。试写出它们对应的有效值相量，并画相量图。试写出它们对应的有效值相量，并画相量图。145u (t ) i (t ) 110cos(31445 ) ait210cos(31445 ) ait 310sin(31445 ) aituum245 10uuuiui 解解 将将 i2 和和 i3 写成标准形式写成标准形式于是于是210cos(31445 ) a10cos(31445180 )10cos(314135 ) aittt 310sin(31445 ) a10cos(31445 ) aitt亦可根据已

25、知的亦可根据已知的 i2 直接写出直接写出 ，即，即 由已知的由已知的 i3 得得 、 、 的相量图如右图所示。的相量图如右图所示。014545a 45 2101ia 135 2102i2i 135 210a 80145 210a 45 2102ia 45 2103i1i1i2i2i3i3i 例例 68 已知：已知： ， ， ， f 50 hz 。试写出。试写出 u1 (t) 、 u2 (t) 和和 u3 (t) 的表达式。的表达式。 解解 也可根据正弦量的三要素直接写出也可根据正弦量的三要素直接写出 u1 (t) 1( )100 2cos(31445 ) vu tt2( )220 2cos(

26、314120 ) vu tt因为因为故故3( )110 2cos(314120 ) vu ttv 45 1001uv 201 2202uv )5 .9555(3juv )45314cos(2100100 2re2re)( 45 11teeeututjjtjv 120 110v )5 .9555(3ju同理同理6 63 3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 一一 . kcl 时域中：时域中：当各当各 i (t ) 为同频率正弦量时，则为同频率正弦量时，则 ( )0ki t 与与 re 可互换可互换各各 i 的的 相等相等上式中上式中于是于是0j te所以有所以有 或或结论结论( )0

27、i t 各各 i 为为 同同 f 正弦量正弦量或或tjkmkeiti re)(tjkmei rekmtjie re0re kmtjie0kmi0ki0i0mi 二二 . kvl 分析同上分析同上( )0u t 各各 u 为为 同同 f 正弦量正弦量或或 例例 69 下图（下图（a）所示为电路中的一个节点，试求）所示为电路中的一个节点，试求 i3 和和 i3 ，并画相量，并画相量图。（图。（1） ， ；（；（2） i1 同（同（1），）， 。1( )10 2cos(45 ) ai tt2( )10 2sin ai tt2( )10 2sin ai tt i1i3i20u0mu结论结论图（图（a）

28、 解解 （1）i3 i1 i2 ，因为，因为 i1 和和 i2 为同频率正弦量，故可用相量计算。为同频率正弦量，故可用相量计算。210 2sin10 2cos(90 ) aitt37.65 ai 37.65 2cos(22.5 ) ait4522.5相量图如右图（相量图如右图（b）所示：）所示：图（图（b）1a )07. 7(7.07a )45sin10(10cos45a 45 101jjia 10a 90 102jia 5 .22 7.65a )93. 207. 7(a )1007. 707. 7(213jjjiii1i2i3i （2）210 2sin10 2cos(90 ) aitt 31

29、8.5 ai 318.5 2cos(67.5 ) ait相量图如右上图（相量图如右上图（c）所示）所示 。 4567.5图（图（c） 图（图（b）相量图反应了）相量图反应了 滞后滞后 为为 ， 超前超前 为为 22.54567.59022.567.567.54522.5图（图（c）相量图反应了）相量图反应了 超前超前 为为 ， 滞后滞后 为为。1a 10a 90 102jia 67.5 5 .18a )07.1707. 7(a )1007. 707. 7(213jjjiii1i2i3i3i1i3i2i3i1i3i2i5 .225 .6790 例例 610 已知：已知： ，100cos(60 )

30、 vabut 80sin(120 ) vbcut。求求 uac ，并画相量图。，并画相量图。 解解80sin(120 ) v80cos(30 ) vbcuttacabbcuuu为方便起见，用最大值相量进行计算，得为方便起见，用最大值相量进行计算，得 50.4cos(67.5 ) vacut相量图如右图所示，由图可见，相量图如右图所示，由图可见， uac 超前超前 uab 为为 ，滞后，滞后 ubc 为为 。 上两例的相量图不仅反映了各相量之间的相位关系，而且也反映了相量形上两例的相量图不仅反映了各相量之间的相位关系，而且也反映了相量形式的式的 kcl 和和 kvl 。由相量图和表达式还可以看出

31、，两正弦信号之和不一定大。由相量图和表达式还可以看出，两正弦信号之和不一定大于各分量，这是因为相量和（复数和）不同于实数和，这一点务必注意。于各分量，这是因为相量和（复数和）不同于实数和，这一点务必注意。52.597.53067.51120v 5 .67 50.4)6 .46(19.3 v )40(69.3)6 .8650(v )30 8060 100(jjjuuubcmabmacmabuacubcu6 64 4 电阻、电感、电容元件电阻、电感、电容元件伏安伏安 关系的相量形式关系的相量形式 一一 . 电阻电阻 时域中的时域中的 var ：设设 则则 电阻电阻 var 的相量形式的相量形式 r

32、rurirriru2cos()rriiit结论结论（1）var ( )( )rrutritrruri与与 幅角相等幅角相等 同相位同相位 、irrii rirrirriu rrirurrirururiruri) cos( 2irrrtririu（2）电路模型）电路模型 rrirur时域模型时域模型 相量模型相量模型 （3）波形图、相量图）波形图、相量图 0tirurii波形图波形图相量图相量图上述结论中左、右两侧均为对应关系。上述结论中左、右两侧均为对应关系。rirururi 二二. 电感电感 时域中的时域中的 var ：设设 则则 lldiuldt2cos()lliiit2sin()2cos

33、(90 )lllilidiullitlitdt 2cos(90 )lliulit或或 电感电感 var 的相量形式的相量形式 式中式中l 的单位为的单位为 。结论结论（1）var lluliijlleiiljljjlliljeileeliui9090lliljullulji1lldiuldtlluli超前超前 为为90（一般称（一般称 滞后滞后 为为 ）90（2）电路模型）电路模型 l （h）jl（ ）luli时域模型时域模型 相量模型相量模型 （3）波形图、相量图）波形图、相量图 i0tiluli波形图波形图相量图相量图lliljululililulilululi 例例 611 如右图，设如

34、右图，设 ，l 0.2 h ，试求，试求 ，并画相量图。，并画相量图。 220 2cos(31430 ) vlutlilluli解解a 60 0.35a 2 . 031430 220jljuilla )60314cos(235. 0til相量图如下所示：相量图如下所示： luli30 三三 . 电容电容 时域中的时域中的 var ：设设 则则 dttducicc)(ciccu) cos(2ucctuuujcceuu)90 cos( 2ucctcuicjcjjccucjeuceecuiu9090ccucjiccicju1 电容电容 var 的相量形式的相量形式 式中式中 的单位为的单位为 。c1

35、结论结论（1）var dttducicc)(ccucji cccui ci超前超前 为为cu90（2）电路模型）电路模型 cic ( f )cu时域模型时域模型 （ ）相量模型相量模型 cicucj 1（3）波形图、相量图）波形图、相量图 0ticuciicuci波形图波形图相量图相量图例例 612 图右，设图右，设 ， c100f。求。求 ，并，并a )1351000cos(2tic画相量图。画相量图。cu解解v 45 20v 101001000135 2 6jcjiuccv )45cos(1000220tuccuci45135 四四 . 小结小结 r： rrurirrirul：lldiul

36、dtlliljuc：llulji1dtulill1dttducicc)(ccucjidticucc1ccicju1前提条件：前提条件：（1）时域信号为正弦量；）时域信号为正弦量；（2）u、i 关联。关联。相量图相量图 由上可见，复频域中的由上可见，复频域中的var与频率有关，故常将复频域称为频域。与频率有关，故常将复频域称为频域。 时域与频域转换之规律为：时域与频域转换之规律为：jdtdjdt1 掌握此规律后，正弦量的微分、积分均为可通过上面的对应关系写出其频掌握此规律后，正弦量的微分、积分均为可通过上面的对应关系写出其频域形式。域形式。例例 613 下图所示电路中已知：下图所示电路中已知：r5 ，l1h，c0.1f， (a) 5cos210)(ttis，试求，试求 和和 ，并画相量图。，并画相量图。clruuu、usiurulucusiurulucu解解 将图（将图（a）中各元件用相量模型表示，如图（）中各元件用相量模型表示，如图（b）所示。图（）所示。图（b）称为）称为图（图（a）的相量模型。图（）的相量模型。图（b）中）中a 0 10si， 5 ) 15(jjlj， 2 1 . 0511jjcjv 0 50v )0 105(sriruv