北京中考数学重难点专题讲座2

1、北京中考数学重难点专题讲座第一讲线段，角的运算证明问题【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的；第一部分基本上都是一些简洁题或者中档题，目的在于考察基础；其次部分往往就是开头拉分的中，难题了；大家讨论今年的北京一模就会发觉，其次部分，或者叫难度开头提上来的部分，基本上都是以线段，角的运算与证明开头的；城乡18个区县的一模题中，有 11 个区其次部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的运算证明题；剩下的 7 个区县题就将线段角问题与旋转，动态问题结合， 放在了更有难度的倒数其次道乃至压轴题当中；可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵；对这些题轻松把握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的

2、是对于整个做题过程中士气，军心的影响；在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳, 分析讨论，来探究线段，角运算证明问题的解题思路；第一部分真题精讲【例 1】 （ 2021，崇文，一模） 如图，梯形abcd 中， ad bc， bdcd，bdc90°， ad3， bc8 求 ab 的长【思路分析】线段，角的运算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相像, 直角三角形性质以及勾股定理等学问点进行考察的；所以这就要求我们对梯形的性质有很好的懂得，并且熟知梯形的帮助线做法； 这道题中未知的是ab,已知的是ad,bc以及 bdc是等腰直角三角形, 所以要把未知的ab也放在已知条件当中去考

3、察. 做 ae,df 垂直于 bc,就很轻易发觉我们将ab带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中. 于是有解如下.【解析】作 aebc 于 e， dfbc于 fae df ，ad bc， 四边形 aefd是矩形efad3， aedf bdcd， dfbc， df 是 bdc 的 bc 边上的中线bdc90°， df1 bcbf42ae4， bebfef431在 rt abe 中，ab2ae 2be2ab421217【例 2】（ 2021，海淀，一模）已知：如图，在直角梯形abcd 中， ad bc ，求 ad 的长 .dcb90， acbd 于点 o， dc2, bc4 ，ado

4、bc【思路分析 】 这道题给出了梯形两对角线的关系. 求梯形上底 . 对于这种对角线之间或者和其他线 段角有特别关系 例如对角线平分某角 的题 , 一般思路是将对角线提出来构造一个三角形. 对于此题来说 , 直接将 ac向右平移 , 构造一个以d 为直角顶点的直角三角形. 这样就将ad转化成了直角三 角形中斜边被高分成的两条线段之一, 而另一条线段bc是已知的 . 于是问题迎刃而解.adobce【解析】过点 d 作 de / / ac 交 bc 的延长线于点e . bdeboc . acbd 于 点 o , boc90. bde90. ad / / bc ， 四边形 aced 为平行四边形.

5、adce . bde90 ,dcb90，2 dcbcce . dc2, bc4 ， ce1 . ad1此题仍有很多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明 acd和 dbc相像，从而利用比例关系直接求出cd；有爱好的考生可以多发散思维去讨论；【例 3】（ 2021，东城，一模） 如图，在梯形 abcd 中， ad 的长度 bc ，b90 ， ad=2 ，bc5 ， e 为 dc 中点，tan c4求 ae3a deb c【思路分析 】 这道题是东城的解答题其次部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题；乍看之下好象直接过d 做垂线之类的方法不行. 那该怎样做帮助线呢.答案就隐匿在e

6、 是中点这个条件中. 在梯形中 , 一腰中点是很特别的. 一方面中点本身是多对全等三角形的公共点, 另一方面中点和其他底, 腰的中点连线就是一些三角形的中线, 利用中点的比例关系就可以将已知条件代入. 比如这道题 , 过中点 e 做 bc的垂线 , 那么这条垂线与ad延长线 ,bc 就构成了两个全等的直角三角形. 并且这两个直 角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的. 于是得解 .a dmeb fc【解析】过点 e 作 bc 的垂线交于bc 点 f ，交 ad 的延长线于点m .在梯形 abcd 中， ad bc， e 是 dc 的中点，mmfc ，dece在mde 和fce 中，mmfc d

7、emcefdecemde fce. efme ，dmcf ad2，bc5 ，dmcf3 . 2在 rtfce 中，tan c4ef ，3cf efme2 .在 rtame 中 ， ae222236522【总结 】 以上三道真题, 都是在梯形中求线段长度的问题. 这些问题一般都是要靠做出精妙的帮助 线来解决 . 帮助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合, 从而达到利用已知求未知的目的 . 一般来说 , 梯形的帮助线主要有以下5 类:1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形 + 一矩形2、平移一腰，分梯形为平行四边形 + 三角形3、延长梯形两腰交于一点构造三角形4、平

8、移对角线，转化为平行四边形 +三角形5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般帮助线做法； 对于角度问题，其实思路也是一样的；通过做帮助线使得已知角度通过平行， 全等方式转移到未知量邻近；之前三道例题主要是和线段有关的运算；我们接下来看看和角度有关的运算与证明问题；【例 4】 （ 2021，延庆，一模）如图，在梯形abcd中， ab dc， db 平分adc ，过点 a 作 ae bd ，交 cd 的延长线于点e ，且求 cd 的长abc2e ，bdc30， ad3 ，edc【思路分析】此题相对比较

9、简洁，不需要做帮助线就可以得出结果；但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件；例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系；面对这种题目仍是需要将已知的角度关系理顺；第一依据题目中条件，特别是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角c 与角 1，2， 3 以及角 e 的关系；于是一系列转化过后，发觉角c=60 度，即三角形dbc为 rt三角形；于是得解；【解析】：ae bdab13 ，2e1233e1cdadc3e2ee2c2eadcbcd60梯形 abcd 是等腰梯形 bcad3230，bcd60dbc90在 rt dbc 中，230， bc3 cd6【例 5】（ 2021，西城，一模）已

10、知 ： pa2 ， pb4 ， 以ab 为 一 边 作 正 方 形abcd， 使p、 d 两 点 落 在 直 线ab的两侧 .如图，当 apb=45°时，求ab及 pd的长；【思路分析】 这是去年西城一模的压轴题的第一小问；假如线段角的运算显现在中间部分，往往意味着难度并不会太高；但是一旦显现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为麻烦；这题求 ab比较简洁，过a 做 bp垂线，利用等腰直角三角形的性质，将apb分成两个有很多已知量的 rt；但是求pd 时候就很麻烦了；pd 所在的三角形pad是个钝角三角形，所以就需要我们将pd 放在一个直角三角形中试试看；构筑包含pd的直角三

11、角形，最简洁的就是过p 做 da 延长线的垂线交da 于 f， df 交 pb 于 g；这样一来，得到了pfa age等多个 rt；于是与已求出的ab等量产生了关系，得解；dc【解析】：如图，作ae pb于点 e ape中， ape=45°， pa2 ，agp febaepasinape221 ，2pepacosape221 2pb4 ，bepbpe3 在 rt abe中， aeb=90°，abae 2be 210 如图，过点p 作 ab的平行线，与da的延长线交于f，设 da的延长线交pb于 g在 rt aeg中，可得agaeae10 ，coseagcosabe3（这一步

12、最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）1eg，32pgpbbeeg3在 rt pfg中，可得pfpgcosfpgpgcosabe10105， fg15 【总结】由此我们可以看出，在涉及到角度的运算证明问题时，一般情形下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度；所以，构建帮助线一般也是从这个思路动身，利用一些特别图形中的特别角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特别角的三角函数来达到求解的目的；其次部分发散摸索通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些熟悉；接下来我们自己动手做一些题目；期望考生先做题，没有思路了看分析

13、，再没思路了再看答案；【摸索 1】如图，在梯形abcd中， ad bc， abcd 如 acbd，ad+bc=103 ， 且abc60， 求 cd 的长adbc【思路分析】前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种帮助线的做法；此题求腰，所以自然是先将腰放在某个rt 三角形中；另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个rt 三角形，所以此题需要两条帮助线；在这类问题中，帮助线的方式往往需要交叉运用，假如思想放不开，不敢多做，巧做，就不简洁得出答案； 解法见后文 【摸索 2】如图，梯形abcd中， ad/bc， b=30°， c=60°， e， m，

14、 f， n分别是 ab， bc， cd，da的中点，已知bc=7， mn=3，求 efnadefcbm【思路分析】 此题有肯定难度，要求考生不仅把握中位线的相关运算方法，也对三点共线提出了要求；如求ef，由于 bc已知，所以只需求出ad即可；由题目所给角b，角 c 的度数，应当自然联想到直角三角形中求解；（解法见后）【摸索 3】已知abc ，延长 bc 到 d ，使 cdbc 取 ab 的中点 f ，连结 fd 交 ac 于点 e 求 ae 的值；ac 如 aba ， fbec ，求 ac 的长afebcd【思路分析】求比例关系，一般都是要利用相像三角形来求解；此题中有一个等量关系bc=cd，

15、又有 f 中点，所以需要做帮助线， 利用这些已知关系来构造数个相像三角形就成了获得比例的关键；（解法见后）【摸索 4】如图 3， abc中， a=90°， d 为斜边 bc的中点， e，f 分别为 ab， ac上的点，且de df，如 be=3，cf=4，试求 ef的长【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考；有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键；将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解；此题中，d 为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线；（解法见后）【摸索 5】 如图，在四边形 abcd 中，e 为 ab 上一

16、点，ade 和bce 都是等边三角形，ab 、bc 、cd 、 da 的中点分别为p 、 q 、 m 、 n ，试判定四边形pqmn 为怎样的四边形，并证明你的结论【思路分析】 此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线；此题需要考生对各个特别四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉；特别留意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件；（解法见后）第三部分摸索题答案摸索 1【解析】：作 de bc 于 e，过 d 作 df ac 交 bc 延长线于f就四边形adfc是平行四边形，ad四边形abcd是等腰梯形，cf ， df=ac ac=bd dfbd又 ac bd， df a

17、c， bd df bdf是等腰直角三角形 de1 bf1 adbc5322在 rtcde 中，dce60，decdsindce 53cdsin 60， cd10hn摸索 2ade【解析】：ef延长 ba，cd交于点 h，连接 hn，由于 b=30°， c=60°，所以 bhc=90°c bm所以 hn=dn（直角三角形斜边中线性质） nhd= ndh=60°连接 mh，同理可知 mhd=c=60°；所以 nhd= mhd，即 h，n， m 三点共线（这一点简洁被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实仍是要证明一下）所以 hm=3.5 ， nh

18、=0.5 an=0.5所以 ad=1 ef=（ 1+7） /2=4摸索 3【解析】过点 f 作 fm ac，交 bc 于点 m f 为 ab 的中点 m 为 bc 的中点，fm1 aca2由 fm ac，得cedmfd，feecdfmd ，fmd ecd dcec2dmfm3bmcd ec2 fm21 ac1 ac3323 aeacecac1 ac31acacac2 aba ， fb1 ab1 a22又 fbec ， ec1 a2 ec1 ac ， ac33ec3 a 2摸索 4【解析】：延长 ed 至点 g，使 dg=ed，连接 cg， fg 就 cdg bde所以 cg=be=3， 2= b由于 b+1=90°，所以 1+2= fcg=90° 由于 df 垂直平分eg，所以 fg