第七章_有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计

1、第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计学时：9学习目标学习目标.FIR.FIR数字滤波器具有线性相位的条件、线性相位数字滤波器具有线性相位的条件、线性相位FIRFIR数字滤波数字滤波器的幅度特点以及零点分布特点；器的幅度特点以及零点分布特点；. .窗函数设计法设计窗函数设计法设计FIRFIR数字滤波器的基本原理、设计步骤、窗数字滤波器的基本原理、设计步骤、窗函数选取的基本原则以及窗函数设计法的不足；函数选取的基本原则以及窗函数设计法的不足；. .频率采样法设计频率采样法设计FIRFIR数字滤波器的基本原理、设计步骤以及过数字滤波器的基本原理、设计步骤以及过渡点对性能指标的影响；渡

2、点对性能指标的影响；线性相位：线性相位：设滤波器频率响应为设滤波器频率响应为7.1 线性相位FIR滤波器的特点)(|)(|)(jjjeeHeH若有若有dd)(为常数时为常数时即即dd)(FIR滤波器滤波器:有限长单位冲激响应数字滤波器。有限长单位冲激响应数字滤波器。称为线性相位滤波器称为线性相位滤波器两种情况：两种情况： )()(7.1.1线性相位条件设离散系统单位冲激响应为设离散系统单位冲激响应为 ，长度为，长度为N，为实序列。，为实序列。)(nh且且 关于关于 偶对称或奇对称偶对称或奇对称)(nh21N)1()(nNhnh偶对称偶对称)1()(nNhnh奇对称奇对称)(10)()()(jN

3、nnjjeHenheH系统频率响应为系统频率响应为1. 1. 为偶对称为偶对称)(nh10)()(NnnznhzH系统函数为系统函数为1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH两式相加两式相加1nNm令)()()()(1)1(10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH频率响应频率响应1021)()cos()(|)()(21NnNjezjnnhezHeHNj幅度响应幅度响应1021)cos()()(NnNnnhH相位响应相位响应

4、21,21)(NN结论：具有结论：具有 偶对称形式冲激响应的系统具有线性相位偶对称形式冲激响应的系统具有线性相位2. 2. 为奇对称为奇对称)(nh1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH两式相加两式相加1nNm令)()()()(1)1(10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH频率响应频率响应1021)()sin()(|)()(21NnNjezjnnhjezHeHNj幅度响应幅度响应1021)sin()()(NnNnnhH

5、相位响应相位响应21,221)(NN结论：具有结论：具有 奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位7.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点当当 为偶对称和奇对称时为偶对称和奇对称时, ,滤波器幅度函数有两种特性滤波器幅度函数有两种特性)(nh而当而当N N的取值为偶数和奇数时的取值为偶数和奇数时, ,滤波器幅度特性也不同滤波器幅度特性也不同. .因而共有因而共有4 4种不同的幅度特性种不同的幅度特性. .1. 1. 偶对称偶对称,N,N为奇数为奇数)(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N为奇数为奇数, ,中间项为中间项为 , ,2

6、1Nn1)21cos(Nn230)21cos()(2)21()(NnNnnhNhH其余项偶对称其余项偶对称 , ,)cos(),(nnhnNm21令230cos)21(2)21()(NmmmNhNhH212, 1),21(2)(),21()0(NnnNhnaNha令210cos)()(NnnnaH 关于关于 偶对称偶对称)(H2,00202可实现任意可实现任意形式滤波器形式滤波器2. 2. 偶对称偶对称,N,N为偶数为偶数)(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N为偶数为偶数, ,无单独中间项无单独中间项, ,所有项均可两两合并所有项均可两两合并nNm2令 21)21cos

7、()2(2)(NmmmNhH 22,1),2(2)(NnnNhnb 令 21)21cos()()(NnnnbH 关于关于 偶对称偶对称, ,关于关于 奇对称奇对称. . )(H2,0 0)(H02低通滤波器低通滤波器带通滤波器带通滤波器可用于设计可用于设计: :不能用于不能用于: :高通滤波器高通滤波器带阻滤波器带阻滤波器3. 3. 奇对称奇对称,N,N为奇数为奇数)(nh 关于关于 奇对称奇对称. . )(H2,0 , , 0)0(H0)(H带通滤波器带通滤波器可用于设计可用于设计: :仅可用于低通仅可用于低通和带通滤波器和带通滤波器4. 4. 奇对称奇对称,N,N为偶数为偶数)(nh ,

8、, 0)0(H可用于设计可用于设计: : 关于关于 奇对称奇对称, ,关于关于 偶对称偶对称. . )(H2,0高通滤波器高通滤波器带通滤波器带通滤波器4 4种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在FIRFIR滤滤波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类FIRFIR滤波滤波器。器。 偶对称偶对称,N,N为奇数为奇数)(nh7.1.3 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点)()(1)1(zHzzHN由由)()(1)1(zHzzHN及及若若 为为 的零点的零点, ,则则 也为其零点也为

9、其零点, ,称为镜像零点。称为镜像零点。z)(zHz1又由又由 为实序列，则为实序列，则 和和 也是其零点，为共轭零点。也是其零点，为共轭零点。*z)(nh*1z0RezImzj*zzz1*1z1.根据滤波器技术要求直接设计一个理想数字滤波器的频率根据滤波器技术要求直接设计一个理想数字滤波器的频率响应响应6.2 窗函数设计法理想频率响应的滤波器具有矩形频率特性，因而其时域响理想频率响应的滤波器具有矩形频率特性，因而其时域响应为无限长的应为无限长的6.2.1设计原理2.求具有上述频率响应的滤波器对应的冲激响应序列求具有上述频率响应的滤波器对应的冲激响应序列3.将求得的冲激响应序列截短，并使之具有

10、对称性将求得的冲激响应序列截短，并使之具有对称性以低通滤波器为例以低通滤波器为例1.理想数字滤波器理想数字滤波器|0|)(ccjjdeeH 表示其群时延表示其群时延0)(jdeH2c1c2)()sin()()sin(21)(21)(nnnndeedeeHnhccccjnjjnjddcc2.冲激响应序列冲激响应序列3. 截短截短n)(nhd021N相当于相当于n)(nhd0n)(nw0n)(nh0原序列原序列加窗加窗(乘窗函数）乘窗函数）FIR冲激响应冲激响应FIR的频率响应的频率响应0)(jeH2c1)()()(nwnhnhd7.2.2窗函数设计法的不足讨论：加窗对频率响应的影响讨论：加窗对频

11、率响应的影响对矩形窗对矩形窗 ，其频率响应为，其频率响应为)(nRNjRNjjNjNnnjjeWeNeeeeW)(2sin2sin11)(21102sin2sin)(NWR21N对理想低通滤波器，其频率响应为对理想低通滤波器，其频率响应为21)()(NeHeHjdjd)()()(21)()(21)(*)()()(HedWHedeWeHeWeHeHjRdjjRjdjjdj实际滤波器频率响应为实际滤波器频率响应为滤波器幅度响应为滤波器幅度响应为dWHHRd)()(21)(滤波器相位响应为滤波器相位响应为je线性相位线性相位受窗函数器幅度响应特性影响受窗函数器幅度响应特性影响理想滤波器幅度特性理想滤

12、波器幅度特性窗函数幅度特性窗函数幅度特性卷积结果卷积结果 卷积情况卷积情况c 卷积卷积情况情况Nc2 卷积卷积情况情况Nc2加窗处理的影响加窗处理的影响:1.理想频率特性的边沿形成过渡理想频率特性的边沿形成过渡,宽度近似为窗函数频率响应的宽度近似为窗函数频率响应的主瓣宽度。主瓣宽度。2.在截止频率在截止频率 的两边，的两边， 出现最大肩峰。幅度取决于窗出现最大肩峰。幅度取决于窗函数幅度特性旁瓣的相对幅度。波动的次数取决于旁瓣的个数。函数幅度特性旁瓣的相对幅度。波动的次数取决于旁瓣的个数。c)(H3.改变截取长度改变截取长度N，仅能改变过渡带的宽度。不能改变，仅能改变过渡带的宽度。不能改变 的肩

13、的肩峰相对值。称为吉布斯现象。峰相对值。称为吉布斯现象。)(H窗函数设计法的主要任务之一，是选取合适的窗函数，减小波窗函数设计法的主要任务之一，是选取合适的窗函数，减小波动，使动，使 更接近更接近 。)(H)(dH7.2.3 常用窗函数及其选取原则1. 主瓣宽度窄，过渡带陡。主瓣宽度窄，过渡带陡。窗函数要求：窗函数要求：2. 旁瓣小，改善通带平稳度和增大阻带衰减。旁瓣小，改善通带平稳度和增大阻带衰减。受具体窗函数限制，以上两个条件不能同时达到最佳。受具体窗函数限制，以上两个条件不能同时达到最佳。常用窗函数：常用窗函数：1.矩形窗矩形窗)()(nRnwN窗函数窗函数21)()(NjRjReWeW

14、频率响应频率响应2sin2sin)(NWR主瓣宽度主瓣宽度N4第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB13即：采用矩形窗设计的即：采用矩形窗设计的FIRFIR滤波器，过渡带宽度为滤波器，过渡带宽度为 ，阻，阻带衰减最大带衰减最大 。 N4dB132.三角窗三角窗12112221012)(NnNNnNnNnnwBr频率响应频率响应窗函数窗函数2122122sin)4sin(22sin)41sin(12)(NjNjjBreNNeNNeW主瓣宽度主瓣宽度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB25n)(nwBr03.汉宁窗汉宁窗)()12cos(121)(nRNnnwNHan 频率响应频率响应窗函数窗函

15、数主瓣宽度主瓣宽度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB3121)()(NjHanjHaneWeW 时时1N)2()2(25.0)(5.0)(NWNWWWRRRHan)(RW 为矩形窗频率响应幅度函数为矩形窗频率响应幅度函数)(HanW0N4N44.海明窗海明窗5.布莱克曼窗布莱克曼窗6.凯赛贝赛尔窗凯赛贝赛尔窗6.2.4 窗函数法设计步骤1.根据给定的滤波器理想频率响应根据给定的滤波器理想频率响应 求其单位冲激响应求其单位冲激响应)(jdeH)()()(nwnhnhddeeHnhjnjdd)(21)(2.根据给定的滤波器过渡带及阻带衰减要求，选择合适的窗函根据给定的滤波器过渡带及阻带衰减要

16、求，选择合适的窗函数形式数形式 。)(nw3.滤波器冲激响应为滤波器冲激响应为4.检验所得滤波器是否满足设计指标检验所得滤波器是否满足设计指标例例6 61 11.1.求数字域频率求数字域频率解：解：例例61 设计一个线性相位的设计一个线性相位的FIR数字低通滤波器，给定采样数字低通滤波器，给定采样频率频率 ，通带截止频率，通带截止频率 ，阻，阻带起始频率带起始频率 ，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于 。kHzfc15sradp/105.123srads/10323dB50通带截止频率通带截止频率2.0Tpp阻带起始频率阻带起始频率4.0Tss阻带衰减阻带衰减dBs50截止频率截止频率3.0)4.

17、02.0(21)(21spc2.2.确定理想低通滤波器频率响应确定理想低通滤波器频率响应|0|)(ccjjdeeH)()sin(21)(21)(nndeedeeHnhcjnjjnjddcc3.理想低通滤波器理想低通滤波器冲激响应冲激响应为满足线性相位为满足线性相位21N4.确定窗函数及确定窗函数及FIR滤波器长度滤波器长度N由阻带衰减由阻带衰减 ，可选海明窗，其阻带最小衰减，可选海明窗，其阻带最小衰减dBs50dB53由海明窗过渡带宽由海明窗过渡带宽3.32NN6 . 6有有6 . 6N2 . 02 . 04 . 0ps332 . 06 . 6N1621N5.确定确定FIR滤波器冲激响应滤波器

18、冲激响应海明窗函数序列海明窗函数序列)()12cos(46.054.0)(nRNnnwNHam则则FIR滤波器冲激响应为滤波器冲激响应为)()12cos(46.054.0)16()16(3.0sin)()()(nRNnnnnwnhnhNHamd6.检验设计结果是否符合要求检验设计结果是否符合要求阻带衰减大阻带衰减大于于50分贝分贝1.对理想滤波器频响进行对理想滤波器频响进行N点采样点采样7.3 频率采样法6.3.1设计原理设理想数字滤波器频率响应为设理想数字滤波器频率响应为101,2, 1 ,0)(1)()(NknkNNkWkHNkHIDFTnh2.根据傅立叶变换的特性，根据傅立叶变换的特性，

19、N点频响采样通过傅立叶反变换成点频响采样通过傅立叶反变换成N点时域序列，即为点时域序列，即为FIR滤波器时域冲激响应滤波器时域冲激响应)(nhjezjdzHeH|)()(在在z z平面单位圆上对平面单位圆上对 等间隔采样等间隔采样N N点点)(jeH12, 1 ,0|)()(2NkeHkHkNjd对应时域中对应时域中N N点冲激序列点冲激序列)(nh其其z z变换为变换为101010)(1)()(NnnNknkNNnnzWkHNznhzH1010)(1NkNnnnkNzWkHN1010111)(111)(1NkNkkNNkNNNkNzWkHNzzWzWkHN1 NkNW滤波器频率响应为滤波器频

20、率响应为101)(1|)()(NkjkNjNezjeWkHNezHeHj为理想滤波器频率响应为理想滤波器频率响应 的重构的重构)(jdeH6.3.2 频率采样法的优化设计在频率采样点上，实际滤波器在频率采样点上，实际滤波器频率响应与理想滤波器频率响频率响应与理想滤波器频率响应的数值严格相等。应的数值严格相等。在频率采样点之间，实际滤波在频率采样点之间，实际滤波器频率响应由各采用点的加权器频率响应由各采用点的加权插值形成，与理想滤波器频率插值形成，与理想滤波器频率响应存在误差。响应存在误差。0)(jdeHkc1)(kH)(jeH0)(jeHk1)(kH)(jdeH理想滤波器频率响应变化越平理想滤

21、波器频率响应变化越平缓，插值结果与实际频响曲线缓，插值结果与实际频响曲线越接近。增加采样点可以减小越接近。增加采样点可以减小插值误差。插值误差。优化设计优化设计为减小在频带突变处的起伏为减小在频带突变处的起伏, ,采用插入过渡点的方法采用插入过渡点的方法0k1)(kH)(jdeH插入插入1 1个过渡点，阻带最小衰个过渡点，阻带最小衰减减44445454dBdB。不插入过渡点不插入过渡点, ,阻带最小衰减阻带最小衰减2020dBdB。0k1)(kH)(jdeH插入插入2 2个过渡点，阻带最小衰个过渡点，阻带最小衰减减60607575dBdB。0k1)(kH)(jdeH插入插入3 3个过渡点，阻带

22、最小衰个过渡点，阻带最小衰减减808095dB95dB。后果：过渡带增加，可通过增加采样点的方法减小过渡带。后果：过渡带增加，可通过增加采样点的方法减小过渡带。6.3.3 线性相位与采样的约束1. 采样方法采样方法第一种：起始点在第一种：起始点在0第二种：起始点在第二种：起始点在N2. 线性相位的约束线性相位的约束对第一类线性相位对第一类线性相位FIR滤波器，滤波器， 偶对称，偶对称，N为奇数。为奇数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()( HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNH

23、kHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk)(2)22()2(kNNHkNHkNH对第二类线性相位对第二类线性相位FIR滤波器，滤波器， 偶对称，偶对称，N为偶数。为偶数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()(HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk对第三类线性相位对第三类线性相位FIR滤波器，

24、滤波器， 奇对称，奇对称，N为奇数。为奇数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为221)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()(HH在在 之间等间隔采样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkH21)(kNNk12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk对第四类线性相位对第四类线性相位FIR滤波器，滤波器， 奇对称，奇对称，N为偶数。为偶数。)(nh)()()(jjdeHeH其频率响应为其频率响应为21)(N相位响应为相位响应为其中，幅度响应为其中，幅度响应为)2()( HH在在 之间等间隔采

25、样之间等间隔采样N点点20)()(kNHkH12, 1 ,0,2NkkNk代入滤波器幅度和相位特性代入滤波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk21)(kNNk6.3.4 频率采样法的设计步骤1.根据理想滤波器性能指标，计算在通带和阻带中的抽样点根据理想滤波器性能指标，计算在通带和阻带中的抽样点数，确定滤波器冲激响应的对称性。数，确定滤波器冲激响应的对称性。2.根据单位冲激响应根据单位冲激响应 的对称性，计算抽样点的幅度的对称性，计算抽样点的幅度 和相位和相位 。)(nh)(kH)(k3.由由 求求 )()()(kjdekHkH)()(kHIDFTnhd检验是否满足设计要求检验是否满足设计要求,

26、若不满足若不满足,修改抽样修改抽样点参数点参数,重新计算直至满足要求。重新计算直至满足要求。 例例6 62 2101)(1|)()(NkjkNdjNezjeWkHNezHeHj1.1.确定截止频率处采样点确定截止频率处采样点解：解：例例62 利用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器。单位利用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器。单位冲激响应满足冲激响应满足 ，幅度响应为，幅度响应为采样点数采样点数33。)1()(nNhnh其他02|1|)(|jdeH2.2.确定抽样点参数（幅度与相位值）确定抽样点参数（幅度与相位值）已知已知33N采样间隔采样间隔33298c取取8ck)1()(nNhnh由于由于采样点数采样点数33第一类第一类FIR滤波器滤波器ckkkHkH2, 1 ,01|)33(|)(|1621,10,90|)33(|)(|NkkHkH322, 1 ,033321)(kkkNNk0k1)(kH)(Hc)(|)(|)(kjekHkH3. 3. 幅度特性幅度特性101)(1)(NkjkNjNjeWkHNeeH由由代入各代入各 取值取值)(kH )332sin(33)332(33sin)332sin(33)332(33sin)2sin(33)233sin()(8116kjj