北京市石景山区高三数学

1、2021 北京市石景山区高三一模 数学 理 2021 北京市石景山区高三（一模） 数学（理）一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项21（ 5 分）设集合m=x|x 0，x r， n=x|x 1， x r，就 m n=（）a 0 ， 1b（ 0， 1）c（ 0， 1d 0 ， 1）2（ 5 分）设 i 是虚数单位，就复数在复平面内对应的点位于（）a第一象限b 其次象限c第三象限d 第四象限3（ 5 分）以下函数中，既是奇函数又是增函数的为（）a y=x+1b y= x 3cd y=x|x|4（ 5 分） 如图给出的是运算的值的一个框图，其

2、中菱形判定框内应填入的条件是（）a i 5 b i 5 c i 6 d i 65（ 5 分）某四周体的三视图如下列图，该四周体四个面的面积中，最大的是（）a 8bc 10d6（ 5 分）在数列 a n 中，“ |a n+1| an”是“数列 a n 为递增数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件 c充要条件d 既不充分也不必要条件7（ 5 分）函数的部分图象如下列图，就将y=f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（）a y=sin2xbcd y=cos2x 8（ 5 分）德国数学家科拉茨1937 年提出了一个闻名的猜想：任给一个正整数n，假如 n 是偶数，就将它减半（

3、即）；假如 n 是奇数，就将它乘3 加 1（即 3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，肯定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你讨论：假如对正整数n（首项）依据上述规章施行变换后的1 / 12 1 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 第 8 项为 1（注： 1 可以多次显现） ，就 n 的全部不同值的个数为（）a 4b 6c 32d 128二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分9（ 5 分）双曲线 y 2=1 的焦距是，渐近线方程是10（ 5 分）如变量x， y 满意约束条件，就 z=2x+y 的最大值11（ 5 分）如图， ab是半

4、圆 o直径， bac=30°， bc为半圆的切线，且bc=4，就点 o到 ac的距离 od=12（ 5 分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（ s 为参数），曲线c 的参数方程为（ t 为参数），如直线l 与曲线 c 相交于 a，b 两点，就 |ab|=13（ 5 分）已知函数f （ x） =，且关于 x 的方程 f （ x） +x a=0 有且只有一个实根，就实数a 的取值范畴是14（5 分）某次考试的其次大题由8 道判定题构成，要求考生用画“”和画“×”表示对各题的正误判定，每题判定正确得1 分，判定错误不得分请依据如下甲，乙，丙3 名考生的判定及得分结果，运

5、算出考生丁的得分第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题第 5 题第 6 题第 7 题第 8 题得分甲×××××5乙×××××5丙××××6丁××××××？丁得了分三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（ 13 分）在 abc中，内角a， b， c的对边分别为a，b， c ，且 bsina=a.cosb（ 1）求角 b 的大小；（ 2）如 b=3， sinc=2

6、sina ，分别求a 和 c 的值2 / 12 2 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 16（ 13 分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6s 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6s 手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期频数3525a10b已知分 3 期付款的频率为0.15 ，请以此 100 人作为样本估量消费人群总体，并解决以下问题：（）求a， b 的值；（）求“购买手机的3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1 名顾客分4 期付款”的概率；（）如专卖店销售一部苹果

7、6s 手机，顾客分1 期付款（即全款） ，其利润为1000 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为2000 元用 x 表示销售一部苹果6s 手机的利润，求x 的分布列及数学期望17（ 14 分）如图，三棱柱abc a1b1c1 中， aa1 平面 abc， bc ac， bc=ac=，2 aa1=3，d为 ac的中点（）求证： ab1平面 bdc1；（）求二面角c1 bd c 的余弦值；（）在侧棱aa1 上是否存在点p，使得 cp平面 bdc1？如存在，求出ap的长；如不存在，说明理由3 / 12 3 / 122021 北京市石景山区高三一模

8、数学 理 18（ 13 分）已知函数f （ x）=sinx xcosx （）求曲线y=f （x ）在点（，f （）处的切线方程；（）求证：当时，；（）如f （ x ） kx xcosx 对恒成立，求实数k 的最大值19（ 14 分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线 l ： y=kx+m 与椭圆 c交于 a，b 两点，且线段ab的垂直平分线通过点（）求椭圆c的标准方程；（）求 aob（ o为坐标原点）面积的最大值20（ 13 分）如对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列 a n 的前 n 项和 sn=am，就称 a n 是“回来数列”（）前n 项和为的数列 a n 是否是“回来数列”？并

9、请说明理由；通项公式为bn=2n 的数列 b n 是否是“回来数列”？并请说明理由；（）设 a n 是等差数列，首项a1=1，公差 d 0，如 a n 是“回来数列”，求d 的值；n（）是否对任意的等差数列a ，总存在两个“回来数列”b 和c ，使得 a =b +c （ nn* ）成立，请给出你的nnnnn结论，并说明理由4 / 12 4 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 数学试题答案一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项21【解答】 m=x|x 0， xr， n=x|x 1， x r=x| 1 x 1， x r， m

10、 n=0 ， 1） 应选 d2【解答】=i （1+i ） =1+i ，对应复平面上的点为（1， 1），在其次象限，应选： b3【解答】 y=x+1 不是奇函数，y= x3 在 r 上是减函数，y=在定义域上不是增函数，y=x|x|=，故 y=x|x|是增函数且为奇函数应选： d4【解答】 s=，并由流程图中s=s+，故循环的初值为1，终值为 5，步长为1， 故经过 5 次循环才能算出s=的值，故 i 5，应不满意条件，连续循环，应 i 5，应满意条件，退出循环，填入“ i 5”应选： a5【解答】 三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8， 6，10， 明显面积的最大值，1

11、0应选 c6【解答】 由“ |a n+1| an”. an+1 an；或 an+1 an 充分性不成立， 由数列 a n 为递增数列 . |a n+1| an+1 an 成立，必要性成立，“ |a n+1| an”是“数列 a n 为递增数列”的必要不充分条件 应选： b7【解答】 由函数的图象可得a=1，t=.=，5 / 12 5 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 =2再依据五点法作图可得2 ×+=，=，函数 f （x） =sin （ 2x+）将 y=f （ x）的图象向右平移个单位后， 得到的函数图象的解析式为y=sin2 （ x）+=sin （ 2x）应选：

12、c8【解答】 假如正整数n 依据上述规章施行变换后的第八项为1，就变换中的第7 项肯定是2， 变换中的第6 项肯定是4；变换中的第5 项可能是1，也可能是8； 变换中的第4 项可能是2，也可是16，变换中的第4 项是 2 时，变换中的第3 项是 4，变换中的第2 项是 1 或 8，变换中的第1 项是 2 或 16变换中的第4 项是 16 时，变换中的第3 项是 32 或 5，变换中的第2 项是 64 或 108，变换中的第1 项是 128，21 或20， 3就 n 的全部可能的取值为2，3， 16， 20， 21， 128 共 6 个，应选： b二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分

13、9【解答】 双曲线=1 中， a=， b=1， c=，焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x故答案为： 2；y= ±x10【解答】 由约束条件作出可行域如图，6 / 12 6 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 化目标函数z=2x+y 为 y= 2x+z，由图可知，当直线过b（ 4，2）时直线在y 轴上的截距最大，z 最大，为 z=2 × 4+2=10故答案为： 1011【解答】 过 o做 ac的垂线，垂足是d， bc是 o的切线， abc=90°， od ac，在 abc与 ado中， ado=9°0 ， a= a， abc a

14、do，；在 abc中，bac=30°， ac=2bc=8，ab=12， oa=6=bo， od=故答案为： 312【解答】 直线 l 的参数方程为（ s 为参数），消去参数s 可得一般方程：x+y 2=02曲线 c 的参数方程为（ t 为参数），消去参数化为：y=（ x 2） ，联立，解得，或 取 a（ 2， 0）， b（ 1， 1），就|ab|=故答案为：13【解答】 由 f （ x） +x a=0 得 f （ x ）= x+a ，7 / 12 7 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 f （ x ） =，作出函数f （ x ）和 y= x+a 的图象，就由图象可知，

15、要使方程f （x ） +x a=0 有且只有一个实根，就 a 1，故答案为：（ 1， +）14【解答】 由于由已知得第3、4 题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6 分故答案为： 6三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15【解答】（ 1） bsina=a.cosb，由正弦定理可得：sinbsina=sinacosb ， sina 0， sinb=cosb， b（ 0，），可知： cosb 0，否就冲突 tanb=， b=（ 2） sinc=2sina ， c=2a，222由余弦定理可得：b =a +c 2accosb ， 9=a2+c2 ac

16、，2把 c=2a 代入上式化为：a =3，解得 a=，16【解答】（）由题意得， a=15，又 35+25+a+10+b=100，解得 b=15（）设大事a 为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1 名顾客分4 期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4 期付款的概率为0.1 ，8 / 12 8 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 p（ a） =0.243 （）记分期付款的期数为，依题意得p（ =1） =0.35 ，p（ =2） =0.25 ， p（ =3） =0.15 ， p（ =4） =0.1 ， p（ =5） =0.15 ， x 的可能取值为1000 元， 1500 元，

17、 2000 元，p（ x=1000） =p（ =1） =0.35 ，p（ x=1500） =p（ =2） +p（ =3） =0.4 ， p（ x=2000） =p（ =4） +p（ =5） =0.25 ， x 的分布列为：x100015002000p0.350.40.25 ex=1000× 0.35+1500 × 0.4+2000 × 0.25=1450 17【解答】（）证明：连接b1c，与 bc1 相交于 o，连接 od， bcc1b1 是矩形， o是 b1c 的中点，又 d 是 ac的中点， od ab1， ab1.平面 bdc1， od. 平面 bdc1，

18、ab1平面 bdc1；（）建立如下列图的空间直角坐标系如图，就 c1（ 0， 0，0）， b（0， 3， 2）， c（ 0， 3， 0）， a（2， 3， 0）， d（ 1， 3， 0），设=（x ， y， z）是平面bdc1 的一个法向量，就，令 x=1 ，就=（ 1，），就=（ 0， 3， 0）是平面abc的一个法向量，就 cos ， =，由题意知二面角c1 bd c是锐二面角，二面角c1bd c的余弦值为假设侧棱aa1 上存在一点p（ 2， y， 0），（ 0 y 3）使 cp平面 bdc1，就，即，即，此时方程组无解，假设不成立，即侧棱 aa1 上是不存在点p，使得 cp平面 bdc1

19、9 / 12 9 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 18【解答】（） f （ x ） =sinx xcosx ，f （ x） =xsinx ，f （） =0， f （） =， 故切线方程是y =0；3（）证明：令g（x ） =f （x ）x ，g（ x ） =x（ sinx x），令 h（x ） =sinx x，h（ x ） =cosx 1 0， h（ x ）在递减，故h（ x ） h（ 0） =0，g（ x ） 0， g（x）递减， g（ x ） g（）= 0，故当时，成立；（）如f （ x ） kx xcosx 对恒成立， 即 k对恒成立，令 m（ x） =，m（ x ）

20、 = 0， m（ x ）在（ 0，）递减，m（ x ） m（） =，故 k k 的最大值是19【解答】（）椭圆的短轴长为2，离心率为，由已知可得，10 / 12 10 / 122021 北京市石景山区高三一模 数学 理 22解得 a =2， b =1故椭圆 c 的标准方程=122222（）联立方程，消 y 得：（1+2k ） x +4kmx+2m 2=022当 =8（ 2k m+1） 0，即 2k+1 m时， x1+x2=， x 1.x2=，=2又=，化简整理得：2k +1=2m代入得： 0 m2又原点 o到直线 ab的距离为d=|ab|=|x 1 x2 |=2. s aob=|ab|d=，且 0 m 2，aob所以当 m=1，即 k 2=时， s取得最大值nn1n 120【解答】（）当n 2 时， an=sn sn 1=2 2=2，当 n=1 时， a1=s1=2 当 n 2 时， sn=an+1数列 a n 是“回来数列”；2 bn=2n，前 n 项和 sn，