平面向量题型归纳

1、平面向量题型归纳向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uur r1,向量的概念：既有大小又有方向的量， 记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。uuu r例：已知A （1,2）, B （4,2）,则把向量 AB按向量a = （ 1,3）平移后得到的向量是uuu r2 .向量的模：向量的大小（或长度），记作：|人8|或|2|。3 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；rruuuuuu4,单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e| 1。（与AB共线的单位向量是4B

2、-）；|AB|5 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6 .平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a /6,规定零向量和任何向量平行。提醒：/相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行/两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 不包含两条直线重合；/平行向量无传递性！（因为有/三点A B、C共线uuuAB、r0）；uurAC共线;如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是uuuuuuuuuuuiruuirA. ABCDB. ABADBDuuruuuuuiruui

3、ruurC. ADABACD. ADBC07.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。若 1a1 1bb。（2）若 a b,b c,贝U auura的相反向量是一 a、ABr r r r r r平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则c。（6）若 a/b,b/c ,则 a/c。（3） uur uuirAB DC 。其中正确的是uurBA。例：下列命题：（1）uuu uuir若 AB DC ,贝U ABCD 是题型1、基本概念1 ：给出下列命题:/if|a|=|b|,r r则a = b ； /向量可以比较大小；/方向不相同的两个向量一定不平行;b=r,贝ua=c；”若abFr-.rr

4、r r_r,b c ,则 a c ； /0 a0 ； /0 a0;其中正确的序号是2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuu uuu(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是 AB CD 。uur uur(5)若AB CD ,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。r r r rr r(7)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。r r r r(8)若 ma mb ,则 a b。r r(9)若 ma na ,贝U m n。r rr r(10

5、)若a与b不共线，则a与b都不是零向量。r r r r r r (11)若 a b |a| |b|,则 a/b。r r r r r (12)若 |a b| |a b|,则 a二、向量加减运算8 .三角形法则：uuruuruuu uuruuruuuruurABBCAC; ABBCCDDEuum uuu uuurAE； AB ACuuuCb (指向被减数)9 .平行四边形法则：r rr rr r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b, a b。题型2.向量的加减运算uuu uuiruuur uuuruuuu1、化简(AB MB) (BO BC) OMuuu uuur uur2、已知|

6、OA| 5,| OB| 3,则| AB |的最大值和最小值分别为uur uuir3、在平行四边形 ABCD中，若 AB ADuuu uuirAB AD ,则必有uiur rA. AD 0uuur r uuirB. AB 0 或 ADr0 C. ABCD是矩形D. ABCD是正方形题型3.向量的数乘运算r r r r1、计算：(1) 3(a b) 2(a b)r rr r(2) 2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)题型4.作图法求向量的和r rr 1r r 3r1、已知向量a,b,如下图，请做出向量 3a b和2a b。22题型5.根据图形由已知向量求未知向量uur uuuruuir

7、r uuu uuurb ,求 AB和 AD 。1、已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD。uuur r uur2、在平行四边形 ABCD中，已知AC a, BD题型6.向量的坐标运算一，rrr 1 r1、已知 a (1, 4),b ( 3,8),则 3a -b练习：若物体受三个力rrrF1(1,2) , F2( 2,3), F3( 1, 4),则合力的坐标为uiLT2、已知PQ(3, 5) , P(3,7),则点Q的坐标是rrrr rr r r3、.已知 a( 3,4) , b(5,2)，求 ab, ab, 3a2b。, 一- 一 ，-r2、已知 A(1,2), B(3

8、,2)，向量 auuu(x 2,x 3y 2)与AB相等，求x, y的值。5、已知O是坐标原点,uuuuuur rumrA(2, 1),B( 4,8),且 AB 3BC 0 ,求 OC 的坐标。三.平面向量的基本定理 ：如果8和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,只有一对实数 1、2 ,使a= 1 e1 + 2 e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底ur uu1、已知0,62是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：有且iruu ur ur uriuiuiriruuiuurA. ee2和ee，B.3e2e2和

9、4e26eC. e(3e2和623eiu nrurD. 62和e2e练习：下列各组向量中，可以作为基底的是()(A) 61(0,0), 62(1, 2)(B)&( 1,2), 62(5,7)(C) 61(3,5), 62 (6,10)(D)6i(2, 3), 62(1,3)2616224rr .2、.已知a (3,4),能与a构成基底的是()3 4A.(5,5)4 33 44B.(5,5)C.( 5, 5D.( 1, 33、知向量ei、e2不共线，实数(3x-4y)ei+(2x-3y)e =6ei+3e2，则x y的值等于4、设ei,e2是两个不共线的向量，AB2eikq,CBs3q,

10、CD2ee2,若A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点介3=1，则x, y所满足的关系式为(A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y)满足 Or = "OA + 3OB ,其中 % 之 R 且 )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0四.平面向量的数量积：urn r uur r1 .两个向量的夹角：对于非零向量a , b ,作OA a,OB b , AOB称为向量a, b的夹角，当 =0时，a, b同向，当时，a , b反向，当 =时，a , b垂直。实数与向量的积：实数

11、与向量a的积是一个向量，记作 a,它的长度和方向规定如下：1当 >0时， a的方向与a的方向相同，当 <0时，a的方向与a的方向相反，当 =0时,r ra | a , 2r ra 0,注意：a wqurnr uuuuuir r uuuf r uuur r例1、已知AD,BE分别是 ABC的边BC, AC上的中线，且AD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为例2、已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB, CD r AB sAC ,则r s的值是 2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量 a, 积(或内积或点积)，记作：a ? b ,即a ? bb,它们的夹角为r r=a

12、b cos 。规定:r r，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量3.向量的运算律r r r r1.交换律：abba,r r r r ra, a?b b?a；r r r2.结合律：a b crrr rrrrabc, abcar ra ?br r r r a?b a? b ;rrrr raaa, a br r r r r r ra b ?c a?c b?c。r , r r r ,c当且仅当a 0时成立;题型8:有关向量数量积的判断1:判断下列各命题正确与否：r ,rr r ，r(1) (a b) c a (b c) ； (2)

13、右 a b a c ,则 b(3) (ab) cr ,r.b c； (4) (a b)r r r r _ rrr,1, ,、c a (b c)对任息a,b,c向重都成立;.r(5)若 a0,ar , 对任息向重a ,有2 aa2。b) =m a +m b其中正确的序2、下列命题中:(b c)a b a c ； /a (b c) (a b)(a b)2|a|22|a|2|b| |b|2； / 若 a b0,0;rrr rrr/若 abc b,则ac；22r aa btrar r 2 ；H (a b)r2 ar2 b ;r r 2II (a b)r2 ar2ar2 bO其中正确的是题型9、求单位向

14、量r【与a平行的单位向量:r星】 |a|1.与a(12,5)平行的单位向量是。2.与 m1 1,-1)平行的单位向量是题型10、数量积与夹角公式:r r rb |a| |b|cos ；cos-r|a|b|r向量的模：若a (x, y)r则|a|r|ar b|(a b)21、 / ABC 中，| AB | 3| AC |4, |BC5,则ABBC.1 r2、已知 a (1-),b2(0,二),c a 2r u kb,dr uc与d的夹角为-,则k等于r 一3、已知 |a| 3,|b|4,且a与b的夹角为60°,r r ,r .r、 b ,(2) a (a b),，、 r .(3) (a

15、 -b)(4)r rb) (ar3b)。4、已知a,b是两个非零向量，且5、已知a (3,1),b (6、已知A(1,0), B(0,1),7、已知非零向量a,b满足8：已知 ABC中 ABCrb的夹角为273,2)，求a与b的夹角。C(2,5),求 cos BAC。|b|,b(b 2a) ,则a与b的夹角为uuu uur50o, BC BA,则BA与AC的夹角为r a则十的值为br b r a21 r a2r a9：已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c = a + b,且a/c,r r r rr r r10： /已知|a|=1|b |= 2, |a + b |=2,则b与2

16、a-b的夹角余弦值为 .rr r rr r r r11：已知向量I al=7r2, I b I =2, a和b的夹角为135 ,当向量a+ b与 a+ b的夹角为锐角时，求 的取值范围。rr题型11、求向量的模的问题如向量的模：若a (x, y),则|a |1、已知零向量 a (2,1) ,a.b 10, a b5<2!,则 b 2、已知向量a,b满足a 训 2,|a b| 2,则|a b 3、已知向量 a(173), b ( 2,0),则 |a b 4、已知向量a (1,sin ),b (1, cos，则a b的最大值为 5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，(A) 8(B)

17、4(C) 2(D) 16、设向量a, b满足a付1及4a 3b 3,求3a 5b的值练习：已知向量a,b满足a 21b 5ab 3求a b和a b|7、设向量a, b满足a 1,|b| 2, a (a 2b),则2a b的值为 r8、已知向量a、b满足a 1, |b| 4 ,则|a b |的最大值是 最小值是题型12、结合三角函数求向量坐标uururn1 .已知O是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2, xOA 150°,求OA的坐标。uuruuu 一2 .已知O是原点，点A在第一象限，|OA| 4J3, xOA 60°,求OA的坐标。 r rrr五、平行与垂直知识点：

18、a/babx1y2x2y1；题型13：向量共线问题1、已知平面向量a (2,3x),平面向量b ( 2, 18),若a /b,则实数x2、设向量a(2,1) ,b(2若向量ab与向量c ( 4, 7)共线，则3、已知向量 a (1,1),b (2, X)若 a 4b2a平行，则实数x的值是(A. -2 B. 0C. 1D. 2uuuuuu练习：设 PA (k,12),PBurnr(4,5), PC (10,k),则 k=时，A,B,C共线5、已知a,b不共线，cka b,d a b ,如果 c / d ,那么 k=1与5的方向关系是r rr练习：已知 a (1,1),b (4,x), urr

19、rrr r ra2b , v2ab,且 u/v,则 x=6、已知向量a (1,2) ,b (2, m),且 a /b,贝U 2a 3b题型14、向量的垂直问题1、已知向量a (x,1) ,b (3,6)且a b,则实数x的值为2、已知向量 a (1, n) ,b ( 1, n),若 2a bWb直，则 a 练习：已知a= (1, 2), b = (-3, 2)若ka+2b与2a-4b垂直，求实数 k的值3、已知单位向量 m和n的夹角为一，求证：(2n m) m34、a(3,1),b (1,3),c(k,2),若(a c)b,则 k 练习：a (1,2),b (2, 3),若向量c满足于(c岳/

20、b, c ( b),则c 5、以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90 ,则点B的坐标是 r题型15、b在a上的投影 为|b|cos ,它是一个 实数，但不一定大于0。1、已知| a | 3 , | b | 5,且a b 12,则向量a在向量b上的投影为r rr r2、已知a 8, e是单位向量，当它们之间的夹角为一时，a在e方向上的投影为 3练习：已知日5, b 4, a与b的夹角2一,则向量b在向量a上的投影为 题型16、三点共线问题1 .已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证：A,B,C 三点共线。uuu. 2 rruuurrr uuur

21、rr2 .设 AB(a5b), BC2a8b,CD3(ab),求证：A B、D 三点共线。2uurrr uuir r r uuinrr练习：已知ABa2b, BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是 。3 .已知A(1, 3), B(8, 1),若点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值。uuu uuu uuur4 .已知四个点的坐标 O(0,0), A(3,4), B( 1,2), C(1,1),是否存在常数t,使OA tOB OC成立？5：e1,1是平面内不共线两向量，已知abe1ke2,cb25e2,cd35e2,若A, B, D三点共线，则k=6: /设O是直线l外一定点，

22、A、B、C在直线l上，且 oB 3OA xoC , x =7：设a, b是两个不共线向量，若 a与b起点相同，t/R, t=时，a , tb ,1 (a + b )三向量的终点在一条直线上。38:如图，在AABC中，点。是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N ,若AB = mAM , AC= nAN ,则m + n的值为.9:在AOAB的边OA, OB上分别取点 M, N,使|oM| OA|= 1 §, |ON| 我而|=1A4,设线段 AN与BM交于点 P,记OA = a, OB=b,用a, b表示向量OP.练习：如图，在 AOAB 中，(Oc =

23、4(Oa, OD = 2(OB, AD 与 BC 交于点 M,设 OA = a, OB=b.(1)用 a、b 表示 OM ;(2)已知在线段 AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点，设OE = pOA , OF = qOB,求证:3_7q=1.六、线段的定比分点：urnruuir1 .定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P-P2的任意一点，若存在一个实数，使PPPF2,uuuruuur则 叫做点P分有向线段PP2所成的比，P点叫做有向线段 P1P2的以定比为的定比分点；2 .的符号与分点 P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时 >0；当P点在线段 P1P2的延长

24、线上时 <1；当P点在线段P2 Pl的延长线上时10；uuu3uuu例1、若点P分AB所成的比为3 ,则A分BP所成的比为4uuuuu3.线段的定比分点公式：设P（xi,yi）、P2（X2,y2）,P（x, y）分有向线段P1P2所成的比为X，则yXiX2iyiy2i特别地，当 =1时，就得到线段P1P2的中点公式yXiX22yiy2 °2题型i7、定比分点 i2、若 M （-3,-2）, N （6, -i）,且 MPMN,则点 P 的坐标为3iuuuuuiuir3、已知A（a,0）, B（3,2 a）,直线y -aX与线段AB交于M ,且AM 2MB ,则a等于r.七、平移公

25、式：如果点P（X,y）按向量a h,k平移至P（X,y）,则X X h ；曲线f （x, y） 0按向量 y y kra h,k平移得曲线f （x h, y k） 0.注意：（i）函数按向量平移与平常左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，题型i8、平移rri、按向量a把（2, 3）平移到（i, 2）,则按向量a把点（7,2）平移到点 2、函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x i,则a =八、向量中一些常用的结论：（1） 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;r（2） |a|r r r r rr rr|b|a b| |a| |b|

26、,特别地，当& b同向或有0r r r r|a b| |a| |b|r r r r r r rr r r r r|a| |b| |a b| ；当 a、b 反向或有0 |a b| |a| |b|a| |b| |a b| |a| |b |（这些和实数比较类似）.r r r r , r r 八八|a| |b| |a b| ；当 a、b 不共线（3）在 ABC 中，A x1，y1，B x2,y2 ,C x3, y3,则其重心的坐标为XiX2X3 yiy2y33,31、若 ABC的三边的中点分别为（2, 1）、（-3, 4）、（-1, -1）,则 4ABC 的重心的坐标为 uuurd uuu u

27、ur uiur PG PA PB PC）uuu uuu uuir rG为ABC的重心，特别地PA PB PC 0 P为ABC的重心;uuur uuuPC PAP为ABC的垂心;uuu uur uur uuu PA PB PB PCuuu uur向量(_ABL -AC)(0)所在直线过 ABC的内心(是 BAC的角平分线所在直线)；|AB| |AC|uuu uur uuur uuu urn uuu rP ABC的内心;|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0uurMP，点M为平面内的任一点，则uuur(3)若P分有向线段PP2所成的比为uuur uuuu中点能0I呼；2uuur uuurMP

28、MP2，特别地P为PP2的1uur uuu uuir(4)向量PA、PR PC中三终点 A B、C共线存在实数uuruuruur使得PAPBPC且1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3)，若点C满足OC i OA 2 OB淇中1, 2 R且121,则点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状uuu r uuur"AB 3e, CDr uur uur5e,且|AD| | BC |,则四边形的形状是2.已知 A(1,0),B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD是梯形。3.已知 A( 2,1), B(6, 3), C(0,

29、5),求证:ABC是直角三角形。4、在 / ABC 中，若 BA BA AB CB0 ，则/ ABC的形状为A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形5、在平面直角坐标系内,ABC是等腰直角三角形。uuruuruuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证:6、平面四边形 ABCD中，AB a, BCb, CD c, DA d ,且a b bc cd da,判断四边形 ABCD的形状.题型20:三角形四心uuv uuv uuuv v1、已知 ABC的三个顶点A、B、C及 ABC所在平面内的一点 P,若PA PB PC 0则点P是ABC的 ()A.重心B

30、.垂心 C.内心 D.外心uur uuu uiruuuru uuruuui2.已知点O是三角形所在平面上一点，若 OAOB OBOC OCOA则O是三角形ABC的()(A)内心(B)外心重心(D)垂心3、已知点O是三角形所在平面上一点，若uuu2 uu 2 uur 2OA OB OC ,则O是三角形 ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心练习、已知 O , N ,P在 ABC所在平且OAOBOC , NANBPA?PB PB?PCPC ? PA ,则点 O,N,P依次是ABC 的()(A)重心外心垂心(B)重心夕卜心内心(C)外心重心垂心(D)夕卜心重心内心4、/在平面内有ABC和点

31、O,uuuurAB (OAuurOB)uuuACuur uur(OC OA)ABC的A.重心B.垂心C.内心D.夕卜心5、已知点O是平面上一个定点,A、B、C是平面内不共线三点,uuir动点P满足OPuurOAuur (ABuurAC), R ,则动点P 一定通过 ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心6、已知点O是平面上一个定点， A、B、C是平面内不共线三点,uur动点P满足OPuurOAuur uurAB ACuuir +-uutFI AB|AC|R ,则动点P 一定通过 ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知点O是平面上一个定点,A、 B、C是平面内不共线八、5uuu满足OPuurrO