第7章 参数估计

1、第七章 参数估计l 点估计：用样本数据所计算出来的单个数值 对总体参数 直接估计，例如利用样本平均数得知估计总体参数l 区间估计：在一定的概率包装下指出总体参数的可能范围。这个可能的范围称为置信区间；相应的概率保证称为置信水平或置信度第一节 点估计（Point Estimation）点估计就是用样本特征数来估计相应的总体特征数， 如：用 ，中位数或众数来估计总体平均数 用 来估计总体方差 2一个好的估计量应满足三个条件：无偏、有效、相容 一个好的估计量应满足三个条件无偏：如果某个估计量的数学期望正好等于总体参数，则称这个估计量为无偏估计量。 有效：在样本含量相等的情况下，如果一个估计量的方差小

2、于另一个估计量的方差，则前一个估计量是比后一个估计量更有效的估计量。 相容：指某个估计量任意接近于参数的概率，随样本含量n的无限增加而趋于1。第二节 区间估计一、基本定义二、区间估计的基本方法 1. 平均数µ 的置信区间 2. 方差2 和标准差的置信区间 3. 平均数差µ1 µ2 的置信区间 4. 配对数据的置信区间 5. 方差比12/22和标准差比1/2的置信区间三、区间估计与假设检验一、基本定义l 置信区间：l 按照预先给定的概率（1- ）确定的包含未知总体参数的可能范围。它是以上下置信限（L1 , L2）为界。l 置信概率：l 又称置信水平或置信度，指在区间

3、估计中，预先选定（规定）的概率。用 1-表示。常取95%或99%。l 显著性水平：l 在使用置信区间作估计时，被估计的参数不在该区间内的概率。用表示。一般取值要求较小。区间与置信水平平均数抽样分布二、区间估计的基本方法一般求法：依据样本统计量的分布来求 一个、两个正态总体1. 平均数µ 的置信区间 (1) 已知时，µ 的置信区间 设X1,Xn是取自 的样本， 已知， 求参数的置信度为1- 的置信区间. 明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？选 的点估计为N(0, 1)对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得于是所求的置信区间为也可简记为:从一个正态总体N（，2）

4、中， 未知，已知，抽取含量为n的样本，样本的平均数为 ，试求置信水平1-=95%时， 的取值范围，也就是置信区间？解： 已知时， 的分布是N（，2/n）,即 N（0,1）。95%变形得到因此， 的95%的置信区间是？幻灯片15例一：某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。 试以95%的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体标准差为36分钟）解：根据题意，可知将以上数值代入所以 即18.944 33.056我们可以95%的概率保证平均每天参加锻炼的时间在18.94433.056分钟之间。幻灯片16(2) 未知时，µ 的

5、置信区间未知时， 研究平均数所用的统计量是 ，它服从自由度为n-1的t分布。所以的1-的置信区间为也可简记为幻灯片17例二:晚稻良种汕优63的千粒重µ027.5g。现育成一高产品种协优辐819，在9个小区种植，得其千粒重为：32.5, 28.6, 28.4, 24.7, 29.1, 27.2, 29.8, 33.3, 29.7(g)。（1）试问新育成品种的千粒重与汕优63有无显著差异？（2）求置信水平为95的新育成品种千粒重的置信区间？解(1) l 所以，我们不否定H0，即新品种与汕优63千粒重没有显著差异。(2)l 所以新品种千粒重95%的置信区间为(27.266,31.244)2

6、. 方差2 和标准差的置信区间3. 平均数差µ1 µ2 的置信区间 (2) 标准差i未知，但1=2时(3) 标准差i未知，但12时（了解）样本统计量利用和上面类似的推导得到的1-置信区间l 例三，对两批黄连中小檗碱的含量进行比较，分别随机抽取出4个150g 的样品，在同样条件下测定含量为：样本1数据（X1）样本2数据（X2）8.908.918.968.858.988.828.968.90l （原来的问题）试检验这两批黄连小檗碱含量的总体方差是否有显著差异？ l 答：根据F检验，两批黄连小檗碱含量的方差没有显著差异。试求两批黄连小檗碱含量差值 µ1 µ2 的95的置信区间，并回答两批黄连小檗碱含量是否有显著差异？（提示：利用求得的置信区间进行假设检验）解：首先根据样本数据求得因此, 的95%置信区间为（0.013,0.147）现利用置信区间进行假设检验4. 配对数据的置信区间 研究配对数据的统计量为 ，它服从自由度为n-1的t分布，其中 为 的均值。所以，配对数据 的置信区间为5. 方差比12/22和标准差比1/2的置信区间比较两样本方差时使用样本统计量 ， 它服从自由度为 和 的F分布。因此幻灯片29例四：以本节例三为例，求 两批黄连小檗碱含量的方差比的95%的置信