第八章平面解析几何

1、第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【考纲下载】1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系 一、必备知识1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上的方向当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°倾斜角的取值范围为0，)(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90°，则斜率ktan_计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k

2、2.直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bYkxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用二、必记结论直线的斜率k与倾斜角之间的关系0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分

3、界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大. ()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()提示：(1)错误坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但斜率不一定存在(2)错误因为过点M(a，b)，N(b，

4、a)(ab)的直线的斜率为1，故其倾斜角是135°.(3)错误因为ktan .当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时，不符合越大，斜率k就越大(4)错误经过点P(x0，y0)的直线只有当其斜率存在时才可以用方程yy0k(xx0)表示(5)正确直线P1P2的方程不管其斜率存在与否都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)二、牛刀小试1直线x2的斜率为()A0 B2 C4 D不存在解析：选D因为直线x2垂直于x轴，故其斜率不存在2直线xya0的倾斜角为()A30

5、76; B60° C150° D120°解析：选Bktan ，且0°180°，60°.3(2015·临川模拟)直线kxy24k，当k变化时，所有直线都通过定点 ()A(0，0) B(2，1) C(4，2) D(2，4)解析：选C直线方程可化为k(x4)(y2)0，所以直线恒过定点(4，2)4过两点A(0，1)，B(2，3)的直线方程为_解析：由两点式方程可得，整理得xy10.答案：xy105若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为_解析： kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a

6、4.答案：4 考点一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D. (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_听前试做 (1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2·cos 1， 设直线的倾斜角为，则有tan 1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，)答案：(1)B(2)(， 1，)探究1若将题(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解：P(1，0)，A(2，1

7、)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.探究2若将题(2)条件改为“经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的范围解：法一：如图所示，kPA1，kPB1，由图可观察出：直线l倾斜角的范围是. 法二：由题意知，直线l存在斜率设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1kx，即kxy10.A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0.1k1.直线l的倾斜角的范围是.探究3将题(2)改为： 已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则的最大值为_；最小值为_解析：本题可先作

8、出函数y82x(2x3)的图象，把看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2xy8，且2x3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值为2，最小值为. 答案：2求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤求倾斜角时要注意斜率是否存在求其取值范围的一般步骤为：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围已知两点A(，3)，B(1，)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率

9、为_解析：设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，则由题可知tan 2，所以2120°，解得tan ，即直线l的斜率为.答案：考点二直 线 方 程 例2求适合下列条件的直线方程：(1)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5.听前试做(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：1，从而1，解得a4或9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(2)依题设知此直线的斜率可能不存在当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其斜率为k，则y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式得：5，解得k.

10、故所求直线的方程为3x4y250.综上，所求直线的方程为x50或3x4y250.求直线方程的注意点在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零 经过点P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是()A8x5y200或2x5y120B8x5y200或2x5y100C8x5y100或2x5y100D8x5y200或2x5y100解析：选D由题意设所求方程为y4k(x5)，即

11、kxy5k40.由·|5k4|·5得，k或k.将k代入可得直线方程.考点三直线方程的综合应用直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题例3(2014·四川高考)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是_听前试做易求定点A(0，0)，B(1，3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|

12、PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程例4(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2(y3)2 4的圆心，且与直线xy10 垂直，则l 的方程是 () Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30听前试做依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y3x0，即xy30.故选D.答案：D角度三：由直线方程求参数问题例5(2015·泰安模拟)已知直线l1：ax

13、2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_听前试做由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a4，当a时，面积最小答案：与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线

14、的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程为_解析：设A(a，0)，B(0，b)(a0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab)·222 4，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.答案：xy202(2015·济宁一模)如果直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2，2 B(，22，)C2，0)(0，2 D(，)解析：选C 令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面积

15、为|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b2，0)(0，2. 课堂归纳通法领悟个关系直线的倾斜角和斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角90°时，ktan .直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率种方法求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程个注意点直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情

16、况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式(4)由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B0时，k不存在；当B0时，k. 一、选择题1直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.CD解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2(2015·西安模拟)过点(，2)的直线l经过圆x2y22y0的圆心，则直线l的倾斜角大小为()A30° B60° C120° D150°解析：选C圆心坐标为(0，1)，斜率ktan ，倾斜角

17、120°.3过点A(4，1)和双曲线1的右焦点的直线方程为()Ayx5 By2x9Cy3x7 Dy4x17解析：选A 由于双曲线1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，1)和双曲线1的右焦点的直线方程为y×(x5)，即yx5.4直线axbyc0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：选A由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yx.易知0且0，故ab0，bc0.5若实数a，b满足a2b3，则直线2axby120必过定点()A(2，8) B(2，8)C

18、(2，8) D(2，8)解析：选Da2b34a8b120，又2axby120，比较可知x2，y8，故选D.6(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是2，只有选项A中直线的斜率为2.7(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是()ABCD解析：选B直线l1：axyb0的斜率k1a，在y轴

19、上的截距为b；直线l2：bxya0的斜率k2b，在y轴上的截距为a.在选项A中l2的斜率b<0，而l1在y轴上截距b>0，所以A不正确同理可排除C、D.8(2015·哈尔滨模拟)函数yasin xbcos x的一条对称轴为x，则直线l：axbyc0的倾斜角为()A45° B60° C120° D135°解析：选D由函数yf(x)asin xbcos x的一条对称轴为x知，f(0)f，即ba，直线l的斜率为1，倾斜角为135°.二、填空题9若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的

20、斜率为_解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP72，解得xP5，即P(5，1)，所以k.答案：10(2015·中山模拟)过点M(3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：(1)当直线过原点时，直线方程为yx；(2)当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya.代入点(3，5)，得a8.即直线方程为xy80.答案：yx或xy8011(2015·泉州模拟)若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是_解析： 因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100，利用m2n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2n2

21、的最小值为4.答案：412(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线l的斜率为k，则方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1，令313，解得k1或 k.答案：(，1)三、解答题13已知两点A(1，2)，B(m，3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1)当m1时，直线AB的方程为x1；当m1时，直线AB的方程为y2(x1)(2)当m1时，；当m1时，m1(0， ，k(， ，.综合知，直线AB的倾斜角.1设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足(

22、)Aab1 Bab1Cab0 Dab0解析：选D因为sin cos 0，所以tan 1.又因为为倾斜角，所以斜率k1.而直线axbyc0的斜率k，所以1，即ab0.2(2015·杭州模拟)已知f(x)是函数f(x)的导函数，如果f(x)是二次函数，f(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线yf(x)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由题意知f(x)a(x1)2(a>0)，所以f(x)a(x1)2 ，即tan ，所以.3(2015·太原模拟)已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和Sn，则直线1与坐标轴所围成三角

23、形的面积为()A36 B45 C50 D55解析：选B由an，可知an，Sn1，又知Sn，1，即n9.直线方程为1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×945.4已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3，3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的

24、截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直线l的方程为x6y60或x6y60.第二节两直线的位置关系考纲下载1能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 一、必备知识1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2；当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21；如果l1，l2

25、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直2两条直线的交点3三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d二、必记结论常见的直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(xx0)B(yy0)C0(A2B20)，还可表示为yy0k(xx0)(斜率不存在时可设为xx0)(2)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxByC10(C1C)(3)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAyC10.(4)过两条已知直线A1xB1yC10，A2

26、xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中不包括直线A2xB2yC20)一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)两平行直线2xy10，4x2y10间的距离是0.()提示：(1)错误当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1k2，但有可能重合(2)错误两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等

27、于1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0.(3)正确若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交(4)错误点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式(5)错误使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同答案：(1)× (2)× (3) (4)× (5)×二、牛刀小试1原点到直线x2y50的距离是()A1 B. C2 D.解析：选Dd.2(2015·烟台模拟)已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为()A. B. C4 D8解析：选Bl1的方程可化为6x

28、8y140，又因为l2的方程为6x8y10，所以l1与l2的距离d.3两直线l1：3x4y20和l2：3xy20的交点为_解析：解方程组得交点坐标为.答案：4若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_解析：直线x2y50与2xmy60互相垂直，×1，m1.答案：1 考点一两条直线的平行与垂直问题 例1(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a1)·x2y10，l2：xay30平行，则a ()A1B2C0或2D1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1, l2：ax2y0, 若l1l2，则a _(3)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的

29、交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_听前试做(1)若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0时，若两直线平行，则有，解得a1或a2，选D.(2)法一：l1l2，k1k21，即1，解得a2.法二：l1l2，a20，a2.(3)法一：由方程组得即P(0，2)ll3，直线l的斜率k1，直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.答案： (1)D (2)2 (3

30、)4x3y60探究1若将题(2)中条件“l1l2”改为“l1l2”，其他条件不变，求a的值解：l1l2，a2.探究2题(2)变为：“a2”是“直线ax2y0与直线xy1平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当a2时，直线ax2y0即xy0与直线xy1平行；当直线ax2y0与直线xy1平行时，1，a2.综上所述，“a2”是“直线ax2y0与直线xy1平行”的充要条件，故选C.答案：C探究3将题(3)中条件“与直线l3：3x4y50垂直”改为“与直线l3：3x4y50平行”，求此时直线l的方程解：法一：由方程组得即P(0，2)ll3，直线l的斜率k1

31、，直线l的方程为y2x，即3x4y80.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3平行，3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，直线l的方程为3x4y80.用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)1已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_.解析：因为两直线垂直，所以a(a2)1

32、0，解得a1.答案：12若直线ax2y3a0与直线3x(a1)y7a平行，则实数a的值为_解析：显然当a1时两直线不平行；当a1时，k1，k2，因为两条直线平行，所以k1k2，解得a3或a2.经检验，a2时两直线重合，故a3.答案：3考点二有关距离问题 例2(1)(2015·安康模拟)点P到点A(1，0)和直线x1的距离相等，且P到直线yx的距离等于，这样的点P共有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)已知两条平行直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10间的距离为，则直线l1的方程为_听前试做(1)设点P(x，y)，由题意知|x1|，且，所以即或解得或解得因此，这样的点P共有3个

33、(2)l1l2，或当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解得n22或18.故所求直线l1的方程为2x4y110或2x4y90.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成为4x8y20，解得n18或22.故所求直线l1的方程为2x4y90或2x4y110.答案：(1)C(2)2x±4y90或2x±4y110与距离有关问题的解题策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便已知点P(2，1)，过点P且

34、与原点的距离最大的直线l的方程为_，原点到直线l的最大距离为_解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.又点P(2，1)在直线l上，由点斜式得y12(x2)，即2xy50.直线2xy50是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为.答案：2xy50考点三对 称 问 题对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度：角度一：点关于点中心对称例3(2015·泉州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_

35、听前试做设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.答案：x4y40角度二：点关于直线对称例4(2015·日照模拟)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_听前试做设A(x，y)，由已知得解得故A.答案：角度三：直线关于直线的对称问题例5(2015·泰安模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程听前试做在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(

36、2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又m经过点N(4，3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.角度四：对称问题的应用例6(2015·福州模拟)光线从点A(4，2)射出，到直线yx上的点B后被直线yx反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1，6)，求BC所在的直线方程听前试做作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1，6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.解决对称

37、问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决1(2015·广州模拟)直线x2y10关于x1对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D由题意得直线x2y10与x1的交点坐标为(1，1)又直线x2y10上的点(1，0)关于x1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y30.2将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0

38、)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则mn_解析：设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB，则线段AB的垂直平分线方程为y12(x2)，即2xy30.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有即解得mn.答案：3如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是_解析：直线AB的方程为xy4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.答案：2 课堂归纳通法领悟 条规律与已知直线垂直及平行

39、的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.种思想转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决个注意点判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d的前提是将两方程中的x，y的系数化为 一、选择题1若直线l1：ax2y60与

40、直线l2：x(a1)ya210垂直，则实数a()A.B1C2D1或2解析：选Aa×1(a1)×20，a.2已知点(m，1)(m0)到直线l：xy20的距离为1，则实数m的值为()A. B2 C.1 D.1解析：选C d1，m1±.又m0，m1.3当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B解方程组得交点为.因为0k，所以0，0.故交点在第二象限4已知平面内两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是，则满足条件的直线l的条数为()A1 B2 C3 D4解析：选C由题知满足题意的直线l在

41、线段AB两侧各有1条又因为|AB| ，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条5已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A. B C2 D2解析：选A因为l1，l2关于直线yx对称，所以l2的方程为x2y3，即yx，即直线l2的斜率为.6(2015·张家界模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A. B5 C. D15解析：选B由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是xy100，则原点到直线xy100的距离为d5.7若直线l1：

42、yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点()A(0，4) B(0，2)C(2，4) D(4，2)解析：选B直线l1：yk(x4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)8(2015·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是()Axy50 B2xy10Cx2y40 Dxy70解析：选D由|PA|PB|知点P在AB的垂直平分线上由点P的横坐标为3，且PA的方程为xy10，得P(3，4)

43、直线PA，PB关于直线x3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x3的对称点(6，1)在直线PB上，直线PB的方程为xy70.二、填空题9直线Ax3yC0与直线2x3y40的交点在y轴上，则C的值为_解析：因为两直线的交点在y轴上，所以当x0时，y1，y2，则y1y2，即，故C4.答案：410(2015·玉溪模拟)已知点A(3，4)，B(6，3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意及点到直线的距离公式得，解得a或.答案：或11已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8, l1l 2，则实数m的值为_解析：由(3m)(5m)4×20，得

44、m1或m7，当m1时，直线l1与l2重合，舍去；当m7时，两直线平行答案：712已知平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数k的所有取值为0，1，2.答案：0，1，2三、解答题13已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解：(1)l1l2，a(a1

45、)(b)·10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40由得a2，b2.(2)l1l2，1a，b，故l1和l2的方程可分别表示为：(a1)xy0，(a1)xy0，又原点到l1与l2的距离相等4，a2或a，a2，b2或a，b2.1(2015·南昌模拟)点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为 ，则点P坐标为()A(1，2)B(2，1)C(1，2)或(2，1) D(2，1)或(1，2)解析：选C设P(x，53x)，则d，|4x6|2，4x6±2，即x1或x2，故P(1，2)或(2，1)2. 已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐

46、标分别是(4，2)，(3，1)，则点C的坐标为()A(2，4) B(2，4)C(2，4) D(2，4)解析：选C点A关于直线y2x对称的点为(4，2)，且点A关于y2x对称的点在直线BC上，于是BC方程为3xy100，由得点C的坐标为(2，4)3曲线1与直线y2xm有两个交点，则m的取值范围是()A(，4)(4，) B(4，4)C(，3)(3，) D(3，3)解析：选A曲线1的草图如图所示，与直线y2xm有两个交点令y0，则x，所以<2或>2，所以m>4或m<4.4若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则的值为_解析：由题意得，a4且c2，则6xayc0可

47、化为3x2y0，由两平行线间的距离公式，得，解得c2或c6，±1.答案：±1第三节 圆的方程考纲下载1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程 一、必备知识1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圆心：半径：r2.点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种情况圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2>r2点在圆外；(x0a)2(y0