第2章 内力篇-弯曲杆件-2013级

1、第第 2 2 章章 应力状态分析应力状态分析-内力篇内力篇2.1.3 2.1.3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 2.1.4 2.1.4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2.1.5 2.1.5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系 2.1.1 2.1.1 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力2.1.2 2.1.2 扭转杆件的内力扭转杆件的内力 弯曲（弯曲（bending )工程中有许多发生弯曲的构件工程中有许多发生弯曲的构件弯曲（弯曲（bending )工程中有许多发生弯曲的构件工程中有许多发生弯曲的构件肋梁楼板肋梁楼板弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯曲（弯曲（bending )平

2、面弯曲（平面弯曲（plane bending )弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯曲（弯曲（bending )受力特点受力特点： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、分布力偶）作用在杆过轴线的对称分布力偶）作用在杆过轴线的对称平面内，并垂直于轴线。平面内，并垂直于轴线。变形特点变形特点： 轴线由直线变成了在轴线由直线变成了在过轴线过轴线对称平面内的平面对称平面内的平面曲线。曲线。 平面弯曲（平面弯曲（plane bending )对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种，这种弯

3、曲称为弯曲称为平面弯曲。平面弯曲。弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯曲（弯曲（bending )受力特点受力特点： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、分布力偶）作用在杆过轴线的对称分布力偶）作用在杆过轴线的对称平面内，并垂直于轴线。平面内，并垂直于轴线。变形特点变形特点： 轴线由直线变成了在轴线由直线变成了在过轴线过轴线对称平面内的平面对称平面内的平面曲线。曲线。 平面弯曲（平面弯曲（plane bending ) 发生弯曲变形的杆件称为发生弯曲变形的杆件称为梁梁（beam）。）。 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力载荷的简化：载荷的简化：集中荷载，集中力偶，分布荷载集中荷载，集中

4、力偶，分布荷载梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。轴线上。 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 一端是固定铰支约束，另一一端是固定铰支约束，另一端可动铰支约束，为端可动铰支约束，为简支梁简支梁 梁的支承的简化梁的支承的简化简支梁的计算简图简支梁的计算简图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 一端为固定约束，另一端自一端为固定约束，另一端自由，即没有约束，为由，即没有约束，为悬臂梁悬臂梁 梁的支承

5、的简化梁的支承的简化悬臂梁悬臂梁计算简图计算简图弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 简支梁简支梁如图所示，若约束反如图所示，若约束反力力 、 已求出，用截面法可已求出，用截面法可求梁任意横截面求梁任意横截面 II 上的内力上的内力 剪力剪力（shearing force）弯矩弯矩（bending moment）AFBF( )0yASFqxFx0yF( )ysAFxqxF0 cM（对过截面形心（对过截面形心 C 的的 轴轴 取矩，今后写为取矩，今后写为 ）zCM( )02AZxF xqxMx2( )2zAqMxF xx剪力、弯矩的正负号剪力、弯矩的正负

6、号 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 ( )ysAFxqxF2( )2zAqMxF xx弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 建议：求截面FS和Mz时，均按规定正向假设。剪力剪力F FS Sy：作用线平行于横截面；：作用线平行于横截面；大小大小等于该截面左侧或右侧（保等于该截面左侧或右侧（保留部分）梁上所有横向外力的合留部分）梁上所有横向外力的合力值；力值；正负号正负号：使杆件发生逆时使杆件发生逆时针转动的趋势为正，反之为负。针转动的趋势为正，反之为负。弯矩弯矩M Mz z：矩失沿：矩失沿z轴；其值等于轴；其值等于该截面左侧或右侧（保留部分）该截面左侧或右

7、侧（保留部分）梁上所有外力向截面形心取矩的梁上所有外力向截面形心取矩的代数和；代数和；正负号正负号：使杆件下部受使杆件下部受拉为正，反之为负。拉为正，反之为负。2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 例例1 1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两截面的剪力与弯矩。解： 1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩3）求2-2截面上的剪力、弯矩0 2 54 1.5 4 20BAMF 5.5kNAF 0 4 1.5 4 22 10ABMF 2.5kNBF 10 2kNyysFF10 2kN mczMM 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯

8、矩剪力与弯矩 例例1 1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两截面的剪力与弯矩。解： 1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩3）求2-2截面上的剪力、弯矩5.5kNAF 2.5kNBF 10 2kNyysFF10 2kN mczMM 20 2.5 1.5 20.5kNyysFF 20 2.5 2 1.5 2 12kN mczMM 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，描述这种变化的数学表达式ss( )( )yyzzFFxMMx分别称为剪力方程和弯矩方程。分别称为剪力方程和弯矩方程。FSy 、Mz为纵坐标; x轴为横坐标，与

9、梁的轴线一致2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2）剪力图和弯矩图：剪力图剪力图剪力方程剪力方程 Fsy（x）的图线表示；）的图线表示；弯矩图弯矩图弯矩方程弯矩方程 Mz（x）的图线表示；）的图线表示；注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变的截面处。注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变的截面处。弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解： 1） 求支座约束反力并验算求支座约束反力并验算2

10、） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程分分AC段和段和BCBC段段建立内力方程。建立内力方程。( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力图剪力图 21 33ABFFFF根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ，AC段段：112( ) (0)33yslFxFx 112( ) (0)33zlMxFxx2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力注意：内力方程的分段！注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变分段点设在外力有突变的截面处。的截面处。弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例7-2 7-2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列

11、出梁的剪力作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：解： 1） 求支座约束力求支座约束力2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力图剪力图 21 33ABFFFF221() ()33yslFxFxl222()() ()33zFlMxlxxl分分AC段和段和BCBC段段建立内力方程。建立内力方程。根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ，BC段段：2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力注意：内力方程的分段！注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变分段点设

12、在外力有突变的截面处。的截面处。弯矩方程 弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：解： 1） 求约束反力并验算求约束反力并验算2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程AC段段 ：BC段段 ：( )yyssFFx剪力方程 ( )zzMMx剪力图 112( ) (0)33yslFxFx 112( ) (0)33zlMxFxx221() ()33yslFxFxl222()() ()33zFlMxlxxl3） 作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图2-1-4

13、 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力注意：内力方程的分段！注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变分段点设在外力有突变的截面处。的截面处。弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：解： 1） 求约束反力并验算求约束反力并验算2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力图剪力图 3） 作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图 在集中力作用处，剪力在集中力

14、作用处，剪力发生突变，其突变量就等于发生突变，其突变量就等于集中力的数值；弯矩连续，集中力的数值；弯矩连续，但弯矩图在此出现折点（斜但弯矩图在此出现折点（斜率不连续的点）。率不连续的点）。2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯矩方程弯矩方程 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx122 (0)33( )1 ()33yslFxFxlFxl1222 (0)33( )() ()33zlFxxMxFllxxl步骤：沿坐标为步骤：沿坐标为x x的横截面将梁截开，取出其中一段，分别应的横截面将梁截开，取出其中一段，分别应用用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩

15、的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力F FS Sy y( (x x) )和弯和弯矩矩M Mz z( (x x) )的表达式，即剪力方程的表达式，即剪力方程F FS Sy y ( (x x) )和弯矩方程和弯矩方程M Mz z( (x x) )。2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力步骤：沿坐标为步骤：沿坐标为x x的横截面将梁截开，取出其中一段，分的横截面将梁截开，取出其中一段，分别应用别应用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力F FQ Q( (x x) )和弯矩和弯矩M M( (x x) )的表达

16、式，即剪力方程的表达式，即剪力方程F FQ Q( (x x) )和弯矩方程和弯矩方程M M( (x x) )。弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力图剪力图 练习练习: : 确定图中所示梁的剪力确定图中所示梁的剪力方程和弯矩方程矩图。方程和弯矩方程矩图。 解：解：1. 1. 求支座约束力求支座约束力 RR2ABqlFF2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力图剪力图 练习：练习： 确定图中所示梁的剪力确定图中所示梁的剪力方程

17、和弯矩方程方程和弯矩方程, ,并作内力图。并作内力图。 解：解：1 1） 求支座约束力求支座约束力 RR2ABqlFF2 2） 分段列剪力和弯矩方程分段列剪力和弯矩方程无需分段建立剪力方程和弯矩方程无需分段建立剪力方程和弯矩方程2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力3 3） 确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 0yF RS0AyFqx Fx+ R02AxM xFxqx 0M 以以A、B之间坐标为之间坐标为x的任的任意截面为假想截面，将梁意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象截开，取左段为研究对象，在截开的截面上

18、标出剪，在截开的截面上标出剪力力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)的正方的正方向。向。 SR02yAqlFxqxFqxxl 2022qlxqxM xxl第第7章章 弯曲弯曲解：4）画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图 x =l/2，弯矩有极大值Mzmax=ql2/8( ) (0)2ysqlFxqxxl 2( ) (0)22zqlqMxxxxl3 3） 确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程02d)(d qxqlxxMz求极值剪力为零处，弯矩出现极值剪力为零处，弯矩出现极值 例例3 3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。解：解：1）求支座约束力）求支座约束力2）分段列内力方程）分段列内

19、力方程ySF53 22ABFFFF11111( ) (0)( ) (0)yszFxFxaMxFxxa 分AC段、AD段、BD段建立内力方程。根据力平衡方程得 ， CA段：2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 例例7-3 7-3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。解：解：1）求支约束力）求支约束力2）分段列内力方程）分段列内力方程ySF53 22ABFFFF22222153() (2 )225()() (2 )2yszFxFFFaxaMxFxF xaaxa 分AC段、AD段、BD段建立内力方程。根据力平衡方程得 ，AD段：2-1-4 剪力图与弯矩图剪

20、力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力解：解：333333() (23 )23()(3) (23 )2yszFxFaxaMxFaxaxa 例例7-3 7-3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。ySF2）分段列内力方程）分段列内力方程分分AC段、段、AD段段、BD段段建立内力方程。建立内力方程。根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ， DB段段：2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力3）绘剪力图和弯矩图绘剪力图和弯矩图 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，剪力连续，弯矩发生突变，剪力连续，弯矩发生突变，其突变量就等于集中力偶矩的值。其突变量就等于集中力

21、偶矩的值。 1231122133 (0)53( ) (2 )223 (23 )2 (0)5( )() (2 )23(3) (23 )2yszFxaFxFFFaxaFaxaFxxaMxFxF xaaxaFaxaxa 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力2-1-5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系0yF( )( )( )d( )0yyySSSq x dxFxFxFx0CMd( )( )d( )d( )d( )02yzSzzxMxFxxq xxMxMx弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力内力突变规律内力突变规律2-1-5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力一

22、段梁上的一段梁上的外力情况外力情况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截最大弯矩所在截面的可能位置面的可能位置q0向下的均布荷载向下的均布荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次抛上凸的二次抛物线物线在在FS=0的截面的截面一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角在剪力突变的在剪力突变的截面截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某一的某一侧截面侧截面向左下倾斜的直线向左下倾斜的直线 水平直线水平直线 2 各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC（+）（-）Fsy（ kN）0.891.11练习练习1： 作图