第十二章概率

1、长安一中一轮复习资料 第十二章 概率与统计 编辑者：王仓绪第十二章 概率与统计考纲要求1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法3考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点4在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主5以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容新课标高考对几何概型的要求

2、较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主6考查离散型随机变量及其分布列的概念理解；7两点分布和超几何分布的简单应用8考查条件概率和两个事件相互独立的概念9考查n次独立重复试验的模型及二项分布10能解决一些简单的实际问题11考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念12利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题13考查根据正态密度曲线的对称性进行概率计算14考查正态随机变量在特定区间上的概率§12.1随机事件的概率考点回顾1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件(3) 必然

3、事件与不可能事件统称为确定事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(5) 确定事件和 随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A) 为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的 频率 稳定在某个常数 上，把这个 常数 记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0

4、.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B).若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B).本节焦点1随机事件和随机试验是两个不同的概念在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验2对概率定义的进一步理解(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常

5、所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法3互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件典例探究题型一事件的分类与事件关系的判断

6、例1一口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任取两球记“取到一白一黑”为事件A1，“取到两白球”为事件A2，“取到两黑球”为事件A3.解答下列问题：(1)记“取到2个黄球”为事件M，判断事件M是什么事件？(2)记“取到至少1个白球”为事件A，试分析A与A1、A2、A3的关系探究提高在分析事件的关系时，要特别注意试验前提，关注“试验”和“事件”是解决概率问题的关键题型二随机事件的频率与概率例2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次

7、，击中10环的概率为多少？探究提高利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率题型三互斥事件、对立事件的概率例3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率探究提高(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事

8、件或对立事件，再选择概率公式进行计算(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便课时训练A组基础训练一、选择题11,2，9中任取2个数，其中恰有1个是偶数和恰有1个是奇数；至少有1个是奇数和2个都是奇数；至少有1个是奇数和2个都是偶数；至少有1个是奇数和至少有1个是偶数上述事件中，是对立事件的是( )A BC D2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有

9、一次中靶”的互斥事件是 ( )A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶3从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A0.3 B0.5C0.8 D0.7二、填空题4已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为_和_5现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1 本，取出的是理科书的概率为_6一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取

10、得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_三、解答题7射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率8某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；(2)求他不乘轮船去开会的概率；(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？B组能力提升一、选择题1袋中有红色、黄色、绿色球各一个，每次任取

11、一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A. B.C. D.2甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件那么( )A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是 ( )AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件二、填空题4向三个相邻的军火库各投一枚炸弹击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库

12、的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为_5口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_个6某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成 员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_7盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，乙盒子中装有5个编号分别为1,2,3,4,5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两个小球编号之积为奇数的概率为_三、

13、解答题8袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？C组创新应用国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率§12.2古典概型考点回顾1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本

14、事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果(2)每一个试验结果出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A) .4古典概型的概率公式P(A) .本节焦点对古典概型的理解1 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键2 古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所

15、有的试验都是古典概型3 从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集故P(A).典例探究题型一基本事件及事件的构成例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”探究提高解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据：(1)试验中所有可能

16、出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解题型二古典概型的概率问题例2现有8名世博会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率探究提高解决古典概型的关键：列出所有的基本事件，并且确定构成事件的基本事件第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件求解一般涉及“至多”、“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对立事件

17、的概率，从而简化运算题型三古典概型概率的综合应用例3(2011·福建)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件

18、日用品的等级系数恰好相等的概率探究提高在古典概型条件下，当基本事件总数为n时，每一个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)求出事件A的概率课时训练A组基础训练一、选择题1从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则b>a的概率是 ( )A. B.C. D.2一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( )A. B.C. D.3(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独

19、立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A. B.C. D.二、填空题4(2011·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_5从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_6在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为_三、解答题7袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球(1)试问：一

20、共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率8将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215内部的概率B组能力提升一、选择题1从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( )A. B.C. D12(2011·浙江)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )A. B.C. D.3在一次读书活动中，一同学从4本不同的

21、科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 ( )A. B.C. D.二、填空题4已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.设集合P1,1,2,3,4,5，Q2，1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，则函数yf(x)在1，)上是增函数的概率为_5如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F.设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为_6若集合Aa|a100，

22、a3k，kN*，集合Bb|b100，b2k，kN*，在AB中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在AB中的概率为_三、解答题7在3件产品中，有2件正品，记为a1，a2，有1件次品，记为b1，从中任取2件，每次取1件产品(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次是次品的概率8为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概

23、率；(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率C组创新应用1.(2011·山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率2.(2010·陕西)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180190

24、cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190 cm之间的概率§12.3模拟方法概率的应用考点回顾1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 几何概型 2几何概型中，事件A的概率计算公式P(A).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关5求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和

25、整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解本节焦点1古典概型与几何概型的异同点几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关2 解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”几何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”典例探究题型一与长度有关的几何概型例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？探究提高从该题可以看出，我们将每个事件理

26、解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解题型二与面积有关的几何概型例2在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x，y)的概率探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A).例3设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有

27、实根的概率题型三与角度有关的几何概型例4如图，四边形ABCD为矩形，AB ，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE， 在DAB内任作射线AP，求射线AP与线段BC有公共点的概率探究提高几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”因为射线AD落在DAB内的任意位置是等可能的，所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键 例5 如图所示，在ABC中，B 60°，C45°，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率课时训练A组基础训练一、选择题1ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离

28、大于1的概率为( )A. B1C. D12函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x05，5，使f(x0)0的概率是()A1 B.C. D.3在区间1,1上随机取一个数x，则sin 的值介于与之间的概率为( )A. B.C. D.4蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( )A. B.C. D.二、填空题5在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为_6设p在0,5上随机地取值，则方程x2px0有实根的概率为_7(2011·湖南)已知圆

29、C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_三、解答题8抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率B组能力提升一、选择题1如图所示，设M是半径为R的圆周上一个 定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接M

30、N，则弦MN的长超过R 的概率为 ( )A. B.C. D.2在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是( )A. B. C. D.3在区间0,1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为 ( )A. B. C. D.二、填空题4已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)_.5已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC<VSABC的概率是_6如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，则过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1

31、的概率是_三、解答题7已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2，1,1,2,3和 Q2,3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymxn是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件，求函数ymxn的图像经过第一、二、三象限的概率8设AB6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率§12.4离散型随机变量及其分布列考点回顾1离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变

32、量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为随机变量X的分布列，具有性质：p i> 0，i1,2，n；p1p2pipn1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n (nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk) (其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M

33、，n的超几何分布本节焦点1随机变量的本质(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果(2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性2离散型随机变量的分布列的作用对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率典例探究题型一离散型随机变

34、量分布列的性质例1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列探究提高(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)若X是随机变量，则2X1，|X1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列题型二求离散型随机变量的分布列例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率

35、；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率探究提高在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来，这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到例3袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率题型三超几何分布问题例4一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的

36、概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列探究提高对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型课时训练A组基础训练一、选择题1某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为A0.28 B0.88 C0.79 D0.512设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P12qq2则q等于( )A1 B1±C1 D13一

37、盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为( )A. B. C. D.4设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于( )A0 B. C. D.二、填空题5袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为_6连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为，则射击次数为3的概率为_7从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为X

38、012P_三、解答题8某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列B组能力提升一、选择题1随机变量X的概率分布规律为P(Xn) (n1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )A. B.C. D.2设随机变量的分布列由P(i)C·i确定，i1,2,3，则C的值为( )A. B.C. D.3在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从

39、中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是 ( )AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)二、填空题4设随机变量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X<4)0.3，那么n_.5设随机变量X的分布列为X1234Pm则P(|X3|1)_.6如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则P(8)_.三、解答题7在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别

40、判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜(1)求该考生8道题全答对的概率；(2)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列8某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分的分布列C组创新应用在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获

41、得的奖品总价值X元的概率分布列§12.5二项分布及其应用考点回顾1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做 条件概率，用符号 P(B|A) 来表示，其公式为P(B|A) .在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有性质：0P(B|A)1；如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A) P(B|A)P(C|A ).2相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)·P(A)P(

42、A)·P(B).(3)若A与B相互独立，则A与，与B ， 与 也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 两种 相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Cpk(1p)nk(k0,1,2，n) (p为事件A发生的概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n，p)本节焦点1“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系(1)“互斥”

43、与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系(2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥2条件概率条件概率通常是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率放在总体情况下看：先求P(A)，P(AB)再求P(B|A).关键是求P(A)和P(AB)典例探究题型一条件概率例1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率探究提高条件概率的

44、求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).题型二相互独立事件的概率例2甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率探究提高(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用

45、“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单题型三独立重复试验与二项分布例3某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分记为射手射击3次后的总分数，求的分布列探究提高(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某

46、事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数例4为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列课时训练A组基础训练一、选择题1设随机变量XB，则P(X3)等于

47、( )A. B. C. D.2(2010·辽宁)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ( )A. B. C. D.3(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类 不同的元件连接一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A0.960 B0.864C0.720 D0.576二、填空题4(2011·湖南)如图，EFGH是以O为圆心， 半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子

48、随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_； (2)P(B|A)_.5在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_6某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_三、解答题7(2011·大纲全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率8(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若