常系数线性差分方程的求解

1、 §6.4常系数线性差分方程的求解主要内容求解常系数线性差分方程的方法 零输入响应与零状态响应重点:用时域经典法求常系数线性差分方程飞性时不变离散系统的差分方程是常系数线性 差分方程,基本形式：aQy(n)+a y(n-1)+ A + aN_y(n - N+1)+aNy(n - N)b°x(ft)+bX(ftl 丿+A + 如一M+1 )hbx(nM)NM或写成aky(n-k) = 工乞兀厂) kGr=0在差分方程中,各序列的序号自n以递减方式给出, 称为后向(或右移序)差分方程。、求解常系数线性差分方程的方法- 任帕土 逐次代入求解,概念清楚,比较简便,适 丄、用于计算机

2、，缺点是不易得出通式解答。2. 时域经典法 全响应二齐次解+特解自由响应 强迫响应 蒜过程比较麻烦3、全响应二零输入响应+零状态响应 零输入响应求解与齐次通解方法相同 零状态响应求解利用卷积和法求解,十分重要。4. 变换域法（Z变换法）本章着重介绍时域中求常系数线性差分方 法f下_章详细研究Z变换方法。下面我们学习时域经典法解常系数线性差 分方程。幕时域经典解法齐次解一般差分方程对应的齐次方程的形式为aQy(n)+ax y(n-1)+ A + aNA _ N+1)+伽 y 仇 _ N)二 0 一般情况下,对于任意阶的差分方程,它们的齐次 解的形式为cdKJ项组合而成。N工色C"0比=

3、0消去常数C .弄逐项除以才得到:NakCaNk =aoaN +axaNx +A + aN_xa +血=0 上式称为齐次微分方程的特征方程,其根ava2A aN 称为差分方程的特征根。診E重根时的齐次解+ +aN= ckakk=0K；欠重根时的齐次解K+ C2nK2 + A + CK_n + CK共辘根时的齐次解ax ? =a± jb = pe±J(0 y(n) = C (a + jby +C2(a-jb)n=Cxpn cos nco0 + C2pn sin ncoQ有_个1重复根时的齐次解y(n) =(Gkt +C2h-2 +A +CK_xn + CK)pn cosna)

4、0 + (Z)k ' + D/K 2+a + DK)pn sin)例系统的差分方程y(n+2) - 5y(+1)+6呦)二0初始条件为y(0)=2和y=3 ,求方程的齐次解。解：特征方程为 a2 -5(7+ 6 =-2)(cr-3) = 0特征根为a 2, a2 3.于是儿二Gn+C2(3f由初始条件y(0)二2二C+C2X1) = 3 = 2C1+3C2解得：G=3,C2=-1故齐次解几(对二3(2)"-3”2、特解特解得求法:将激励x(n)代入差分方程右端得到自 由项,特解的形式与自由项及特征根的形式有关。(1)自由项为卅的多项式1不是特征根:(n) = D.nk + A

5、+Q1是K重特征根:yp (对=nK(Donk + D#' + A + Q)不是特征根,则特解yp（n） = Dan罷特征单根,则特解儿）= （9+ Q ）。"團重特征根,则特解儿)=(D"k +D2nx +A +Dk+i)a(3 )自由项为正弦sin咸济弦C塞现yp (n) = D sin no) + D2 cos na)°(4 )自由项为正弦a" (£ sin nco0 + A2cosn0)cce 特征根yp (n) = an (Q sin na)° + D2 cos 诚°)必土忸特征根yp(h) = n an(

6、Dx sin na)° + D2 cos”©)0=6,9:浴Tell附氓渤3沏盼蕭y(M) + 2y(q 1) H X(M) 1X3 1)M*韓因凰博S丿面査 yll) H 1翠蚕冃番：Q + 2H0 a"2 冷为嵐蕭&(2r茜定兗>讲蔽出1|、ax(s)丨 x(s丨 1) HS22 1)2h 2S 1Djt + Z?2 + 2Z)j (m 1) + = 2fi 1比较两边系数得c213D、= 2解得 D =, £>2 =63D.-2H =-139J L12 1完全解为 WO=C(-2)“+ g代入边界条件y(-1)弓序c21-l =

7、 c(-2),?+-x(-l) + -39(、8 cp 21y()= (一2) + + 939F经典法不足之处(1) 若激励信号发生变化,则须全部重新求解。(2) 若差分方程右边激励项较复杂,则难以处理。 若初始条件发生变化,则须全部重新求解。(4)这种方法是一种纯数学方法,无法突出系统响 应的物理概念。二.零输入响应和零状态响应系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由 响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。Ny（）二工 +£（） k=根据边界条件及激励的不同,完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和。歹（）=儿（"）+ 儿$（）儿“)当激励x(n)=O时,由

8、系统的起始状态y(-l)f y(-2), Ay(-N)所产生的响应。它是齐次解的形式,它負首由响应的一部分。y 当起始状态y(-：L)=yC2)= / =y(-N)=00?,由系统的激励xn所产生的响应。它是自由响应的另夕卜部分加上强迫响应。NE 5皈倒2 43零输入响应yM = Cka2 + yM1412蛋强迫响应自由响应+ 工 Q 肿:+ yp n1=14 412 4 4零状态响应零输入响应输入为零响应由齐次差分方程求得,是仅由初始储能引起的响应。注意:确定零输入响应的系数时,必须用仅由初始状态引起的初始条件;初始条件为M个任意时刻的响应值,故零输入响应的表达式不再加写后缀n>0oI

9、例描述离散时间系统的差分方程为y(n + 3) + 6y(n + 2) + 12y(n + 1) + 8y(n) = 激励兀(防= %(),初始条件为y(l) = l, y(2) = 2, y(3) = -23 试求零输入响应解：特征方程为q3+6夕+12a + 8 = (& + 2)3 =0yZiM -(G + C2n + C3n2)(-2)n在差分方程中,令n=：L得y + 6y(l) + 12y(0) + 8y(1) = x(-l) = 0可见y(2), y(l), y(O)和y(-l)与激励无关,仅由初始储能引起。- 丁二=2, y(l) = %(l) = l在差分方程中令n

10、= 0 ,得y(3) + 6y(2) + 12y(l) + 8y(0)二 x(0)二 1可见” y(3)与激励有关是初始储能和激励共同引起的不 能用来确定零输入响应的待定系数。将y(l) = l,y(2) =2,y(3)=23代入上式可得第三个零输 入条件：y(o)= o(o)场()=(G+C2 + C32)(-2)"儿=2,儿T儿,(0) = 0 于是得至！I 儿,(0) = 0 = C儿=1 二-2C - 2C2 - 2C3 儿.(2)二2二 4G+8C2+I6C353解得 C=0, C2 , c3= 4 45 3所以 九() = (-卩+卩2)(_2)"2、零状态响应

11、飞散时间系统求解零状态响应,可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系统 零状态响应相似。即首先求齐次解和特解,然后代入 仅由激励引起的初始条件若激励在“ 0时接系统,根 据系统的因果性,零状态条件Jj(-1)=j(-2)=. . .=0 确 定待定系数。但当激励信号较复杂,且差分方程阶数 较高时,上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂, 因此,与连续时间系统的时域分析一样,离散时间系 统计算零状态响应也常用卷积分析法。方程的边界条件不一定由y(0), y(l), y,A , y(N -1)这一组数字给出。对于因果系统,常给定y(-2), y(-3),A , y(-N)为边界

12、条件。y(0), y(l), y(2),蒔于邇。1)若激励信号在n=0时接入系统,所谓零状态是指如果已知 y(T)，y(2), y(-3),A , y(N)欲求 y(0),y(l),y(2),A,y(N-1) 可用迭代求出。:已知描述系统的一阶差分方程为1 1yn-yn-l = -un解：(1)起始时系统处于零状态，所以，儿= 01I = _2 3 2+ -3(1) 边界条件y-i = o ,求 儿心 儿园和0；(2) 边界条件yTi ,求 儿心 儿园和貝刃。齐次解为C(,设特解为D, D-592丿亠2 1D = ? yW = yzsW = c(-)j1 丄由yl=O可求出c = -,所以，=(QO)JJT2）先求零状态响应，此即为（1）的结果讣= -*（£）"+1 （心0）再求零输入响应,令 儿« = cz,（"由 y-l=lW 出c,=lZl所以， 儿心（卜2 2 1 1 1 1 2 完全响应 0=儿+儿 = -（-r-（-r+-