平面向量数量积及其应用

1、DT 41 UH PNCXW27世紀敎育网(m tu 21 cnjy. com)全匡最.大旳甲小学裁育奁源网玷21世纪教育网普通教学资源棋版(m tu 21 cnjy. com)全匡最.大旳甲小学裁育奁源网玷21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站三世纪敦肓3U2 men jv<rom1定义：平面内两个非零向量的数量积（内 积）的定义q彷=a b cos 0 E R向量夹角的概念：平移两个非零向量使它 们起点重合，所成图形中0°<0<180°的角称 为两个向量的夹角规定0与任何向量的数量积为02向量的数量砌几

2、何意义：数量积等于a 的长度与乙在Q方向上投影问COS&的乘积3.哼个向量的数量积的性质二 设方，b为两个非零向量，2是单位向量 是方与其它向量的夹角(1 ) 氏二血二冋COS0 ;(2) Q 丄方 U>Q岳=0 ;(3) 特别的=l a I2或 Gl二 a/TI ；(4) COS0= 61 吊 :ab三世纪敦肓3U2 men jv<rom4 平面向量数量积的坐标表示:(1)(2)(3)设Q二(初)$二(归2)则cdf些+川2Ii 2° 少0=(兀 V) n a = x+ycosG = f 币一 aAbD非零向量。丄bu>oQ? = 0 O力內+ ）2=0

3、（注意与向量共线的坐标表示区别）21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站N 世纪教肓S/IW 416 JV«WT>5 平面向量数量积的应用(1)把几何学问题转化为向量问题：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向 量等(2)把物理学问题转化为向量问题：数学 中的向量就是物理中的矢量，所以利用向 量可以解决物理学问题例一 （数量积一第9题）设向量a，乙，c是单位向量，且冇=0 ,解：(丄0亚一可f f*> 9=ab-(o+b)b+c =1 - Qcosp + dc) n 1/2思考：设向量方,方是两个互相垂直的单位向 量，若

4、向量7满足(-#-)=0,求冋的最 大值.答案：迈小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原 题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大 家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题, 以更好的理解知识点.21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站纪報肓3 U7W EUC JV<"OJn例二.（数量积一第15题第2问） 已知|：|=3,1办=4,且向量Q与b的夹角为60。，试 求P的取值集合，使（ ka -2b）与（4q +3b）的夹角为钝角21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W)全匡最大的甲小学敕育资漁网站N 世纪教

5、肓S/IW 416 JV«WT>分析：两向量N方的夹角公式为则当两向量的夹角为钝角时有1vCOSQ,b <0解右边不等式可得冇V0,但左边不等式解答比较复杂，所以，我们可以考虑在余 弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情 况，即去掉两向量平行的情况，所以本 题的解答如下：21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网()全匡最大的甲小学救育资源网玷u mu m由题意：（ka 2b） U（4a+3b） <0u b（1 m 且（ka -2方）与（牝+35 ）不平行-2-2-fq即4ka -6b +（3i-8）aEb<0且 k 4 -&=>4b9-646

6、+（3-8）-3-4<0 且 k 丰-勺7 8 z 8 A k<j 且 k M 一亍思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么?小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于 化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算， 使问题得以更好的解决.21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站纪報肓3 U7W EUC例三数量积二第10题已知向量° =（cos0,sin0）,向量=（施一 1）,求2a-乙 的最大值.解法一（代数方法）2ab = +b 4°由二卜 42cos(0 + f)解法二（几何方法）如图，用丽表示为,以0为圆心二

7、2为半径作 圆，贝!J2方可看成以0为 起点，终点在圆0上的向量，由向量减法的几何意义可知答案为4小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W)全匡最大的甲小学敕育资漁网站N 世纪教肓S/IW 416 JV«WT>例四数量积二第15题已知:丄（仰1），啡申,存在实数R和1,使 得兀二a +-3）ky二-也+两，且丄亍，试求牛的最小值。分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不 可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表 示，转变为关于其中一个字母的函数来处理.解答如下:由条件得:a = 2, =1

8、，a上=0 ，由 x 丄 y ，a +（尸_3）可彳肋+厉）=0,即.2t nt rkci +（F-3t）b +（/-仃+3k）a3 =0,» * .（3 _ 3r则有k=则字冷（*一3） = +2）2则当t =2时，出兰有最小值冷 t小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂,IklMR但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都 稍作化简，联系“已知的是什么厂，“所求的是什么？ ”，“中间搭哪一座桥？ ”，很多问题 都会变得清晰明了，从而迎刃而解了本题涉及 关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题 往往从(1)基本不等式(2)等量代换这两个 方面去考虑.21世纪教育网普通教学资源棋版

9、27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站纪教肓S/SHlf EUH JV<rom例五向量应用第10题在仙C中，0为中线4M上的一个动点，若 AM =2,求0m0B+0C的最小值分析：如图，因为M为BC 的中点，所以0B+0C20M, 则本题可转化成两个反向 向量数量积的最小值问题，A解答如下:21世纪教育网普通教学资源棋版21世纪敎育网(wum21cnjyam)全匡最大的中小学救育资漁网站OXOB + 0C) =2 OJOM =-2 OAHJM 由基本不等式，得OAO)M 5 0+/)=, 所以，所求最小值为2小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向 量运算时要充

10、分利用这一点来简化问题，从而有利 于计算."nt世纪技肓27世纪敕育胸(u21cnjyxom)全匡最大的甲小学救育更源网站co/ uur men»vcom产 _ 一 一 例六向量应用第15题给定两个长度为1的平面向量亦和亦，它们 的夹角为120：如图所示，点c在以。为圆心 的圆弧仙上变动若OC = xdA+yOB中“wR ,求x+y的最大值. 分析：因为三个向量的模 均为1,且已知刃与亦 的夹角，所以，本题可 以考虑利用向量数量积将向量转化为实数，同 时可将兀+ y用三角函数 表示出来，解答如下：A21世纪教育网普通教学资源棋版27世纪敎育网fwug.2W）全匡最大的甲小学敕育资漁网站N 世圮敦肓S/0WEUH 2 WWWf1cos a = x y2tt1'贝 Ucos(a)=x + y32一In设Z40C 二 a ,则有 0CHJA 二 xOJOA+yOBHJAOCB 二 xOAPB + yOBB27T厂.71x+y 2 cos ci+cos(tz) = cos oi + Q3 sin tz = 2 sin(tz H) < 236小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为实数计算，从而有利于问题的解决.平面向量数量积是高考的重点考察内 容，直接考察的是数