平面向量的坐标表示及其运算习题课

1、第25-26课时教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课 教学目标：1、掌握平面向量的坐标表示；2、会进行向量线性运算的坐标表示；3、掌握向量共线的充要条件. 教学内容：1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件. 教学重点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件. 教学难点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件.教学方法：讲授法、练习法教学过程：一、知识点梳理：（一）、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内， 分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 i、j作为基底， 对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使

2、得a = xi yj，则实数对x, y叫做向量a的直角坐标（简称坐标），记作a = x, y，其中x和y分别称为向 量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而 a = x, y称为向量的坐标表示.注：1、相等的向量其坐标相同同样，坐标相同的向量是相等的向量2、 显然：i = 1,0 , j = 0,1 , 0 = 0,0 .（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示一一平面向量的坐标运算：1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：a b =为 _X2, % y2 （其中 a= 、b= x?？）2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：如果A为，、

3、B X2,y2 ,则AB二:化-为2 - （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若 a = x, y ，贝卩，a 进.片，y1 .3、向量平行(向量共线)的坐标表示:已知向量a、b( b = 0)，贝U a / b的充要条件为存在实数 入，使a如果 a = x,% , b = x2,y2 ( b =0)则 a / b的充要条件为：x2 -x?% = 0.注：1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，弓I入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化 为学生熟悉的数量的运算2、两个向量相加减，是这两个向量的

4、对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减3、向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量(两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的)4、向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.5、 实数入与向量a的积的运算时，入应与a的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设，R , a = x,ya- x, y - x,y 或 a 二 x, y 二 x, y二、典型例题讲解例 1、若向量 a =(x+3,x2 3x4 )与 AB

5、 相等，其中 A(1 ,2) ,B(3 ,2)，则 x=.解： A 1,2 , B 3,2 则有 AB 二 2,0 . 又a=AB = AB ,它们的坐标一定相同, x 3 = 2 ，x2 - 3x - 4 = 0 ，由、得：x = -1.例 2、已知 a = 3x 4y, -2x - y ,b = |2x_3y + 1,_3x十Ty + 3 I,I9 '丿若 2a = 3b ,试求x与y的值.分析：这里可以根据条件 2a=3b建立关于x , y的方程组，通过解方程组即可求得x与y的值. 16、. 解：/ a = (3x + 4 y, 2x y), b = l2x _ 3y+1, 3

6、x + y + 3 I 且 2a = 3b 2 3x 4y, _2x y =3 2x3y 1,3x 16 y 3 X96x 8y, -4x -2y = 6x -9y 3, -9x 16 y 9V3 6x 8y = 6x _9y 3，-4x -2y - -9x 16 y 9，由、得:3353x ， y =1717说明：这里的题设条件2a=3b，其实它反应了向量 a, b同向，并且2 a3a | = I b I ,所以a, b的坐标应成比例，即a的横、纵坐标分别与b的横纵坐标之比相2等且都等于32 .解：如图，设 OAh3,-2 , OBh5,2 , OCp -1,4 , OD px, y ,例3

7、、已知平行四边形三个顶点是(3 , -2) , (5 , 2) , (-1 , 4)，求第四个顶点的坐标.cvy-4丁1AJf1IX 11 l/1=1 0-JAy5i-2A依题意，AB 二 DC 或 AC 二 DB 或 AB 二 CD (1) 由 AB 二 DC，可得：OB-OA = OC -OD即 5,2 - 3,-2 二 -14 - x, y u 2,4 二-xA-y- 1x=2 , 4-y = 4, x - -3,y = 0. D -3,0 .(2) 由 AC = DB 可得：1. 1,4i3,-2 = -4,6 = 5_'X,2 , 5 -x - -4 , 2 - y = 6

8、x = 9, y - -4,. D 9, -4 .(3) 由 AB 二 CD 可得：5,2 - 3,-2 = 2,4 = x 1,y-4 , x =1,y =8 , D 1,8 .点D的坐标为 _3,0或9,-4或1,8 .例 4、已知 a =10 , b =3,-4，且 a / b，求 a.解：设 a = x, y ,则根据题意有：x2 y2 =102 =100，-4x-3y =0由、得：x = 6, y = -8或 x = -6, y = 8 a 二 6, -8 或 a 二-6,8 .例 5、已知 a - 3, -2 , b - -2,1 , c = 7,-4，用 a, b表示 c.解：设

9、 c = ma nb，即 7, -4 = m 3, -2n -2,13m -2 n = 7-2m n - -4- c 二 a 2b.例6、如果A 1, -2 ,B 4,m ,C -2,m-1在一直线上，试求 m的值（规范指导）师生分析：三点共线与两向量平行间的关系是解决本题的关键解：由已知可知 AB二3,m 2 ,AC二-3,m 1三点共线 AB - AC即：3,m 2 = -3,m 1 二-3 , (m 1)于是有：3 -31m 2 = (m 1)33解得：，-1 , m，所以有：m .22三、学生练习（一）、选择题1、已知向量 a =(1,0),b =(0,1),c =ka b(k R),

10、d =a -b，如果 c/d 那么()A. k = 1且c与d同向k - _1且c与d反向C. k-_1且c与d同向A.-2B. 0C. 13、若向量a= (1 , 1), b=(-1,1),c= (4 ,2),则 c =(A.3 a + bB. 3a- bC.-a +3bD.4、已知a=1, 2 , b - -3 ,2，当ka b与a - 3b平行,1111A.-BC.D.4433则实数x的值是D. 2)a +3 bk为何值()2、已知向量 a = 1, 1 , b = 2 , x右a D b与4b _ 2a平行,5、已知向量a =(1 -sin v,1), b =(丄，1 sin v)，若

11、a b，则锐角v等于(2A. 30B.45C. 60D. 75(二八填空题：1、设向量AB=(2, 3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为.2、若 a =(2, 1), b =(, 4)则 3a +4b 的坐标为 3、 设平面向量 a = (3,5 ),b = (-2,1)，则 a-2b =.4、已知向量 a =(3,1), b= (1,3), c = (k,7)，若(a-c) / b，则 k=.5、 若平面向量 a, b满足a +b =1, a +b平行于x轴，b =(2 , -1 )，贝U a =.6、 已知向量a = (1,sin日),b =(1, J3cos日)，则a-b的最大

12、值为 .(三)、解答题1、已知 a =(1,0) , b =(2 ,1), 求a +3b ; 当k为何实数时，ka -b与a 3b平行，平行时它们是同向还是反向？2、已知 A ( 2,4 )、B( 3, 1)、C ( 3, 4 )且而=3CA, C = 2CB ,求点 M N 的坐 标及向量MN的坐标.3、已知点 A(-1,-1) , B(1,3), C(1,5), D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线 AB平行 与直线CD吗？解： AB =(1-(-1),3-(-1) = (2,4) , CD =(2-1,7 -5)=(1,2),又 2 2 -1 4 =0 , AB/CD ;又 AC =(1-(-1),5-(-1) =(2,6) , AB=(2,4) , 2 4-2 6 = 0, AC与AB不平行， A、B、C不共线，AB与CD不重合，所以，直线AB与CD平行.四、课堂小结1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件.五、作业布置(一) 、填空题1、已知 a =(x_2, 3), b =(1, y 2)，若 a =b，则 x=， y 二.2、 若 A(0, 1),B(1,2), C(3, 4)则 AB -2 BC =.3、 已知两个向量 a =1, 2 , b nx , 1，若 a / b，贝U x=.4、 在平面直角坐标系 xoy中，四边形