平面向量的数量积与运算律

1、平面向量的数量积及遺算律新课引入W=IFIIslcos6»其中力F和位移s是向量，功是数量.&是F的方向与S的方向的夹角。先看一个概念向量的夹角 已知两个非零向量云和4作0A = a9 OB = b9则厶OB=0 （0。<0<180。）叫做向量云和方的夹角./ Bdb/0o aAbaB0A当 0 = 180； a与b反向；o b B»a与方同向；当0 = 09Babea .0A当 0 = 90°,a与垂直记作a丄练习一:平面向量的数量积的定义已知两个非零向量云和它们的夹角为我们把数量a b cosO叫做云与万的数量积(或内积)，记作云方,即a

2、- b = a b cosO&可表示为伉耳规定：零向量与任意向量的数量积为0,即a-O = O. 说明：(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定a 方不能写成aXb或ab(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的，(3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的 范围是0° , 180° .结论：0与任意向量的夹角是任意值.（a,厶）=0oa 乙，且方向相同.TT-> f=oa丄方.2= /roa厶，且方向相反.例题1:求下列向量的内积(1) a = 5 , 3=4,(。,乙)=60" 求(书 P5

3、6)（3） a =（3,4）,乙=（3,*），求2厶.(4) a = (1?3)，a a (5) a=0 , b=(x,y),求a 厶.平面向量数量积的性质:(1) 0 el a I coM(2) XL沪oN忘0 (判断两向量垂直的依据)(3) 当产与万同向j9a- b =Ta I -T b当乳写F反向时，ab = Aab . (a /U O a b二土lai 面)特别地 aa= a2a =后cosOaba b(5) b < db例题2：已知 a = b = 2 , a-b = y/2 ,求0.（4） cos 口ba b解：由云b = a b cosO,得3434cosO =a b -V

4、2 _ = |a|-|b| V2-V2又& e 0,7r34数量积的运算律：已知向量a.b.c和实数2 ，则交换律：a-b =b-aa (2b)对数乘的结合律：（2方）方=2（方方） 分配律:（Q + Z）C = QC + ZC练习：化简(4) A5(-A5 + 2CD)(2) (a + 2)a(1) (2可(3可(3) (-4°).(°+2厶) 例题3：已知« =(3,-1)(1) (2可何)(3) (-4a).(a+ 2可(a + 2厶)a32 +（-i）2=Vio7T 1COS = 2 2例题3：已知° =（3厂1），b （2可（3可 解：

5、由题意 01 =a b = a - bcosG = a |K|（2a）（3b） = 6a b = 6 x V10 = 6V10a = a 云+2方云=|a|2 + 2a b=io + 2质（-五）（a + 2可 + 2可 =4a H 8u b = 40 8 x V10练习二:(1)在四边形ABCD中，AB - BC=O,且応=55 则四边形ABCD是(C)A梯形 B菱形(2)已知向量石厚线，且I亦=2面工0， 土 hC矩形D正方形则祐肃的夹角的余弦值是(2) 在AABC中，已1IABI=IACI=1,且AB AC= 1 ,则这个三角形的形状是等边三角形总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做

6、功；平面向量的数量积的几何意义是:才的长度面与下在才的方向上的数量Iblcos的乘积3、4、2、厂的结果是一个实数，它是标量不是向量。 利用ab= l«T- Ibicos 0可求两向量的夹角， 尤其是判定垂直。两向量的夹角范围是0,叩5、掌握五条重要性质：V演练反馈判断下列各题是否正确：、若迈=0,则任一向量方，有a b =(2) 、若a 0,5 b = 0,则 b = Qf i(3) 、若云工O,db=b乙贝ij a=c(4) 、万方=同” O力方分配律的证明:(a+b)c =ac +bcVJIJS,A.卖数中，< (a b)c = a(b c),向童 中是否也(a b)-c

7、 =a (S c)?为什么？答:没有因为右端是与7共线的向量，而 左瑤是与c共线的向童，但一般a与 c不共线I <所以：向量的数量积不满足结合律】7相罰物氓&/堆.卖数中，若a方=a cJLa 0,则方=c 向童中是否也有"若a b =a-c(a 50),则b=c ”成立呢？为什么？O所以，向童的数童积不满足请去律.ZL H JX9lb9souxTrx9lz9HZq9l5Y z-ullfl t t t qq9lqDIDDH(qcl3(qz+3CL)" A A A fl t fl t fl ti t=舄0)(有+0)(1) A t A AQu Tr丄心-9 H

8、- u-£t0E¥A A A A小结:1. a 丄 b Oa 方=0.2. 向童运算不能照椒卖数运算律， 夾换律、數乘结合律、分配率成立； 向受结合律、请去律不成玄。向童的主要应用旻解决长度和夹 角问題。运用平面向量的坐标求内积探究：设0 =(兀i，yj=(兀2，力)，7丿分别为X轴和y轴 正方向上的单位向量。(1) 卩|= j_,| 力="2_,1心= j_(2) 用乙的坐标表示它们的内积a-b o> * > # *.a = xj + yj , b =x2i + y2j.a b = (xj + yj)(yi + yj) =xYx2i i + yYy2

9、j j + xYy2i- j + x2yj i 故：ab =旺勺+ 2平面向量内积的坐标表示设向量厶坐标为0 =（兀1，歹1）,厶=（兀2，旳），则ab=xx2 + yy2即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.探究：利用坐标公式验证向量的模（1）若« =（x,y）,则a a =a 所以”卜Jx? + y（2）若 A（x1,y1） , B（x25y2）,则 AB = （x2 - 兀1,% yj所以AB = j（%2 一 Xi）' +（力 一 丁1）2（两点间距离公式）例题3：求下列向量的内积(1) a=(3,2),方=(1,5),求a乙(2) a=(3,1), b =(

10、2,-5),求a厶.(3) a (-1,-1), b (1,-1),求解：(1 ) a b = 3 x 1 + (-2) x 5 = -7(2) a b = 3 x 2 + 1 x (5) = 11(3) a S = -1 x 1 + (-1) x (-1) = 0结论：由(3)的计算结果发现： a丄方oa 方=0。西兀2 +=0方= (2,3),求：(2) (°-环(2° +可设0 =（兀11）上=（兀22），则例题3：已知 a =（-1,2）,乙=（一3,1）,求 a E, aQ解:向量夹角的计算公式> aa b = 1 x ( 3) +2x1 = 5a = J (l)2 + 22=V5b = 4 (-3)2 + I? a - b5 V2ncosO = = -= 0 = Ta - b V5 x V1O 24例题4：根据条件分别求岀的夹角(1) a=3, b = 4 , a b = 6.1(2) |tz| = |z>| = y/2 , ci'b = y/2 . (3) a =(2，l),方=(3,-1).a =(2,-1), b (-3,-1).例5判断下列各组向量是否相互垂直：(l)a = (6, 3