电磁场与电磁波—矢量分析

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 第一章第一章 矢量分析矢量分析v本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理方法及定理v主要内容：主要内容：矢量分析基础矢量分析基础标量场的方向导数梯度标量场的方向导数梯度矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.1 1.1 矢量分析基础矢量分析基础v标标量与量与矢矢量量v矢量的表示与运算法则矢量的表示与运算法则v标标量场与量场与矢矢量场量场v标量场的等值面和矢量场的矢量线标量场的等值面和矢量

2、场的矢量线第一章第一章 矢量分析矢量分析 1 1. .1 1. .1 1 标量与矢量标量与矢量1.1.标量标量：只用大小就能够完整描述的只用大小就能够完整描述的物理物理量量称标量。称标量。例：温度、质量、电量。例：温度、质量、电量。2.2.矢量：矢量：既有大小、又有方向的物理量。既有大小、又有方向的物理量。 例：力、速度、力矩、磁场强度、加速例：力、速度、力矩、磁场强度、加速 度等。度等。第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.1.2 1.1.2 标量和矢量的表示（约定）标量和矢量的表示（约定）标量标量用白体表示用白体表示 例如：例如： S 、 V矢量矢量用黑体表示用黑体表示 例如：例如： F F

3、 、 V V矢量的大小用相应的白体表示矢量的大小用相应的白体表示 例如例如: :用用A表示表示A A的大小的大小则称则称 A 为为 A A 的的模值模值记为：记为： A =|A| =|A| 或或 A =A = | |A|A|e eA= =Ae eAe eA为单位矢量，表征矢量的方向。为单位矢量，表征矢量的方向。第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量矢量的图形表示：线段的长度代表矢量的大小、的图形表示：线段的长度代表矢量的大小、线段的方向代表矢量的方向。线段的方向代表矢量的方向。矢量大小矢量大小矢量的方矢量的方向向A A矢量矢量的手写表示：常用字符上加一个箭头表示。的手写表示：常用字符上加一个箭头

4、表示。A第一章第一章 矢量分析矢量分析 v一个大小为零的矢量称为一个大小为零的矢量称为空矢空矢（Null VectorNull Vector）或或零矢零矢（Zero VectorZero Vector）。v 一个大小为一个大小为1的矢量称为的矢量称为单位矢量单位矢量（Unit Vector），常用小写字母常用小写字母e e表示表示。 v在直角坐标系中，在直角坐标系中， 用单位矢量用单位矢量e ex、 e ey、 e ez表征矢量分别沿表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方轴分量的方向。向。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.1.3 1.1.3 矢量的运算法制矢量的运算法制v矢量的矢量的加法加法

5、运算运算ABBABABAv矢量的矢量的减法减法运算运算)( BABABABA第一章第一章 矢量分析矢量分析 两个矢量的乘积两个矢量的乘积两个矢量的乘积有两个定义两个矢量的乘积有两个定义：点积点积叉积叉积运算结果运算结果运算结果运算结果标量标量矢量矢量运算结果运算结果标积标积矢积矢积第一章第一章 矢量分析矢量分析 v两个矢量的点积：写成两个矢量的点积：写成BA其值为：其值为： cosABBA ABv点积的性质：点积的性质：ABBACABACBA BkABAkBAk交换律交换律分配律分配律按乘数比例按乘数比例第一章第一章 矢量分析矢量分析 v两个矢量的叉积：写成两个矢量的叉积：写成MFr其值为：其

6、值为： nerFFrsinMFr第一章第一章 矢量分析矢量分析 v叉积的性质：叉积的性质：ABBACABACBABkABAkBAk不服从交换律不服从交换律但服从分配但服从分配按乘数比例按乘数比例第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例A1-1 若若是否意味着是否意味着总是等于总是等于CABABC呢？呢？解：因为解：因为CABA可写成可写成0CBA于是得出如下结论：于是得出如下结论：(a)CBA都满足都满足0CBA或或0A或或CB cosABBA(b)(c)第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.1.4 1.1.4 标量场与矢量场标量场与矢量场v常矢常矢矢量的矢量的大小大小（模）和（模）和方向方向都不发

7、生变都不发生变化（保持不变）化（保持不变）例如：例如：无限大极板间的电场强度；无限大极板间的电场强度； 地面某点的物体所受的重力地面某点的物体所受的重力v变矢变矢矢量的矢量的大小大小（模）和（模）和方向或方向或两者之两者之一一会发生变化的矢量会发生变化的矢量例如：例如：环绕地球运行的人造地球卫星的环绕地球运行的人造地球卫星的速度速度 圆形轨道：速度大小不变，速度圆形轨道：速度大小不变，速度方向变方向变 椭圆轨道：速度的大小和方向都在变椭圆轨道：速度的大小和方向都在变第一章第一章 矢量分析矢量分析 v标量函数标量函数：当某个量当某个量(比如温度比如温度 T )随着另一个量随着另一个量(比如时间比

8、如时间 t )而变，我们就说而变，我们就说T是是t的函数，这是的函数，这是标标量函数量函数表示为：表示为： T = T( t )v对于矢量也存在相应的函数，称为对于矢量也存在相应的函数，称为矢性函数矢性函数例如：卫星的速度是时间例如：卫星的速度是时间 t 的矢性函数的矢性函数 tVV第一章第一章 矢量分析矢量分析 场的定义：场的定义： 如果在某一如果在某一空间区域空间区域内的每一点，都对应着某内的每一点，都对应着某个个物理量物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量该物理量的一个场。的一个场。若该物理量为标量，则称若该物理量为标量，则称标量场标量场,

9、 可用可用标量函数标量函数表示表示f(x,y,z)；若该物理量为矢量，则称若该物理量为矢量，则称矢量场矢量场, 可用可用矢性函数矢性函数表示表示F(x,y,z)；若该物理量与时间无关，则该场称为若该物理量与时间无关，则该场称为静态场静态场； 若该物理量与时间若该物理量与时间有关，则该场称为有关，则该场称为动态场动态场或称为或称为时变场。时变场。 F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)第一章第一章 矢量分析矢量分析 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系v我们的标量函数我们的标量函数（标量场）（标量场）通常用笛卡通常用笛卡尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以用笛卡尔坐标系来表

10、示用笛卡尔坐标系来表示v根据矢量的运算规则，多个矢量可以进根据矢量的运算规则，多个矢量可以进行矢量相加，反过来，行矢量相加，反过来，一个矢量以可以一个矢量以可以分解为多个矢量的和分解为多个矢量的和第一章第一章 矢量分析矢量分析 v 空间的一点空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，上的投影唯一地被确定， 如图所示。如图所示。 从原点指向点从原点指向点P的矢量的矢量 r 称为称为位置矢量位置矢量(Position Vector)， 它在直角它在直角坐标系中分解成坐标系中分解成3个分量之和个分量之和 P(X, Y, Z)zZyxXYO

11、rezexey 式中，式中， X、 Y、 Z是位是位置矢量置矢量 r 在在x、 y、 z 轴轴上的投影。上的投影。 ZeYeXerzyxzyxeee,其中代表代表x、y、z方向上模为方向上模为1的单位矢量的单位矢量第一章第一章 矢量分析矢量分析 v这样一来，任何一个矢性函数都可以用这样一来，任何一个矢性函数都可以用3个标个标量函数来表示：量函数来表示： tAtAtAtAzyx)( zzyyxxetAetAetAtA)(v用这种方式表示矢量，使得对矢性函数的各种用这种方式表示矢量，使得对矢性函数的各种运算就转变为运算就转变为分别对分别对3个标量函数的运算。个标量函数的运算。第一章第一章 矢量分析

12、矢量分析 例如：例如： zztyytxxttetAetAetAtA0000limlimlim)(lim这样只要分别求这样只要分别求 tAxt0lim tAyt0lim tAzt0lim标量函数的极限即可。标量函数的极限即可。第一章第一章 矢量分析矢量分析 01xyyzzxxxyyzzeeeeeeeeeeee直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：xyzeeeyzxeeezxyeee0 xxee0yyee0zzee cosABBAsinnABABe第一章第一章 矢量分析矢量分析 任意两矢量的标量积，任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为用矢量的三个分量表示为

13、xxyyzzA B A BA BA B 任意两矢量的矢量积，任意两矢量的矢量积， 用矢量的三个分量表示为用矢量的三个分量表示为xyzxyzxyzeeeABAAABBB第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.1.5 1.1.5 标量场的等值面和矢量场的矢量线标量场的等值面和矢量场的矢量线 标量场的等值面标量场的等值面 一个标量场一个标量场可以用一个标量函数来表示。可以用一个标量函数来表示。 在直角坐标在直角坐标系中，系中， 可将可将表示为表示为 = (x, y, z) 由由所有场值相等的点所构成的面（线），称为等值面所有场值相等的点所构成的面（线），称为等值面（线），其方程为：（线），其方程为： (

14、x, y, z)=const随着随着const的取值不同，的取值不同， 得到一系列不同的等值面。得到一系列不同的等值面。 对于对于由二维函数由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场，所给定的平面标量场， 可按可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线。得到一系列不同值的等值线。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 例：例：r =(x2+y2+z2)1/2 所代表的为一球面，所代表的为一球面，当当r分别取不同的分别取不同的值值a、b时，得到不同的等值面方程：时，得到不同的等值面方程： (x2+y2+z2)1/2 =a (x2+y2+z2)1/2 =b 分别代表半径为分别代表半径为a、b的球

15、面。若想的球面。若想求通过求通过M（1，0，1）的球面，可先的球面，可先将将M代入代入r =(x2+y2+z2)1/2 求出球面半求出球面半径径r： r =(12+02+12)1/2 =2 1/2 则通过则通过M（1，0，1）的球面方程为：的球面方程为：x2+y2+z2 =2第一章第一章 矢量分析矢量分析 const),( zyxh其方程为:（1）标量场-等值线(面)v形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具场线场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？h(x, y,z)=const第一章第一章 矢量分析矢量分析 密密稀稀第一章第一章 矢量分析矢量分析 v（2）矢量场的矢量线）矢量场的矢量线

16、所谓矢量线所谓矢量线(ector Line)， 是这样一些曲线：是这样一些曲线： 在曲线上的每一点处，在曲线上的每一点处， 场的矢量都位于该点处的切线场的矢量都位于该点处的切线上。上。 例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。 图图 1-1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 第一章第一章 矢量分析矢量分析 一根长直导线的磁场的磁感应线用铁粉的图形描绘。一根长直导线的磁场的磁感应线用铁粉的图形描绘。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 v矢量线方程的表达式：矢量线方程的表达式： 设设P为矢量线上任一点，为矢量线上任一点， 其矢径为其矢径为r， 则根据矢量线的则根据矢量

17、线的定义，定义， 必有必有 （1-1a） 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 矢径矢径r的表达式为的表达式为 （1-1b） 将其代入式（将其代入式（1-1a）即得矢量场的矢量线满足的微分即得矢量场的矢量线满足的微分方程为方程为zyxAdzAdyAdx（1-1）PA(r)drrO0 rdAZeYeXerzyxxyzxyzeeeAdrAAAdxdydz第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-1 求数量场求数量场 =(x+y)2-z通过点通过点M(1, 0, 1)的等值的等值面方程。面方程。 解：点解：点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场则该点的数量场值为值为=(x0+

18、y0)2-z0=0。其等值面方程为其等值面方程为 22)(0)(yxzzyx或或 第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-2 求矢量场求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 222x yxydxdzydzy2222xyxydxdydxdzyzxyxczcyx1222从而有从而有 解之即得矢量方程解之即得矢量方程 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 xzyAAdxdyAdz第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.2 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数标量场的方

19、向导数 图 1-2 方向导数的定义 方向导数表征标量方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿场空间中，某点处场值沿各个方向变化的规律。各个方向变化的规律。方向导数的定义：方向导数的定义：第一章第一章 矢量分析矢量分析 设设M0是标量场是标量场=(M)中的一个已知点，从中的一个已知点，从M0出发沿某一方出发沿某一方向引一条射线向引一条射线l, 在在l上上M0的邻近取一点的邻近取一点M，MM0=，如图所如图所示。示。若当若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)， )()(0MM的极限存在，则称此极限的极限存在，则称此极限为函数为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数，记为

20、记为 )()(lim000MMlMMMgrad uuMluuM0第一章第一章 矢量分析矢量分析 若函数若函数=(x, y, z)在点在点M0(x0, y0, z0)处可处可微，微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，方向的方向余弦，则函数则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存方向的方向导数必定存在，且为在，且为 coscoscos0zxxlM 证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数由于函数在在M0处可微，故处可微，故 zzyyxxMM)()(0zyxMM0 xzy第一章第一章 矢量分析矢量分析 两边除以两边除以，可得可得 cosco

21、scoszyxzzyyxx当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 coscoscoszyxlzyxMM0 xzy记住！第一章第一章 矢量分析矢量分析 v方向导数的物理意义：方向导数的物理意义：000000MMMlll：标量场在M0处沿l方向的增加率。：标量场在M0处沿l方向的减小率。：标量场在M0处沿l方向为等值面方向（无改变）。第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-3 求数量场求数量场 在点在点M(1, 1, 2)处沿方向处沿方向 的方向导数。的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为 zyxu22322212cos322212cos312211cos222

22、222222zyxMM0 xzy0coscoscosMlxxzzyxeeel22第一章第一章 矢量分析矢量分析 而而 22222(),uxuyuxyxzyzzz22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点在点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 324232132131Ml点点M(1, 1, 2)数量场在数量场在 方向的方向导数为方向的方向导数为 l0coscoscosMlxxzzyxu22第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.2.2 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度 在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 则沿则沿 方向的单位矢量为：方向的单位矢量为： 标量

23、场标量场(x, y, z)在在 方向上的方向导数为方向上的方向导数为 c o sc o sc o sxyzlzyxMM0 xzyzzyyxxeAeAeAllzyxxzzyyxxoeeeAAAeAeAeAlllzycoscoscos222l x xx xy yz zxyz zxzy zyzBeBeBeBAeAeAeAA BABBA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 ()xyxyzzxyyzzxeeeeeeG其中：其中：(coscosc)s)(o|()xy0 xz0yz|cosxyz, (1-4)GGeleeGeeel0M()xyzxyz 为 一 常 矢 量 ,称 为点 的 梯哈度 .=称微 分 算

24、 子 , (读 del或 nabla密 顿.)G =eeegrad第一章第一章 矢量分析矢量分析 由（由（1-4）知，当）知，当 与与 的方向一致时，即的方向一致时，即 时，时，标量场在点标量场在点M处处的方向导数最大，也就是说沿矢量的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向方向的方向导数最大，此最大值为导数最大，此最大值为 m axlG梯度的意义：梯度的意义：1、标量场标量场的梯度是的梯度是矢量矢量，且是坐标位置的函数。，且是坐标位置的函数。2、标量场的梯度的幅度表示标量场的最大增加率。、标量场的梯度的幅度表示标量场的最大增加率。3、标量场的梯度方向垂直于等值面，为标量场增加最快的、标量场的

25、梯度方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向。方向。4、标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在此方、标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在此方向上的投影。向上的投影。lGcos,1G l cosABBA第一章第一章 矢量分析矢量分析 设设c为一常数，为一常数，u(M)和和v(M)为标量场，很容易证明下面梯为标量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。度运算法则的成立。 2200()()()()()() ( )11( ) ( )()gradccgrad cucgraducuc ugrad uvgradugradvuvuvgrad uvvgraduugradvuvv uu vuugrad

26、vgraduugradvv uu vvvvvgrad f ufu graduf ufuu 或或或或或或第一章第一章 矢量分析矢量分析 梯度的重要性质梯度的重要性质证明：0 222222() ()()()()0 xyzxyzxyzxyzxyzy zz yz xx zx yy x 左边eeeeee-e-e-exyzeeexyzxyz第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-4 设标量函数设标量函数r是动点是动点M(x, y, z)的矢量的矢量的模，的模， 即即 ， 证明：证明： 222rxyz.gradrr rr证：证： 222222xyzrrrgradrrxyzrxxxyzxxrxyz eee因为

27、因为 xyzrxeyeze第一章第一章 矢量分析矢量分析 222222222222ryyxyzyyrxyzrzzxyzzxrxyz所以 1()xyzxyzxyzgradrrrrrxyzrr eeereeerxyzrxeyeze第一章第一章 矢量分析矢量分析 v求方向导数的方法：1.2.4.00MMllM由标量函数 求出整个空间的梯度函数求出给定点处的梯度.3.求出M点给定方向 的单位方向矢量由= 求点沿给定方向 的方向导数l lll G G0coscoscosMlxxz第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-5 求 在M(1，0，1)处沿方向的方向导数。解：解： 由例1-2知r的梯度为 1()

28、xyzgradrrxyzr eee点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 所以r在M点处的梯度为: 1122xzgradrr ee222rxyz2222rxyz 22xyzleee第一章第一章 矢量分析矢量分析 而 122333xyzl lleee所以 21322132203121Mlrr在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 :Mrrl l0lM=lG G第一章第一章 矢量分析矢量分析 例例1-6 已知位于原点处的点电荷已知位于原点处的点电荷q在点在点M(x, y, z)处产生的电处产生的电位为位为 ，其中矢径其中矢径 为为 ，且已知，且已知电场强度与电位的关系是电场强度与电位

29、的关系是E= -，求电场强度求电场强度E。 4qr解：解： 144qqrr E22110rrrr r2144qqErr rxyzrxeyezer21()uvuuvvv由得222rxyz ( )( )f ufuu第一章第一章 矢量分析矢量分析 作业：1.1 1.2 1.3第一章第一章 矢量分析矢量分析 1.3 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量 1、面元及法线：将曲面的一个面元用矢量、面元及法线：将曲面的一个面元用矢量 来表示，其方向取来表示，其方向取为面元的法线方向，为面元的法线方向， 其大其大小为小为 ，即，即 是面元法线方向的单位矢量。是面元

30、法线方向的单位矢量。dSdSdSndSn第一章第一章 矢量分析矢量分析 图图 1-3 法线方向的取法法线方向的取法 的指向有两种情况：对开曲面上的面元，遵守右手螺旋法则的指向有两种情况：对开曲面上的面元，遵守右手螺旋法则，如图如图1-3(a)所示；所示； 对闭曲面，取外法线方向。对闭曲面，取外法线方向。n第一章第一章 矢量分析矢量分析 2、通量：若矢量场、通量：若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：则定义： SSddSASAn如果曲面是一个封闭曲面，则如果曲面是一个封闭曲面，则 SdAS为矢量为矢量 沿曲面沿曲面 的通量。的通量。 例：设河水的流速是例：设河水的流速是v m/s，河道横截面积为河道横截面积为S m2，则河水则河水的流量是：的流量是：3(m /s)SdvSSAA第一章第一章 矢量分析矢量分析 下面两个方形容器哪个单位时间里接的雨水多下面两个方形容器哪个单位时间里接的雨水多?nn左图左图右图右图第一章第一章 矢量分析矢量分析 3、通过、通过闭合面闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：v若若0：则：则闭合面内有发出矢量线的正源。闭合面内有发出矢量线的正源。v若若 0 0 (有正源有正源) 0l时，其空间电位的表达式为时，其空间电位的