第05章测量误差的基本知识

1、2021-11-20测量误差1第五章 测量误差基本知识本章要求：一、掌握误差的基本概念和特性；二、掌握中误差的计算；三、了解误差传播定律。2021-11-20测量误差25.1 测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类三、多余观测四、偶然误差的特性2021-11-20测量误差3一、测量误差产生的原因仪器观测者外界环境注意：1. 误差不可避免，可以减少和消除；2. 粗差（瞄错目标，读错读数等）不允许，应注意检核。观测条件称非等精度观测称等精度观测相同，不相同，2021-11-20测量误差4二、测量误差的分类1、系统误差：1）定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的

2、符号和大小相同或按一定的规律变化。2）特性：累积性3）消除或削减措施（1）计算改正（2）合理的观测方法（3）对仪器检校2021-11-20测量误差52、偶然误差1）定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的大小和符号均不一致（随机误差）例如：厘米分划的水准尺读数，毫米估计无规律。2021-11-20测量误差6三、多余观测定义：多余必要的观测，以提高观测精度。例如：钢尺丈量采用往返测：往测，必要观测；返测，多余观测，用来检核。取平均值，提高成果质量。2021-11-20测量误差7四、偶然误差的特性真误差=真值-观测值i=X-li (i =1,2,n) 例如：测量三角形内角和产

3、生的偶然误差： = 180-l 闭合差2021-11-20测量误差8误 差区 间 d 为 正 值 为 负 值备 注误差个数ni频率ni/n ni d n误差个数ni频率ni/n ni d n0.00.5 0.51.01.01.51.52.02.02.52.53.03.0以上1913852100.1980.1350.0830.0520.0210.01000.3960.2710.1670.1040.0420.02102012942100.2080.1250.0940.0420.0210.01000.4170.2500.1880.0830.0420.0210 d为组距 n为误差的个数和480.504

4、80.50（1）小误差个数比大误差多（2）绝对值相同的正、负误差的个数大致相等（3）最大误差不超过3.0 2021-11-20测量误差9（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值；（有界性）（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（单峰性）（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；（对称性）（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随观测次数n的无限增加而趋于零（抵偿性） 0limnn偶然误差的数学期望等于零偶然误差的统计特性：2021-11-20测量误差100.021直方图横坐标：真误差 dnni闭合差Y频率组距O0.5 1.0 1.5 2.02.5 3.

5、0 -0.5-1.0-1.5-2.0-2.5-3.00.3960.2710.1670.1040.0420.4170.2500.1880.0830.0420.0210.135纵坐标：误 差区 间 d 为 正 值 为 负 值频率ni/n ni d n频率ni/n ni d n0.00.5 0.51.01.01.51.52.02.02.52.53.03.0以上0.1980.1350.0830.0520.0210.01000.3960.2710.1670.1040.0420.02100.2080.1250.0940.0420.0210.01000.4170.2500.1880.0830.0420.02

6、10和0.500.502021-11-20测量误差11 (0) 与观测条件有关的参数，数理统计中称为标准差。22221)(efynnnnnlimlim222212nnlim方差：方差：正态分布的数学方程式：2021-11-20测量误差12讨论：当=0时，y取得极大值：22221)(efy(1)21)0( fy极大 (2) 1y2极大(3)测量中可用作为衡量精度的一个标准。)(fy()()o2021-11-20测量误差135.2 评定精度的标准精度：指误差分布的密集或离散的程度，即离散度的大小。衡量精度的指标：能够反映误差离散度大小的数字。一、中误差二、相对误差三、极限误差2021-11-20测

7、量误差14一、中误差nmnnn22221定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差m。2021-11-20测量误差15二、相对误差定义：观测值中误差的绝对值与观测值之比。DDMDDMK12021-11-20测量误差16三、极限误差偶然误差的概率：P- + = 0.683P-2 +2= 0.955P-3 +3= 0.997极= 3 3 m 容 = 2 2 m 或： 容 = 3 3 m2021-11-20测量误差175.3 观测值的精度评定一、算术平均值二、观测值的改正值三、按观测值的改正值计算中误差为什么引入算术平均值？ 通常，真值（理论值）无法确定：i= X li 用算术平均值代替真值：

8、vi = x -li 从而用观测值的改正数v代替计算中误差。nm 1nvvm2021-11-20测量误差18一、算术平均值设对某量进行了一组等精度观测，其值为l1, l2, ., ln，真值为X，真误差为1, 2 , ., n , 则： 1 = X - l1 2 = X l2 . n = X ln = nX -l2021-11-20测量误差19 lim x = lim X - = X n n n l = X - = X x n n 所以算术平均值x是最接近于真值的一个值，称最可靠值(或最或然值） l x = = X - n n2021-11-20测量误差20 定义：算术平均值与观测值之差； v

9、i = x -li v = n x - l = 0 二、观测值的改正值2021-11-20测量误差21三、按观测值的改正值计算中误差1= X-l12= X-l2.n= X-ln 则： 1= v1 + 2= v2 + . n= vn + 令 X - x = 1 -v1 = X - x2 -v2 = X - x .n -vn = X - xv1= x -l1v2= x -l2.vn= x -ln-2021-11-20测量误差22 = vv - 2v + n 2= vv + n 2 vv 1 m2 = m2 n n vv = + n n n2 2 = n20 （当 n 时） 2 = + （ 12 +

10、 1 3 +. ） n2 n2 1 2 = (12 + 22 +.+ n2 +2 12 + 2 1 3 +.) n2 l nX - l X-l = X - x = X - = = = n n n n vv = + 2 n nnm又2021-11-20测量误差23 vv m2 = n-1 ) 1( nnvvnmmx 1nvvm白塞尔公式 算术平均值的中误差： l1 + l2 + .+ln x = n2021-11-20测量误差24算例：计算中误差序号观测值lili改正值vivi2计算x、m、mx178264227826363782624478264557826306782633 8 .71 nv

11、vm2 .3 nmmx 536278 。nllxo 6,300nvv006278 。ol42 3624453033210-7-1+11-10+5+204911211002543002021-11-20测量误差255.4 误差传播定律及其应用一、误差传播定律：定义：阐述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 设有一般函数： Z = F(x1,x2,.,xn)式中xi(i=1,2,.,n)为可直接观测的未知量，观测值为li，真误差为xi，Z为不便于直接观测的未知量，真误差为Z取全微分： F F FdZ= d x1 +d x2 +.+d xn x1 x2 xn因为Z 、xi很小，故可用Z、xi取代

12、dZ和dxi2021-11-20测量误差26则：Z= f1x1 + f2x2 +.+ fnxn设对各xi进行了k次观测，则有Z(1)= f1x1(1) + f2x2(1) +.+ fnxn(1)Z(2)= f1x1(2) + f2x2(2) +.+ fnxn(2) Z(k)= f1x1(k) + f2x2(k) +.+ fnxn(k)上式方程两边取平方，然后相加得： F F F 则：Z= x1 + x2 +.+ xn x1 x2 xniifilixxF设 nZ2= f12x12 + f22x22 +.+ fn2xn2 + fi fj xixj i=1,j=1 ij 2021-11-20测量误差

13、27 Z2 x12 x22 xn2 lim = lim f12 + f22 +.+ fn2 k k k k k kZ2 = f12 12 + f22 22 +.+ fn2 n2当n为有限次时 mZ2 = f12 m12 + f22 m22 +.+ fn2 mn2 Z2 x12 x22 xn2 n xixj = f12 + f22 +.+ fn2 + fi fj k k k k i=1,j=1 k ij2222222121nnzmxFmxFmxFm即：方程两边同除以k: xixj 因：lim = 0 k k2021-11-20测量误差28计算步骤：列函数式；对函数式进行全微分，求各系数；代入公式

14、，求观测值函数的中误差。2021-11-20测量误差29二、应用举例1、水准测量的精度：设A、B两点间设n站观测，每站高差为 hi则： hAB=h1+h2+.+hn设各站为等精度观测，其中误差为m站则 mh2 = m站2 + m站2 +.+ m站2 = n m站2 即 mh = n m站 站mlLmh 若地面平坦，各站距离大致相等，设A、B间距离为L 则测站数为 n = L/l 则2021-11-20测量误差30如：L=1km, 代入即得1km路线长的中误差当观测精度相同时，高差中误差与测站数的平方根成正比。当各站距离大致相等时，与距离的平方根成正比。l以km为单位站公里mlm1公里mmhL公里站mlm站又mlLmh2021-11-20测量误差31 m = 2 m