工程力学09-圆轴扭转的应力

1、Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学p圆轴扭转概念圆轴扭转概念p圆轴受扭转时的内力、变形、应力圆轴受扭转时的内力、变形、应力p扭转切应力计算扭转切应力计算p圆轴扭转时的强度和刚度设计圆轴扭转时的强度和刚度设计Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.1 工程中上传递功率的圆轴工程中上传递功率的圆轴及其扭转变形及其扭转变形

2、工程实例工程实例M扭转变形扭转变形MeMej j受力特点受力特点：横截面上作用有一对力偶：横截面上作用有一对力偶Mx变形特点变形特点：相邻横截面发生绕轴线相对转动：相邻横截面发生绕轴线相对转动以承受扭转变形的杆件以承受扭转变形的杆件轴轴Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.1 工程中上传递功率的圆轴工程中上传递功率的圆轴及其扭转变形及其扭转变形MeMej j微元体变形微元体变形MeMejt tt tt tt tBengbu college . The D

3、epartment of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.2 切应力互等定理切应力互等定理MeMej微元体受力平衡微元体受力平衡yxzt tt tt tt tt tt tt tt tyxO切应力互等定理切应力互等定理t t = t t (9-1) 如果在微元的一对面上存在切应力，另一对与如果在微元的一对面上存在切应力，另一对与切应力作用线相互垂直的面上必然有大小相等、方切应力作用线相互垂直的面上必然有大小相等、方向相反或相对或相背的一对切应力，以使微元保持向相反或相对或相背的一对切应力，以使微元保持平衡。平衡。切应力

4、互等定理切应力互等定理Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.3 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析公式推导公式推导（略）（略）xMeMedxj jdxROabcabddjgr rOeedjgrr rr rt tr r截面上任意点切应力截面上任意点切应力t t(r r)=Mxr rIp(9-8)式中：式中： Mx截面扭矩截面扭矩 r r应力到轴线距离应力到轴线距离 IP截面极惯性矩截面极惯性矩Ip = r r2dAA=p pd432IP=p pD

5、4( (1-a1-a4) )32IPBengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.3 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析公式推导公式推导（略）（略）xMeMedxj j截面上任意点切应力截面上任意点切应力t t(r r)=Mxr rIp(9-8)截面上最大切应力截面上最大切应力r rt tr rxMxt tmaxt tmax当当r rr rmax时，时，t tr r t tmax，有：，有：t tmax=Mxr rmaxIp令：令：WP =Ipr rm

6、ax截面的截面的抗扭截面系数抗扭截面系数（模量）（模量）(9-12)=MxWp(9-11)WP =IpR=p pd316WP =IpR=p pD3( (1-a1-a4) )16Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学应用举例应用举例例例9-1d2d1D2 牙嵌离合器传递功率牙嵌离合器传递功率P=7.5kW，转速，转速n=100r/min。若已知实心轴直径。若已知实心轴直径d1=45mm；空心；空心轴内、外直径之比轴内、外直径之比a a=0.5，D2=46mm。

7、试确定实心。试确定实心轴与空心轴横截面上的最大切应力。轴与空心轴横截面上的最大切应力。解：解： 1)1)计算外力偶矩及扭矩计算外力偶矩及扭矩Me= 9549PnMx= 716.2N.m7.5100 =9549 N.m2)2)计算两段轴最大应力计算两段轴最大应力实心轴：实心轴：t tmax=MxWp= 40106Pa=40MPa=16Mxp pd13 16716.2N.mp p(4510-3m)3 =Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学应用举例应用举例例例9

8、-1d2d1D2 牙嵌离合器传递功率牙嵌离合器传递功率P=7.5kW，转速，转速n=100r/min。若已知实心轴直径。若已知实心轴直径d1=45mm；空心；空心轴内、外直径之比轴内、外直径之比a a=0.5，D2=46mm。试确定实心。试确定实心轴与空心轴横截面上的最大切应力。轴与空心轴横截面上的最大切应力。解：解： 2)2)计算两段轴最大应力计算两段轴最大应力空心轴：空心轴：t tmax=MxWp= 40106Pa=40MPa=16Mxp pD23(1a a4)16716.2N.mp p(4610-3m)3 (10.54)=3)3)讨论讨论（用料比）（用料比）=A1A2=1.28d12D2

9、2(1a a2)452462(10.52)=W1W2#Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.4 承受扭转时圆轴的承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计强度设计与刚度设计9.4.1 9.4.1 扭转实验与扭转破坏现象扭转实验与扭转破坏现象韧性材料韧性材料：以达到屈服强度：以达到屈服强度t ts为破为破坏标志；试件断口为横截面。坏标志；试件断口为横截面。 破坏表现为受切应力作用而破坏表现为受切应力作用而被剪切断裂被剪切断裂脆性材料脆性材料：以达到强度极限：以达到

10、强度极限t tb为破为破坏标志；试件断口为坏标志；试件断口为45螺旋面。螺旋面。 破坏表现为微元体受拉断裂破坏表现为微元体受拉断裂Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.4 承受扭转时圆轴的承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计强度设计与刚度设计9.4.2 9.4.2 抗扭强度设计抗扭强度设计1)1)圆轴扭转强度设计准则圆轴扭转强度设计准则t tmaxt t (9-15)2)2)设计准则中的许用切应力设计准则中的许用切应力 t t 脆性材料：脆性材料： t t

11、 =t tbnb t t =s s (9-16)韧性材料：韧性材料： t t =t tsns (9-16)且有：且有：t t =(0.50.577)s s 3)3)强度设计应用举例强度设计应用举例Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学应用举例应用举例例例9-3 由无逢钢管制成的汽车传动轴，外径由无逢钢管制成的汽车传动轴，外径D=90mm，壁厚，壁厚d d=2.5mm，材料为，材料为45钢，许用切应钢，许用切应力力t t =60MPa，工作时最大外扭矩，工作时

12、最大外扭矩Me=1.5kNm。 1）试校核该轴的强度）试校核该轴的强度 2）如将轴该为实心轴，试在相同条件下确定）如将轴该为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径轴的直径 3）比较实心轴和空心轴的质量）比较实心轴和空心轴的质量MeMe解：解：1）校核该轴的强度）校核该轴的强度Mx=Me=1.5kN.m轴的截面扭矩：轴的截面扭矩：抗扭截面系数：抗扭截面系数：a a = d/D = 85/90 =0.944=p pD3( (1-a1-a4) )16WP=p p(9010-3m)316(1 0.9444) = 29.410-6m3Bengbu college . The Department of Me

13、chanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学应用举例应用举例MeMeMx=Me=1.5kN.mWP= 29.410-6m3计算轴的最大切应力计算轴的最大切应力t tmax=MxWP=1500 N.m29.410-6m3= 51106 Pa =51MPa t t 故：传动轴满足强度条件故：传动轴满足强度条件t t =60MPa2）将轴该实心，在相同条件下确定轴的直径）将轴该实心，在相同条件下确定轴的直径M实实(=t t WP实实)=M空空(= t t WP空空)WP实实= WP空空= WP空空WP实实=p pD3161= 29.410-6

14、m3D1 = 0.0531m = 53.1mmBengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学MeMe3）比较实心轴和空心轴的质量）比较实心轴和空心轴的质量D1 = 0.0531m, D = 0.090m , d=0.085m,实心圆轴面积实心圆轴面积同材料的质量比等于体积比；同材料的质量比等于体积比；同长度轴的体积比等于面积比同长度轴的体积比等于面积比A1=p pD241=p p( (0.0531m) )24= 22.210-4m2空心圆轴面积空心圆轴面积A2 =p

15、 p( (D2- -d2) )4= 6.8710-4m2A2A1= = 0.316.8710-4m222.210-4m2讨论：讨论：#Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学应用举例应用举例例例9-4 木制圆轴受扭。直径为木制圆轴受扭。直径为d=150mm，圆轴沿，圆轴沿木材顺纹方向的许用切应力木材顺纹方向的许用切应力t t 顺顺=2MPa；沿横纹；沿横纹方向许用切应力方向许用切应力t t 横横=8MPa。求：轴传递的许可。求：轴传递的许可力偶矩。力偶矩。Me

16、Me解：解：1）分析）分析 由切应力互等定理知：由切应力互等定理知：圆轴工作时同一处微元体上圆轴工作时同一处微元体上(t tmax)顺=(t tmax)横2）计算许可力偶矩）计算许可力偶矩t tmax=MxWp=16Mxp pd3 t t 顺Me=Mxp pd3t t 顺16=p p (15010-3m)3(2106Pa)16=1.325103N.m=1.325kN.m#Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.4 承受扭转时圆轴的承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计强度设计与刚度设计9.4.3 9.4.3 抗扭刚度设计抗扭刚度设计（简介）（简介）1)1)圆轴扭转刚度设计准则圆轴扭转刚度设计准则dj jdx q q = q q ( (rad/m) )(9-18)q q =MxGIpq q dj jdx =MxGIp2)2)工程中常用计算公式工程中常用计算公式q q =MxGIp q q 180p p ( (/ /m) )3)3)应用举例（应用举例（略略）Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学9.5 结论与讨论