无穷小比较-第一ppt课件

1、 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 前往 终了 无穷小的比较第七节,0limCk定义定义. .,0lim假设那么称 是比 高阶的无穷小,)(o,lim假设假设假设, 1lim假设,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记 作 那么称 是比 低阶的无穷小;那么称 是 的同阶无穷小;那么称 是关于 的 k 阶无穷小;那么称 是 的等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(o0 x时3x26xxsin;xxtan

2、;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 前往 终了 例如例如, , 当当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1. 1. 证明证明: :当当定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x,

3、)(sinxoxx)(tanxoxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理2 .2 .设设,且lim存在 , 那么lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 前往 终了 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,阐明阐明: :无穷小的性质, (1) 和差取大规那么和差取大规那么: 由等价可得简化某些极限运算的下述规 那么. 假设 = o() , (2) 和差替代规那么和差替代规那么: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031机动 目录 上页 下页 前往 终了

4、 则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(3) (3) 因式替代规那因式替代规那么么: :极限存在或有且若)(,x界, 那么)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 前往 终了 32210limxxxx例例1. 求求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x例例2. 2. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 前往 终了 内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 等价无穷小交换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思索与练习思索与练习P5