金融工程连续时间情形随机分析简介

1、二叉树定价总结建模l标的资产的二叉树价格运行规律lDelta对冲、复制计算l风险中性概率l衍生品在各个节点处的价格l套期保值参数Deltal欧式、美式和新型期权的价格套期保值策略l复制续（1）-对冲方法：时间间隔为tl在单个时间段上构造无风险组合= D S Vl有 Vt = ( pVut+t + qVdt+t)ert = erT EQ (Vt+t)(,)(,)tttttV Su ttV Sd ttSuSdD DD ,rTrTeduepqudud续（2）复制的技术（以单时段-双状态为例）l用股票和银行存款构造期权，即V= D1S +D2Bl得到 于是随机分析简介 主要内容Wiener过程It积分

2、It引理欧式期权定价Black-Scholes公式对称随机游走设随机变量Xj独立同分布。定义M0=0，且则Mnn=0,1,2是对称随机游走对称随机游走。定义布朗运动1,()0,()1.1,jjjjjifHeadXE XVar XifTail1,1,2,.nnjjMXn1limlim(0, )tntntnntWMMtnnt服从续Wiener 过程(,2)均值为 ，方差为 2 的正态分布称随机过程Wt为维纳过程维纳过程或Brown运动运动，如果1. 轨道连续：W0=0, Wt是t的连续函数；2. 增量正态分布：对固定的 t，Wt (0,t)，对 t s 有 Wt -Ws (0,t-s) ;3. 增

3、量独立：若0t1t2tn, 则 Wtn - Wtn-1, Wtn-1Wtn-2 , Wt2 - Wt1 与Wt1相互独立。性质对布朗运动W，分划0t1T和st，有 (1) (2)布朗运动是个鞅过程，即22()()() ()()().ststssstsssE WWE W WWWE W E WWE WVar Wsst111()0,().iiiittttiiE WWVar WWtt(|),.tssE WWst FCov(Ws,Wt)=?相关系数=？注1对称随机游走过程的极限是布朗运动。原生资产的二叉树模型，在风险中性世界中，其连续模型是几何布朗运动，即 或此外， 是鞅过程。201lnln()2ttS

4、SrtW21()20trtWtSS e212ttWe续1令St* = e-rt St ，= e-rt，则这时续2进而不计t的高阶小量，有 X()续3于是 - +o(t)忽略t的高阶小量，有 X() 考虑0,T中的剖分，使得t=tk，关于k求和取极限有 -lnS0定义：二次变差设f(t)是0,T上的函数， 是0,T上的分划0=t0t1t2tn=T，则f的二次变差为显然，连续可微函数的二次变差为零，即1210( )( ()( )njjjQff tf t| |0 ,( )lim( )0.f fTQf | |0 ,( )lim( ).f fTQf 二次变差定理Brown运动刻画的粒子运动的每一条轨线都

5、是连续的，但它也是处处不可微的曲线。在0,T上定义剖分：0=t0t1t20表示买进份额，f(t)0表示卖出份额。那么在此交易策略下，该投资人在T时刻的总收益为多少？假设交易时点为：0=t0t10有2202001(, ) (,0)+()2TTTtVVVV S TV SabdttSSVbdWS伊藤清(It Kiyoshi)伊藤清伊藤清:1915年9月7日-2008年11月10日l少有的在世的时候看到自己的理论研究被应用到现实生活中的数学家之一l1987年沃尔夫奖,1998年京都奖,2006年第一个高斯奖。l因他而名还有伊藤过程、伊藤公式和伊藤微积分。股票价格运行规律（1）1900年Louis Ba

6、chelier在他的博士论文中，首次提出股票价格St遵循布朗运动 dSt =dWt其中是波动率，Wt是标准Brown运动，E(Wt)=0， Var(Wt)=t。缺点：股价可能出现负值！股票价格运行规律（2）1961年C. Sprenkle和1964年P. Samuelson修正 Bachelier的股价模型，以股票价格的回报dSt/St代替dSt，即 dSt =St dt +St dWt即称股价St遵循几何Brown运动。漂移项是股票的预期收益率，方差项称为股票的波动率。tttdWdtSdS几何布朗运动其中，预期回报率和波动率是常数。上面的随机微分方程近似可看成 ,(0,1) ttSttSDD

7、 D服从 ttttdSS dtS dW应用设则 ,( )lnttttdSS dtS dWf SS2222()ln1111 21 2ttttttttttdf SdSSSdtSdWSSSdtdW21ln()2Stt DD D221ln(),)2tdSdtdt续注意到若t为当前时刻，则lnlnlnlnTTttSSSSSD221ln()(),().2TtSTtTtS221ln ( ) (ln ( )()(),().2S TS tTtTt例2考虑一个股价初值为40元，预期收益率为16%，波动率为20%，求6个月后的股价。由于故222111ln ( ) (ln40(16%20% )( ), 20% ( )

8、(3.759,0.141 )222S T prob(ln(,)prob(ln(3.7590.141,3.7590.141)68.3%;prob(ln(2 ,2 )95.4%;prob(ln(3 ,3 )99.6%;TTTTSSSS 3.4774.04195.4%prob(3.477ln4.041)prob()prob(32.3656.88)TTTSeSeS注5对几何布朗运动St ,有即，在伊藤积分的意义下有其中和是常数。21ln 2ttdSdtdW2122000()01lnln() 2ttttttWtSSdtdWSS e练习1利用伊藤公式求求伊藤微分02001.?2.?3.?TttTttTtW

9、dWW dWtdW21.( ),( ()?2.( , )2,( (, )?txtf xxd f Wf x tted f W t 设则设则公式乘积的伊藤微分商的伊藤微分11221 2,()ttttt tttttdXadt bdWdYa dt bdWd XYX dYYdXbbdt已知则1122221 222,()ttttttttttttttdXadt bdW dYa dt bdWXYdXX dYb XbbYddtYYY已知则练习2设 ，p 0是常数，计算求解Vasicek方程 drt = ( rt )dt +dWt 其中 ， ，均为常数。212()0ttWtSS e()ptd S续由于故于是进而欧

10、式期权定价基本假设标的资产价格St遵循几何布朗运动无风险利率r，是常数标的资产不支付红利无税收、无交易费用市场不存在套利机会，允许卖空证券高度可分且交易连续 ttttdSS dtS dW注22()2002 20 ( ) ( )(1) ttttttWttttttdSS dtS dWSS eE SS eVar SS ee续 02022 1=ln=() 2, 2xTTTTSS eSWxTSTxTBlack-Scholes定价思想期权的价格完全依赖于标的股票的价格，故期权和股票的价格依赖于价格的不确定性由于市场无套利，利用标的股票和期权构造投资组合来消除资产价格的不确定性构造的组合在瞬间是无风险的，其

11、回报率是无风险利率利用It引理，得到期权价格（作为股价和时间的二元函数）所满足的 Black-Scholes 方程 S V D-对冲构造投资组合选取，使得该组合在t, t +dt)内无风险。在t, t+dt)内，组合的收益为 （1） tt dtttttdrdtdVdS DBlack-Scholes方程由It引理，代入(1)中，取 ，则V(S,t)满足 （2） 22221(2 ) ttVVVVdVS SdtSdW tSSS22221 2VVVrS SrV tSSBlack-Scholes方程 VSD 续股票价格遵循几何布朗运动，任何基于该股票的衍生品价格必满足Black-Scholes方程。(2

12、)有很多解，但衍生品的价格却只能有一个。不同衍生品的价格是由不同的定解条件决定的。Call和Put的定解条件分别为 V(S,T) =(S K)+， V(S,T) =(K S)+远期合约的定解条件为 V(S,T) = S K，远期合约的价格为 V = S Ker (T t )定价问题欧式看涨期权的定价问题欧式看跌期权的定价问题222210,0,0 2( , )() ,0.VVV SrSrV StT tSSV S TSKS 222210,0,0 2( , )() ,0.VVV SrSrV StT tSSV S TKSS Feynman-Kac公式设未知函数F(x,t)满足下面的问题随机过程Xt满足

13、其中Wt 是概率测度P下的标准布朗运动，则在一定的有界性条件下有222( )10,0, 2( , ),.FFF tT xR txxF x TbxxRa (, )(, )ttttdXX t dtXbtWad( , ) ()|PTtF x tEXXx推广的Feynman-Kac公式设函数f(x,t)满足下面的问题随机过程Xt满足其中Wt 是概率测度P下的标准布朗运动，则在一定的有界性条件下有22210,0, ), 2( , ),( ).fff ftTxR txxf x TxrbaxR(, )(, )ttttdXX t dtXbtWad()( , ) ()|r T tPTtf x teEXXx风险中

14、性定价Black-Scholes 公式0012020101021(,0) () () (,0) () () 2ln(/)(/2) 2ln(/)(/2) rTrTc SS N dK eN dp SK eNdS NdSKrTdTSKrTddTT其中续（1）Black-Scholes公式中的 N(x) 是标准正态分布的累计概率分布函数，221( )2xN xed续（2）()12()21121(, ) () () ,(, ) () () , 2ln(/)(/2)() 2ln(/)(/2)() r T tttr T tttttc S tS N dK eN dp S tK eNdS NdSKrTtdTtS

15、KrTtddTtTt续(3)Black-Scholes 方程中没有 ，这说明该定价方程不受投资人风险偏好的影响。由于Black-Scholes 方程与投资者的风险偏好无关，故对看涨和看跌期权进行定价时，可以使用任一种风险偏好。因此，假设所有的投资者都是风险中性的在风险中性的世界中，所有证券的预期收益都是无风险的风险中性定价。风险中性定价。风险中性定价步骤1. 假设股票的预期收益率是无风险利率r，风险中性概率为Q2. 计算期权的到期收益VT (Payoff)3. 将到期收益用无风险利率进行贴现，就可以得到期权的价格，即 V0 = e-rT EQ(VT)应用到远期合约合约的到期收益为 ST K在风险中性的世界中，合约到期的预期收益为 S0erT K该预期收益的现值为 e-rTS0erT K=S0 Ke-rT于是合约的远期价格 K= S0erTBlack-Scholes 公式的性质(1)当 S0 趋于无穷大时，看涨的价格c 趋于 S0 Ke-rT ，而看跌价格 p 趋于0当 S0 趋于0时，看涨期权价格 c 趋于0，而看跌期权价格 p 趋于 Ke-rT S0 股票的预期收益依赖于投资者的风险偏好。投资者厌恶风险的程度越高，越大Black-Scholes 公式的性质（2）当趋于0时，注意到 ， l若 S0 Ke-rT ，则d1和d2趋于+，N(d1) 和N(d2