高数第四讲微分中值定理与导数的应用

1、第四讲中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理 与导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 中值定理 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf)(xfy 费马 xyO0 x目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间

2、 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f在( a , b ) 内至少存在一点xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x

3、2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设在)(xf 1 ,0内可导, 且,0) 1 (f证明至少存在一点)(f, ) 1 ,0(使上连续, 在) 1 ,0()(2 f证证: 问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx 显然)(x在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(

4、1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbff拉氏 xyab)(xfy Oxyabafbf)()(目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等

5、式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式证证: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2) 设有个根 , 它们分别在区间30)( xf)4, 3(, )2, 1

6、(, )3,2(上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程目录 上页 下页 返回 结束 2. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(目录 上页 下页 返回 结束 3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(exxxf作辅助函数, )(e)(xf

7、xFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证: 设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .在开区间 I 内可导,目录 上页 下页 返回

8、结束 例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xOy12目录 上页 下页 返回 结束 yxO说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 目录 上页

9、 下页 返回 结束 例例2. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 目录 上页 下页 返回 结束 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx目录 上页 下页 返回 结束 AB定义定义 . 设函数)(xf在区

10、间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .yOx拐点目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数目录 上页 下页 返回 结

11、束 xyO例例3. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 )

12、为曲线3xy 的拐点 .Oxy凹凸目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例5. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在

13、 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 单调增加

14、 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在目录 上页 下页 返回 结束 .),(21)e1,(21212. 曲线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121作业作业 P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15 ; ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为

15、 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 ,1x为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2

16、x为极小值点, 函数12xOy12目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(

17、xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点， 其极大值为0)0(f是极小值点， 其极小值为52x33. 0)(52f目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2)

18、求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf,

19、 )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf目录 上页 下页 返回 结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)目录 上页 下页 返回 结束 例例7求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 的最大值与最小值的最大值与最小值.解解),1)(2(6)( xxxf解方程解方程, 0)( xf得得. 1, 221 xx计算计算;23)3( f;34)2( f;7)1( f

20、;142)4( f最大值最大值,142)4( f最小值最小值;7)1( f比较得比较得完完得得. 1, 221 xx计算计算;23)3( f;34)2( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx计算计算;23)3( f;34)2( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx计算计算;23)3( f;34)2( f最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f得得. 1, 221 xx计算计算;23)3( f;34)2( f求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)

21、(2(6)( xxxf得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf计算计算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf;7)1( f;142)4( f计算计算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f计算计算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求

22、求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f计算计算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf解方程解方程, 0)( xf最小值最小值;7)1( f最大值最大值,142)4( f;7)1( f;142)4( f计算计算;23)3( f;34)2( f得得. 1, 221 xx求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 ),1)(2(6)( xxxf目录 上

23、页 下页 返回 结束 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解解: )(xf由题意应有0)(32 f2a又 )(xf3232sin2)( f时取得极大值：在2)(axf3)(32f备用题备用题 1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大即0121a目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐

24、近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”LbxkyNMOxyC)(xfy POxy目录 上页 下页 返回 结束 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有铅直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为铅直渐近线.yxO21

25、目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P76 题题14)目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求曲线3223xxxy的渐近线.解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .

26、312 xyyxO目录 上页 下页 返回 结束 二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点)3