工程电磁场 倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场

1、 第第2章章 静态电磁场静态电磁场：静电场：静电场 2.1 基本方程与场的特性基本方程与场的特性2.2 自由空间中的自由空间中的电场电场2.3 导体和导体和电介质电介质2.4 电介质中的电场电介质中的电场2.5 边值问题边值问题2.6 镜像法镜像法2.7 数值计算方法数值计算方法有限差分法有限差分法2.8 电容电容 部分电容部分电容2.9 静电场能量静电场能量2.10 电场力电场力 当电磁场中的当电磁场中的源量源量（电荷或电流电荷或电流）不随时间变化不随时间变化时，场中的时，场中的场量场量也将也将不随时间变化不随时间变化而仅是空间坐标的而仅是空间坐标的函数。因此，麦克斯韦方程组可简化为：函数。

2、因此，麦克斯韦方程组可简化为：积分形式：积分形式：dsJdlHlscldlE0sdSB0svdVdSD(2-1a)(2-1b)(2-1d)(2-1c)2.1 基本方程与场的特性基本方程与场的特性 微分形式：微分形式：JHc0E0BD(2-1e)(2-1f)(2-1g)(2-1h) 场源场源（静电荷（静电荷q）相对于观察者静止，且电量相对于观察者静止，且电量不随时间而变化。不随时间而变化。 2.1.1 基本方程基本方程( ) 0E rD 描述描述静电场基本规律静电场基本规律的的数学模型数学模型，应归结为：，应归结为：积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：svdVdSDldlE0媒质构成方程：媒

3、质构成方程：ED对于理想化的真空对于理想化的真空( (自由空间自由空间) )，上式中的介电常数，上式中的介电常数0无旋无旋静电场基本特征：静电场基本特征：有散（有源）、无旋场有散（有源）、无旋场 2.1.2 真空中的高斯定理真空中的高斯定理 静电场的有散性静电场的有散性真空中真空中静电场的静电场的电场强度电场强度E与与源量源量q之间的关系为：之间的关系为：svdVdSDED0svdVdSE000qdVdSEsv上式称为上式称为真空中的高斯定理积分形式真空中的高斯定理积分形式定理表明，在真空中，通过任一闭合曲面定理表明，在真空中，通过任一闭合曲面S的电场强度的电场强度通量通量(电通量电通量)，等

4、于，等于该曲面所包围的该曲面所包围的电量除以电量除以真空中的真空中的介电常数介电常数。0( )E r 上式为上式为真空中高斯定理的微分形式，真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中该式表明，真空中电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除以真空的介电常数以真空的介电常数0 0 (0)E0 (0)E0 (0)E0E0E0Ea） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当选择适当的的闭合面闭合面作为作为高斯面高斯面，使，使 中中的的 D 可作为常数提出积分号外。可作为常数提出积分号外。

5、SSD d高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场对称性场才有才有解析解。解析解。高斯定律的应用高斯定律的应用下下 页页上上 页页返返 回回计算技巧计算技巧 例例1 试求电荷线密度为试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解解: : 分析场分布分析场分布, ,取取圆柱坐标系圆柱坐标系,dqSSD由由eD2eDE0201ddSSSDSDLLLD 2得得下下 页页上上 页页返返 回回图图 无限长均匀带电体无限长均匀带电体球壳内的电场球壳内的电场qrDS24dSDrrqeD24球壳外的电场球壳外的电场qrDS24dSDrrqeD24

6、例例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下下 页页上上 页页返返 回回图图q q分别在金属球内外分别在金属球内外图图 q q在金属球壳内在金属球壳内2.1.3 静电场的无旋性静电场的无旋性0Ed0lElE 0数学意义数学意义： 的线积分与积分路径无关的线积分与积分路径无关 E静电场可引入标量电位函数静电场可引入标量电位函数积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：物理意义：物理意义：t1dd0llElFlqtFEq 沿任一沿任一闭合路径闭合路径 l，移动，移动单位正电荷单位正电荷一周，电场一周，电场力所作的功为零。换句话说，沿任一闭合路径，静电力所作的功为

7、零。换句话说，沿任一闭合路径，静电场对电荷作功，系统的功或能量始终是守恒的场对电荷作功，系统的功或能量始终是守恒的静静电场守恒场（保守力场电场守恒场（保守力场作功与路径无关的力场）。作功与路径无关的力场）。 2.2 自由空间中的电场自由空间中的电场 工程电磁场分析的首要任务工程电磁场分析的首要任务正问题：正问题：已知源量、已知源量、媒质及其特性参数，求场量分布（场分布问题）。媒质及其特性参数，求场量分布（场分布问题）。 场量：场量： ( )E r基本场量基本场量 ( ) r辅助场量（位函数）辅助场量（位函数） 基于亥姆霍兹定理，可知基于亥姆霍兹定理，可知 ( )( )( )E rrA r 源量

8、：电荷源量：电荷2.2.1 自由空间中的自由空间中的 和和( )E r( )r 1d4VE rrVrr 1d4VrVrr 1d04VE rA rVrr ( )( )E rr ( )( )rE r0E0()E r ( )( )( )E rrA r z y V P(x, y, z) dV (x, y, z) x o Rrr( )rRerr求任意场点求任意场点 P 处的处的 示意图示意图( )E r( )( )E rr dQPPrEl0 dPPrEl 规定电位的参考点规定电位的参考点 Q 后，任一场点后，任一场点 P 处的电位为处的电位为 0大地工程上，以大地表面为电位参考面工程上，以大地表面为电位

9、参考面 2.2.2 场分布：基于场量场分布：基于场量E的分析的分析2.2.3 场分布：基于位函数场分布：基于位函数的分析的分析例例2.2 求电偶极子的远区求电偶极子的远区( r d )电场。电场。 1rzqqor2r( , , )P r dpqd电偶极矩电偶极矩( (简称电矩简称电矩) ) 电偶极子电偶极子一对等量异号的点电荷，一对等量异号的点电荷，间隔距离间隔距离 d 很小，很小，组成的场源系统。组成的场源系统。 解解 (1)()Prd0122101 21144Pqrrrrqrr21cosrrd 21 2rrr20cos4qdr2014rp er(2) E3012cossin4rrrrEee

10、rrE eE epeer 电偶极子远区的特征是：电偶极子远区的特征是： 21r31Er ( , )r( , )E r2.2.4 电场线和等位面电场线和等位面(线线)1. 1. 线线E0ldE2.2.等位面等位面( (线线) )场中电位相等的各点的轨迹场中电位相等的各点的轨迹( (等位面等位面) ) ddddddddd0 xxyyzzxyzyzxzxyxyzE eE eE exeyezeEzEy eExEz eEyEx edddxyzxyzEEE( , , )constx y z( , , )constCx y zE线方程线方程电场线与等位面电场线与等位面( (线线) )的的性质：性质： 等等

11、面不能相交；面不能相交； 线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正电荷，终止于负电荷; ;E 线不能相交；线不能相交；EE 等位面等位面( (线线) )。 线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大; ;E因为电场中某一点因为电场中某一点电场的方向就是此电场的方向就是此处电场线的切线方处电场线的切线方向，如果电场线相向，如果电场线相交，那么交点处电交，那么交点处电场就有两个方向，场就有两个方向，这是与概念相背的这是与概念相背的沿等势面移动电荷，沿等势面移动电荷，电场力不做功。电场力不做功。（因为（因为W=W=qUqU，任意，任意两点的电势差两点的电势差U=0U=0）电场力不做功，就电场力不做功，就说明

12、说明“电场力的方电场力的方向向”与与“移动的方移动的方向向”垂直垂直。 例例2.3 描绘电偶极子远区的等电位线和电场线（场图）描绘电偶极子远区的等电位线和电场线（场图） 。20cos, ,C4Pqdrr r2 = k1cos k1常数常数 解解 (1) 等电位线：等电位线： 0 0 =0 r 最大最大 =/2 r =0/2 上述曲线的静像上述曲线的静像 0 (n=1, 2, ) 1212( )eech shnnm xm xnnnnnnXxaaAm xAm xjj1212()eecos sinnnm ym ynnnnnnYybbBm yBm y( ,)( )()nUxyXx Yy 当当 = -

13、-mn2 0 (n=1, 2, ) 12( )cos sinnnnnXxAm xAm x12()ch shnnnnYyBm yBm y(,)()()nUxyXx Yy011,nnnnU x yU x yU x yU x yd. 根据方程线性，由其根据方程线性，由其特解特解的的线性组合线性组合构成偏微分方构成偏微分方程的程的通解通解，然后，通过给定的定解条件，逐一确定，然后，通过给定的定解条件，逐一确定本征值和积分常数，最终得定解问题的确定解。本征值和积分常数，最终得定解问题的确定解。 121211212110201020,chshcossin cossinchsh nnnnnnnnnnnnnn

14、nnnnx yAm xAm xBm yBm yAm xAm xBm yBm yAA xBB y例例2-13 一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位与底面电位均为零，而顶盖电位 0 。求槽内的电位。求槽内的电位分布。分布。 0 0 0 0 0 0Oaaxy 0长直接地金属槽的横截面图长直接地金属槽的横截面图 解解 槽内电位槽内电位 (x,y) 满足拉普拉斯方程：满足拉普拉斯方程：222220( , )0(0,0)(1)0(0,0)(2)0(0,0)(3)0(,0)(4)(0,)(5)x yxayaxyxyaxa yxayaxa

15、 ya121211212110201020,chshcossin cossinchsh nnnnnnnnnnnnnnnnnnx yAm xAm xBm yBm yAm xAm xBm yBm yAA xBB y 由由(2)得得 A1n= A1n= A10= 0 由由(3)得得 B1n= B1n= B10= 0202011,shsinsinshnnnnnnnnx yCm xm yDm x m yA B xy 由由(4)得得 C2n = 0 A20B20 = 0 sin0(1,2,3, )nnnmamna1,sinshnnnnx yDxyaa011sinshsinnnnnnnDxnExaa 由由(

16、5)得得-l,l 1( )sinnnnf xbxl02( )sindlnn xbf xxll-a,a 0000000022sindsind422cos1 cos0aanan xan xn xExaaa naann xnnnann 为奇数为偶数傅里叶正傅里叶正弦系数弦系数shnnDnE 041sh0nnDnnn为奇数为偶数01,3,5,41,sinshshnnnx yxynnaa接地金属槽内的等位线分布接地金属槽内的等位线分布2.圆柱坐标系中的平行平面场问题圆柱坐标系中的平行平面场问题yx( ,)P 2( ,)0 LDoyx( ,)P 2( ,)0 LD DonBnBAABBAAUnnnnnnn

17、sincos ln,2112120102010 yx( , )P 1Dx2Do120Ea例例2.14 一横截面半径为一横截面半径为a，介电常数为，介电常数为 1的长直介质圆柱体的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场放置在均匀的外电场 中（场强值为中（场强值为E0，方向与介质圆柱，方向与介质圆柱体的轴线相垂直），均匀场中介质的介电常数为体的轴线相垂直），均匀场中介质的介电常数为 2 ，如图，如图所示。试分析因介质圆柱体产生的极化电场对原均匀外电所示。试分析因介质圆柱体产生的极化电场对原均匀外电场的畸变作用，即求其合成电场的电位和电场强度分布场的畸变作用，即求其合成电场的电位和电场强度分布 。0E 解

18、解 本问题理想化为平行平面场问题。根据边界面的形状，本问题理想化为平行平面场问题。根据边界面的形状，采用圆柱坐标系，如图所示。采用圆柱坐标系，如图所示。边值问题列写如下：边值问题列写如下：1.1. 泛定方程：泛定方程： 2211211122, ,110,zD 2222222211,0,D 2.2. 定解条件（边界条件）定解条件（边界条件） 无限远处的无限远处的BC： 衔接条件：衔接条件： 电位参考点电位参考点 1002000cosE xE 12aa1212aa3.3. 求解：求解： a. 位函数单值性的要求，必有位函数单值性的要求，必有 ,( ) ( ),2RQk 周期函数周期函数 12cos

19、sinnnQBnBnb. 场分布对场分布对 x 轴对称，即轴对称，即 , 1cosnQBnc. 场的对称，决定了场的对称，决定了 y 轴轴 ( x = 0 ) 为等位线，即为等位线，即 2,0 122cos01,3,5,nQBnn奇数满足满足Q ( ) = 0 的一般解，应是的一般解，应是 22nn 11cosQB1112111,( ) ( )cosRQAAB 1 = (C1 +d1-1)cos2 =(C2 +d2-1)cos 210122E x 121110122xxxxEeE eE ex 若若 1E2，故如本例为油中细长的空气泡问题，故如本例为油中细长的空气泡问题，则气泡中场强将大于则气泡

20、中场强将大于E0( (极限情况下，极限情况下，E1 2E0) )，有可能，有可能导致内部放电击穿，破坏正常运行状态。导致内部放电击穿，破坏正常运行状态。 1E 圆柱体内圆柱体内 均匀，即其中介质被均匀极化；均匀，即其中介质被均匀极化；唯一性定理唯一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的微分方程的的。的。下 页上 页返 回2.5.4 静电场解的唯一性静电场解的唯一性镜像法：镜像法：用位于场域用位于场域的较简单的的较简单的分布来分布来该该未知的未知的，从而将原含该边界的，从而将原含该边界的非均匀媒质空间非均匀媒质空间变换成无限大变换成无限大单一均

21、匀媒质的空间单一均匀媒质的空间，使分析计，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。算过程得以明显简化的一种间接求解法。镜像法应用的镜像法应用的理论基础理论基础静电场解的唯一性定理静电场解的唯一性定理 镜像法应用的镜像法应用的关键点关键点： a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）；镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）； b. 等效求解的等效求解的“” 。2.6 镜像法镜像法 2.6.1 点电荷与无限大接地导电平面系统的电点电荷与无限大接地导电平面系统的电场场点电荷点电荷无限大的接地导板系统无限大的接地导板系统点电荷点电荷镜像法图示镜像法图示(1) 场中电位分布：场中电位分布：0121

22、1,4Pqzrr22022044qzhqzhn0nDE000zzEz32222qhh dSd dS 32220 022d d()qhh qq qfqE2042zqqeh22016zqeh 等效镜像电荷放在当前求解的场域外。等效镜像电荷放在当前求解的场域外。等效镜像电荷表征界面上全部感应电荷的效应等效镜像电荷表征界面上全部感应电荷的效应等效求解的等效求解的“”2.6.2 电轴与无限大接地导电平面系统的电场电轴与无限大接地导电平面系统的电场电轴电轴截面忽略不计的长直导电圆柱导线。截面忽略不计的长直导电圆柱导线。1.1.电位电位 分布分布： 任取任取 Q 点为电位参考点点为电位参考点 1012PEe

23、 2022PEe 111100dln22QQP 222200dln22QQP 201ln2PPPCP73P73例例2-92-9结论结论设设 1= 2处（中垂面）处（中垂面） = 0为电位参考点，则为电位参考点，则C = 0 201ln2P2.6.3 电轴法电轴法1.1.同半径的两线输电线电场同半径的两线输电线电场 oybhbdxh12( , )P x ya确定电轴确定电轴 的位置的位置 2dh22222dbhaa201ln2P2.2.不不同半径的两线输电线电场同半径的两线输电线电场 d1a2o1o2a222112222212bhabhadhh22212122221222daahddaahd22

24、221122bhaha201ln2P3.3.偏心电缆的电场偏心电缆的电场 d = h2-h1 22212122221222daahddaahd 例例2.11 一横截面一半径为一横截面一半径为 a 的传输线平行于地面，架设高的传输线平行于地面，架设高度为度为h，对地电位为，对地电位为U0，如图所示。试求：，如图所示。试求： (1) 大地上方传输线的电场；大地上方传输线的电场； (2) 系统中最大场强的位置及其数值。系统中最大场强的位置及其数值。 A a U0 + h 0 解解 (1) 任一点处的电位任一点处的电位 22ahb201ln2P0U导线00ln2bhaUahbbhaahbUln200(

25、2) Emax 021lnlnPUbhaahbmax00 x h aAAx h ayAyEEx 0222lnbUbhahabahb0002lnCbhaUahb(3) 地面上的感应电荷分布地面上的感应电荷分布 (4) 传输线对地电容传输线对地电容 n0n00022()xxDEExbyb 2.6.4 点电荷与无限大介质平面系统的电场点电荷与无限大介质平面系统的电场 cos4cos4cos4222121rqrqrq t2t1EEn2n1DD根据唯一性定理根据唯一性定理cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和解得sin4 sin4sin4222rqrqrq 反映了

26、计算反映了计算 时，分界面上束缚电荷的时，分界面上束缚电荷的效应。取决于效应。取决于 1 2或或 1 2，q 可正可负。可正可负。 令令= q+q ，则，则q 应反映在应反映在时，分时，分界面上束缚电荷的效应。界面上束缚电荷的效应。 以上结果，可推广至线电荷以上结果，可推广至线电荷 无限大介质平面无限大介质平面系统的电场。系统的电场。2.6.5 点电荷与导体球系统的电场点电荷与导体球系统的电场 q a o d 00Sq2(a2+b2)-q2(a2+d2)+2a(q2d- q2b)cos = 0 2222222200qabqadq dq baqqd 2abdbqqd 2abd0001444Pqq

27、qarrrdr222222222cos2cosqradadqrabab余弦定理+边界条件边界条件为为 12 SSC23d0SDSqq 场中电位分布场中电位分布3120 10 20 3444Pqqqrrr1012314qaardrdr 导球电位导球电位121100 44SSSCaqqdad镜像法小结镜像法小结 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意要注意。用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理静电场唯一性定理确定镜像电荷的个数、大小及位

28、置；确定镜像电荷的个数、大小及位置；下 页上 页返 回例例2.16 一半径为一半径为 a =10 cm，对地电位差为，对地电位差为U0，的高压球形，的高压球形电极如图设置，离地面高度为电极如图设置，离地面高度为h =50 cm。求该高压电极在。求该高压电极在大地上方形成的电场。大地上方形成的电场。 121010109 1040ssqUqa (1) 场分布场分布 由由q1，q2，q3，和和q ，q ， q ，合成电场得解。合成电场得解。 (2) 球形电极上的电荷量球形电极上的电荷量12311111110999809701Qqqqq111111.111099Qqq 以上以上应用表明镜像法是在唯一性

29、定理的基础上，将平应用表明镜像法是在唯一性定理的基础上，将平面、圆柱面或球面上的感应（或束缚）电荷分别用若面、圆柱面或球面上的感应（或束缚）电荷分别用若干个镜像电荷（点、线电荷）予以等值替代，使原问干个镜像电荷（点、线电荷）予以等值替代，使原问题求解得以简化。题求解得以简化。 广义镜像法广义镜像法模拟电荷法，进一步延拓了本方法的模拟电荷法，进一步延拓了本方法的应用范围。应用范围。 2.7 数值计算方法数值计算方法有限差分法有限差分法 2.7.1 引言引言 应用应用FDM的步骤：的步骤： 采用一定的网格剖分方式离散化场域；采用一定的网格剖分方式离散化场域； 基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程

30、及其定解基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程及其定解条件进行差分离散化处理条件进行差分离散化处理(即构造差分格式即构造差分格式) ； 由所建立的差分方程组由所建立的差分方程组(即离散型数学模型即离散型数学模型代数方代数方程组程组)，选用合适的代数方程组解法，编制计算程序，选用合适的代数方程组解法，编制计算程序，算出待求的离散解算出待求的离散解(数值解数值解)。2.7.2 差分与差商差分与差商 函数函数 f(x) 的一阶差分的一阶差分( )()( )f xf xhf x0h dff 0d( )( )limdxff xfxxx 差商：基于差分应用的数值微分表达式差商：基于差分应用的数值微分表达式

31、 一阶导数一阶导数d()( )dfff xhf xxxhd( )()dfff xf xhxxhd()()d2fff xhf xhxxh一阶向前差商一阶向前差商一阶向后差商一阶向后差商一阶中心差商一阶中心差商 二阶导数二阶导数222d1ddddd1()( )( )()()2 ( )()xxxfffxxxxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh 一阶偏导数一阶偏导数(, , )( , , )duu xh y zf x y zxh 二阶偏导数二阶偏导数222d(, , )2 ( , , )(, , )duf xh y zf x y zf xh y zxh2.7.3 有限差分法有限

32、差分法( (FDM) ) 泛定方程的差分格式泛定方程的差分格式22222( , )( , )( , )( , )( )bLx yF x yx yDxyx yf r0( , )i j1(1, )ij2( ,1)i j3(1, )ij4( ,1)i j22(1, )2 ( , )(1, )( ,1)2 ( , )( ,1)iji jiji ji ji jFhh 泊松方程的差分方程：泊松方程的差分方程：2(1, )( ,1)(1, )( ,1)4 ( , )iji jiji ji jh F五点差分格式五点差分格式21( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4i jiji jiji jh F

33、 拉普拉斯方程的差分方程：拉普拉斯方程的差分方程：0F (1, )( ,1)(1, )( ,1)4 ( , )0iji jiji ji j1( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4i jiji jiji j 定解条件的差分格式定解条件的差分格式 第一类边界条件第一类边界条件1 ( , )( )bLi jf r 第二类边界条件第二类边界条件2b( )( )Lrfrn( , )(1, )i jijh2b( , )(1, )( )i jijhfr对称边界条件对称边界条件( (齐次齐次第二类边界条件第二类边界条件) )21( , )( ,1)(1, )42 ( ,1)i ji jiji j

34、h F 不同媒质分界面衔接条件不同媒质分界面衔接条件12( , )(1, )( ,1)4 12(1, )( ,1)1i jiji jKKiji jK 12K其中其中 差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法 高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法(1)( )( )(1)(1)2( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)14nnnnni jiji jiji jFh式中：式中：,1, 2,0, 1, 2,i jn，( )(1)( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR余数余数(1)( )( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR迭代终止条件：迭代终止条件：

35、)(,) 1(,kjikji 超松弛迭代法超松弛迭代法(1)( )( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR( )( )( )(1)(1)2( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4nnnnni jiji jiji jFh式中：式中： 加速收敛因子（加速收敛因子（1 1000 269 174 143 122 133 171 发散发散(2) 最佳收敛因子最佳收敛因子 0 随问题而异：随问题而异：正方形场域、正方形网格正方形场域、正方形网格矩形场域、正方形网格矩形场域、正方形网格 021 sinp( (每边的节点数为每边的节点数为p+1) )022112 2pq( (

36、两条边上的节点数分别为两条边上的节点数分别为p+1，q+1) )(3) 收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；(4) 迭代次数与工程精度迭代次数与工程精度 有关。有关。NY计算流程框图计算流程框图(1)( )( , )( , )nni ji j给定边值给定边值赋节点电位初始值赋节点电位初始值输出计算结果输出计算结果 ( , )Ni j,累计迭代次数累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛迭代法进行一次迭代，求按超松弛迭代法进行一次迭代，求 (1)( , )ni j2.8 电容电容 部分电容部分电容2.8.1 两导体系统的电容两导体系统的电容 FqCU，法

37、法拉拉 或或qEU从场的角度：从场的角度：UEq 例例2.13 绞线电容绞线电容 02darhlqClUU00lnbhrbhr125010F/m50pF/m002lnrhb hhr例例2.14 孤立导体球的电容孤立导体球的电容 04qaU球04qCaU 2.8.2 多导体系统的电荷与电位多导体系统的电荷与电位 部分部分电容电容 1200qqqq 1q2qd11P22P00hh1q2qDd , h a 1210011 11222lnln22qqhDlaldqq122002112222lnln22qqDhldlaqq(1) q1.1. q 关系关系 自有电位系数自有电位系数 0iiiiiqnqq其

38、余( -1)个导体(除0号导体) 均为零 互有电位系数互有电位系数 0000jiijiijjijqqjiqqqq， 其 余 导 体， 其 余 导 体2.q 关系关系 112222111122122q221122 111122 2211222q (2) 1qjiijA1j ijijiAM 自有静电感应系数自有静电感应系数0iiiiiq其余导体接地 互有静电感应系数互有静电感应系数 00ijjiijjiijqq其余导体接地其余导体接地3.部分电容部分电容(两两导体之间的电容两两导体之间的电容) 110101212qC UC U21212202021212020qC UC UC UC U (3) 1

39、1112101212q 22121212220q (2) 1011121212202122;CCC 0,iijCC自有部分电容自有部分电容 互有部分电容互有部分电容 012iiiinCijijC 指出：指出： ii， ij 0，且，且 ii ij 10q 20q 110浮电位1010U21111100(0)qqq其余号导体除外121221100(0)qqq其余号导体除外 11， 120，且，且 11 12 11111000iiq其余导体接地，1212211000ijq其余导体接地， 0 0，它们分别与导体的几何形状，相对位置，它们分别与导体的几何形状，相对位置及所处介质相关，而与各导体带电状况

40、无关。及所处介质相关，而与各导体带电状况无关。 任一部分电容值是和整个系统中所有导体的几何尺任一部分电容值是和整个系统中所有导体的几何尺寸，相对位置相关联的。寸，相对位置相关联的。 12131110100nUUUqCU (n+1)个个导体系统中，共有部分电容的个数为导体系统中，共有部分电容的个数为 21(1)2nn nC102012121020C CCCUCC 等值电容：等值电容：( (工作电容工作电容) ) 2.8.3 静电屏蔽静电屏蔽 例例2.15 四导体系统如图示，导体四导体系统如图示，导体1为导体为导体2所包围。试求所包围。试求C13=? 01231101012123131qC UUC

41、C U1012113130UUqCU10q 01323UU2.9 静电场能量静电场能量22e111222qWCUqUC对于电容器这类两导体系统对于电容器这类两导体系统1. 1. 用场源表示静电能量用场源表示静电能量120122224RqqqW)(423231103333RqRqqqWq3 从 移到 c点，所需能量q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功，q1 从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0，下 页上 页返 回总能量)(413113233212210321RqqRqqRqqWWWW)()()(41212323113233121213312210RqRqqRqRqqRqRqq

42、iiiqqqq3133221121)(21iniiqW121单位：J（焦耳）推广推广 2 ： 若是连续分布的电荷，若是连续分布的电荷， lSVqd ,d ,ddVVW, d21, d21SSWllWd21下 页上 页返 回例例2.16 用场的观点计算平行板电容器中的用场的观点计算平行板电容器中的We 。 1qqU122qq 1yU20y 解解 2e112kkkWq1 1221122qq1212q12qU2.9.2 静电场能量的分布及其分布密度静电场能量的分布及其分布密度 DDD)()（矢量恒等式矢量恒等式VVVVWd d) (21DDVSVd21d21EDSDJ d21单位： VWVED能量密

43、度3J/m 21EDw能量能量VVd21DVVWd21下 页上 页返 回22ee11222WDwDEEV 指出：指出：ew We系以系以 方式分布在整个电场空间方式分布在整个电场空间 对于各向异性媒质对于各向异性媒质 e12wDE e1d(2)2VWDE V We的计算：的计算： 对于带电系统，静电场中对于带电系统，静电场中 e112nkkkWqe1d2VWD E V在时变场中（此时，交变磁场产生电场），或运动电在时变场中（此时，交变磁场产生电场），或运动电荷的电场中，只能依赖于荷的电场中，只能依赖于 求得。求得。 ew 2.10 电场力电场力电场力电场力静电场对带电体有力的作用，显然，这静电

44、场对带电体有力的作用，显然，这是电场具有能量的一种体现。是电场具有能量的一种体现。 条件：点电荷（两）；无限大均匀介质条件：点电荷（两）；无限大均匀介质 内内 。 24rqqFer2. 电场强度电场强度： FqE计算方法计算方法3 虚位移法虚位移法WFS广义坐标：用来确定带电导体形状、广义坐标：用来确定带电导体形状、尺寸、相对位置的一组尺寸、相对位置的一组独立几何量（距离、面独立几何量（距离、面积、体积、角度等）。积、体积、角度等）。 广义力：企图广义力：企图，即称为对应于该广义，即称为对应于该广义坐标的广义力，其方向系以相应广义坐标增加的方坐标的广义力，其方向系以相应广义坐标增加的方向为假定正方向（向为假定正方向（( (机械机械) )力、张力、压强、力矩）。力、张力、压强、力矩）。 kqdg（1）常电荷系统（）常电荷系统（ K断开断开 ）gfWdd0eeddWgf表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。能量来实现。.constekqgWf在多导体系统中，导体在多导体系统中，导体p发生位移发生位移dg后后, ,其功能关系为其功能关系为外源提供能量外源提供能量 = = 静电能量增量静电能量增量 + 电场力所作功电场力所作功gfWWddde即即gfqqkkkkdd21