弹性力学(节)ppt

1、4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.4 坐标变换式坐标变换式求解实际问题时，经常已知求解实际问题时，经常已知s sr r、s sj j、t trjrj求求s sx、s sy、t txy，或者反过，或者反过来已知来已知s sx、s sy、t txy求求s s

2、r r、s sj j、t trjrj。这就需要知道两种坐标系下应力分。这就需要知道两种坐标系下应力分量的变换公式。量的变换公式。 1. 由由s sx、s sy、t txy求求s sr r、s sj j、t trjrj先研究三角形微单元先研究三角形微单元A，斜边边长是，斜边边长是ds，两，两条直角边边长分别是条直角边边长分别是ds cosj j与与ds sinj j。由径向力的投影平衡方程由径向力的投影平衡方程S SFr r=0，可得，可得 0cos1sindssin1sindssin1cosdscos1cosds1dsxyyxyxjjtjjsjjtjjssr即即jjtjsjssrcossin2

3、sincosxy2y2x同理，由切向力的投影平衡方程同理，由切向力的投影平衡方程S SFj j=0，可得，可得 )sin(coscossin)(22xyxyjjtjjsstrj4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.4 坐标变换式坐标变换式1. 由由s sx、

4、s sy、t txy求求s sr r、s sj j、t trjrjjjtjsjssrcossin2sincosxy2y2x)sin(coscossin)(22xyxyjjtjjsstrj另取三角形微单元另取三角形微单元B，由径向力的投影平由径向力的投影平衡方程衡方程S SFr r=0，得出与上式相同的，得出与上式相同的t trjrj表表达式。由切向力的投影平衡方程达式。由切向力的投影平衡方程S SFj j=0，得得 jjtjsjssjcossin2cossinxy2y2x最后，结果是最后，结果是 jjtjsjssrcossin2sincosxy2y2x)sin(coscossin)(22xyx

5、yjjtjjsstrjjjtjsjssjcossin2cossinxy2y2x（4-7）4.4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.4 坐标变换式坐标变换式2. 由由s sr r、s sj j、t trjrj 求求s sx、s sy、t txy同理，可得同理，可得

6、 jjtjsjssrjjrcossin2sincos22xjjtjsjssrjjrcossin2cossin22y)sin(coscossin)(22xyjjtjjsstrjjr（4-8）01rjrjrrrssjtrrsf021jrjjrjrtjsrrtfrjrrrjrrjrjjrrjrjjrruuuuuu1rjrjrjrjjjrrttssssEGEE)1 (2)(1)(14.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4

7、.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程极坐标系中基本方程小结极坐标系中基本方程小结（4-1）（4-2）（4-3）1 1、应力分量（采用应力函数表示，不计体力）、应力分量（采用应力函数表示，不计体力）2、相容方程：（采用应力函数，不计体力）、相容方程：（采用应力函数，不计体力）)1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr)()()(2222222222jrssjrrrrssssyxyxyx0)11(2222224jrrrr（4-6）3、在略去体力求解平面问题时，可归结为根据、在略去体力求解平面问题时，可归结为根据（4-6）求

8、出应力函数，然求出应力函数，然后根据后根据（4-5）求应力求应力 ，并满足位移单值条件，在边界上满足边界条件。，并满足位移单值条件，在边界上满足边界条件。4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.4 坐标变换式坐标变换式极坐标系中基本方程小结极坐标系中基本方程小结（4-5）4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称

9、应力和相应的位移一、轴对称问题一、轴对称问题4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题轴对称物体轴对称物体：物体绕某一轴是对称的，凡过该轴的任何面都是对称面，：物体绕某一轴是对称的，凡过该轴的任何面都是对称面，称为轴对称物体。称为轴对称物体。 轴对称问题轴对称问题：轴对称物体，在轴对称

10、荷载作用下，应力、应变、位移：轴对称物体，在轴对称荷载作用下，应力、应变、位移场的分布均是轴对称的，称为轴对称问题。场的分布均是轴对称的，称为轴对称问题。 轴对称平面问题中，应力函数轴对称平面问题中，应力函数 只是坐标只是坐标r r的函数，与极坐标角度的函数，与极坐标角度j j无关。此时，应力函数、应力、应变均为无关。此时，应力函数、应力、应变均为r r的函数，的函数，与与j j无关无关。 )(r4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移二、轴对称应力二、轴对称应力4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4

11、.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题)(rrrjrrrsrdd1112222222rrsjdd0)1(jrrtrj轴对称情况下各点剪应力均为轴对称情况下各点剪应力均为0 轴对称情况下的相容方程是轴对称情况下的相容方程是 022rrrjrrrrdddd11122222222rrrrrrrrrrrrrdddddddddddddddd32223344222222112)1)(1(所以，相容方程成为所以，

12、相容方程成为 0dd1dd1dd2dd32223344rrrrrrr4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移二、轴对称应力二、轴对称应力4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题rrsrdd122rsjdd0rjt轴对称情况下的相容方程轴对称情况下的相容方程 0dd1dd1

13、dd2dd32223344rrrrrrr此方程不是常微分方程，因系数中含变量此方程不是常微分方程，因系数中含变量r r。称为。称为Euler方程方程，有通解。，有通解。可化为常微分方程来求解。可化为常微分方程来求解。 变量代换变量代换 rlntterdtdddrr1)(122222dtddtdddrr)23(12233333dtddtddtdddrr)6116(1223344444dtddtddtddtdddrr即即 如此，可将相容方程变换为如下线性常微分方程如此，可将相容方程变换为如下线性常微分方程 044223344dtddtddtd4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移二、

14、轴对称应力二、轴对称应力4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题rrsrdd122rsjdd0rjt轴对称情况下的相容方程轴对称情况下的相容方程 0dd1dd1dd2dd32223344rrrrrrr变量代换变量代换 rlnt044223344dtddtddtd其特征方程是其特征方程

15、是 04423402, 124, 3则相容方程的通解是则相容方程的通解是 tetcctcc24321)()(DCBAcccccccc2212324224321lnlnlnln)ln(lnrrrrrrrrrrrDCBA22lnlnrrrr即即 4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移二、轴对称应力二、轴对称应力4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面

16、体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题rrsrdd122rsjdd0rjt轴对称情况下的相容方程轴对称情况下的相容方程 0dd1dd1dd2dd32223344rrrrrrrDCBA22lnlnrrrr轴对称问题应力分量的通解为轴对称问题应力分量的通解为 CBAdd2)ln21 (12rrrrsrCBAdd2)ln23(222rrrsj0)1(jrrtrj即即 CBA2)ln21 (2rrsrCBA2)ln23(2rrsj0rjt应力场分布与角度应力场分布与角度j j无关。无关。 4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移三、轴对称应变与位移三

17、、轴对称应变与位移4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题CBA2)ln21 (2rrsrCBA2)ln23(2rrsj0rjt物理方程物理方程 几何方程几何方程 )(1jrrssE)(1rjjssErjrjtG1rrjrjjrrjuuu1rrrujrrjrjuu1得得 )1 (2l

18、n)1 (2)31 ()1(12CBBAEurrrr)1 (2ln)1 (2)3()1 (112CBBAEuurrjrrjr01rrjrjjruuu4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移三、轴对称应变与位移三、轴对称应变与位移4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题)1

19、 (2ln)1 (2)31 ()1(12CBBAEurrrr)1 (2ln)1 (2)3()1 (112CBBAEuurrjrrjr01rrjrjjruuu积分第积分第(1)式，得式，得 )()1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1jfCBBAEu上式代入第上式代入第(2)式中，可求出式中，可求出 (1)(2) (3) )(4jrjjfEBu进行积分，有进行积分，有 )()(41rjjrjjfdfEBu再代入第再代入第(3)式中式中 4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移三、轴对称应变与位移三、轴对称应变与位移4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函

20、数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题01rrjrjjruuu)()1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1jfCBBAEu(3) )()(41rjjrjjfdfEBu再代入第再代入第(3)式中，分离变量后，有式中，分离变量后，有 Fdfddfddffjjjjrrrr)()()()(11即即Fddffrrrr)()(110)()

21、()(21211rrrrrrrdfdddfddfFHfrr)(1Fdfddfjjjj)()(0)()(22jjjfdfdjjjsincos)(KIf4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移三、轴对称应变与位移三、轴对称应变与位移4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题最后

22、，轴对称问题的位移通解为最后，轴对称问题的位移通解为jjrrrrrrsincos)1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 (1KICBBAEujjrrjjcossin4KIHEBu式中式中A、B、C、H、I、K为积分常数，由边界条件决定。其中为积分常数，由边界条件决定。其中H、I、K代代表刚体位移分量。表刚体位移分量。 4.5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移四、位移单值条件四、位移单值条件4.2 几何方程与几何方程与物理方程物理方程4.3 应力函数应力函数 与与相容方程相容方程4.4 坐标变换式坐标变换式4.5 轴对称问题轴对称问题4.6 圆环和圆筒圆环和圆筒4.7 压力隧

23、洞压力隧洞4.8 应力集中应力集中4.9 半平面体受集半平面体受集中力中力4.10 半平面体受半平面体受分布力分布力4.1 平衡方程平衡方程4.5 轴对称问题轴对称问题物体内任一点的位移值是唯一的，不能是多值的。物体内任一点的位移值是唯一的，不能是多值的。jjrrjjcossin4KIHEBu如，如，(r r, j j+2np p)表示的是同一点，位移应该相同。表示的是同一点，位移应该相同。根据位移单值条件，由上式知，必有：根据位移单值条件，由上式知，必有：B=0则轴对称问题的应力解答为则轴对称问题的应力解答为CA22rsrCA22rsj0rjt轴对称问题的位移解答为轴对称问题的位移解答为jj

24、rrrsincos)1 (2)1 (1KICAEujjrjcossinKIHu4.6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力二二. . 应力边界条件应力边界条件厚壁圆筒内半径r, 外半径R(取单位厚度)q1q2rR受内压21qq 外压该问题可简化为轴对称问题求解一. 计算模型受力：0)(|1rrqrrjrrts内边界外边界0)(|2RRqrrjrrts4.2 几何方程与物理方程4.3 应力函数 与相容方程4.4 坐标变换式4.5 轴对称问题4.6 圆环和圆筒4.7 压力隧洞4.8 应力集中4.9 半平面体受集中力4.10 半平面体受分布力4.1 平衡方程4.6 圆环和圆筒三三. . 应力分量

25、应力分量注意到 0)(, 0)(Rrrrjrrjtt 已满足1222|rRACqrACqRrrrrss 联立求解222212221222,)(rRqRqrCrRqqRrA022jrrjjrttrsrsCACA22222122221111qRrrqrRRrrsr22222122221111qRrrqrRRrrsj4.6 圆环或圆筒受均布压力4.2 几何方程与物理方程4.3 应力函数 与相容方程4.4 坐标变换式4.5 轴对称问题4.6 圆环和圆筒4.7 压力隧洞4.8 应力集中4.9 半平面体受集中力4.10 半平面体受分布力4.1 平衡方程4.6 圆环和圆筒四四. .位移分量位移分量：jjrrrjrcossin)1 ()1 (1KIFuCAEu若适当给定约束条件，无刚体位移00|,|2/0IKFuupjjjj0)1 (1)1 (jrrruECEAu4.6 圆环或圆筒受均布压力4.2 几何方程与物理方程4.3 应力函数 与相容方程4.4 坐标变换式4.5 轴对称问题4.6 圆环和圆筒4.7 压力隧洞4.8 应力集中4.9 半平面体受集中力4.10 半平面体受分布力4.1 平衡方程4.6 圆环和圆筒1221221)(1)(,1)(1)(qrRRqrRRrsrsjrq1jsrs显然”拉“（压），jrss1max122max1)/(1)/(