年河南省郑州市高考数学一模试卷

1、2021 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、挑选题：本大题共12 个小题，每道题5 分，共 60 分.在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的.1（5 分）复数（i 为虚数单位）等于（）a 1 3i b1+3ic1 3di 1+3i 2（5 分）设集合 a= x| 1x2 ， b= x| x a ，如 ab=a，就 a 的取值范畴是（）a a| a2b a| a1c a| a1d a| a23（5 分）设向量=（1，m）， =（m1， 2），且，如（ ），就实数 m=（）a2b1cd4（5 分）以下说法正确选项（）a“如 a1，就 a21”的否命题是 “如 a 1，就 a2

2、1” b“如 am2bm2，就 ab”的逆命题为真命题c. x0（0， +），使成立d“如，就”是真命题5（5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足 ”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ”现用程序框图描述，如下列图，就输出结果n=（）第 1 页（共 25 页）a4b5c2d36（5 分）如某几何体的三视图（单位：cm）如下列图，就该几何体的体积等于（）a10cm3b20cm3c30cm3d40cm37（5 分）如将函数 f（ x） =sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到 g（x）的图象，就函数g（x）的单调递

3、增区间为（）a k ，k + （ kz）b k +，k + （ kz）c k ， k （kz）d k ，k + （ kz） 8（5 分）已知数列 an 的前 n 项和为 sn， a1=1，a2=2，且an+2 2na+1+an=0（nn* ），记 tn=，就 t2021=（）abcd第 2 页（共 25 页）9（5 分）已知函数，如函数 f（x）在 r 上有两个零点，就实数 a 的取值范畴是（）a（0，1b 1， +）c（0，1） d（， 1 10（ 5 分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为a，b，左、右焦点分别是f1，f2，在线段 ab 上有且只有一个点p 满意 pf1 pf2，就椭圆的离心率

4、的平方为（）abcd11（ 5 分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7 名同学参与 2021年全国高中数学联赛（河南初赛） ，他们取得的成果（满分140 分）的茎叶图如下列图，其中甲班同学成果的中位数是81，乙班同学成果的平均数是86，如正实数 a，b 满意 a，g，b 成等差数列且 x，g，y 成等比数列，就的最小值为（）ab2cd9 12（ 5 分）如对于任意的正实数x，y 都有成立，就实数 m的取值范畴为（）abcd二、填空题（此题共4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13（ 5 分）设变量 x，y 满意约束条件就目标函数 z=4x 的y最小值为第 3 页（共 25 页）14

5、（ 5 分）假如直线 ax+2y+3a=0与直线 3x+（a1）y=a 7平行，就 a=15（ 5 分）已知数列 an 满意，且a1+a2+a3+a10=1，就 log2（a101+a102+a110）=16（ 5 分）已知双曲线的右焦点为 f，过点 f 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为m ，交另一条渐近线于n，如，就双曲线的渐近线方程为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（ 12 分）在 abc中，角 a，b，c 的对边分别为 a， b，c，且 2ccosb=2a+b（ 1）求角 c；（ 2）如 abc的面积为，求 ab 的最小值18（ 12 分） 2021 年 10

6、月份郑州市进行了高三同学的体育学业水平测试，为了考察高中同学的身体素养比情形，现抽取了某校1000 名（男生 800 名，女生200 名）同学的测试成果，依据性别按分层抽样的方法抽取100 名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情形：抽样情形病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情形抽样情形病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（ 1）现从抽取的 1000 名且测试等级为 “优秀”的同学中随机选出两名同学，求选出的这两名同学恰好是一男一女的概率；（ 2）如测试等级为 “良好”或“优秀”的同学为 “体育达人 ”，其它等级的同学（含病残免试）为 “非体育达人 ”，依据以上统计数

7、据填写下面列联表，并回答能否第 4 页（共 25 页）在犯错误的概率不超过0.010 的前提下认为 “是否为体育达人 ”与性别有关？男性女性总计体育达人 非体育达人总计临界值表：p（ k2k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：（，其中 n=a+b+c+d）19（ 12 分）如图，在三棱锥p ab中c ，平面 pab平面 abc， ab=6，d，e 为线段 ab 上的点，且 ad=2db，pd ac（ 1）求证： pd平面 abc；（ 2）如，求点 b 到平面 pac的距离20（ 12 分）已知圆 c：x2+y2+2x2y+

8、1=0 和抛物线 e：y2=2px（p0），圆心 c到抛物线焦点 f 的距离为（ 1）求抛物线 e 的方程；（ 2）不过原点的动直线l 交抛物线于 a，b 两点，且满意 oaob设点 m 为圆 c 上任意一动点，求当动点m 到直线 l 的距离最大时的直线l 方程 21（ 12 分）已知函数 f（x）=lnx（ax+1）， ar 在（ 1， f（1）处的切线与 x第 5 页（共 25 页）轴平行（ 1）求 f （x）的单调区间；（ 2）如存在 x01，当 x（1，x0）时，恒有成立，求 k 的取值范畴22（ 10 分）在平面直角坐标系xoy 中，直线 l 过点（ 1，0），倾斜角为 ，以坐标原点

9、为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程是（ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线c 的直角坐标方程；（ 2）如，设直线 l 与曲线 c 交于 a，b 两点，求 aob的面积23设函数 f （x）=| x+3| ，g（x） =| 2x |1（ 1）解不等式 f （x） g（x）；（ 2）如 2f（ x） +g（x） ax+4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范畴第 6 页（共 25 页）2021 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、挑选题：本大题共12 个小题，每道题5 分，共 60 分.在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的.

10、1（5 分）复数（i 为虚数单位）等于（）a 1 3i b1+3ic1 3di 1+3i【解答】 解：=13i应选 a2（5 分）设集合 a= x| 1x2 ， b= x| x a ，如 ab=a，就 a 的取值范畴是（）a a| a2b a| a1c a| a1d a| a2【解答】 解： a b=a， a. b集合 a= x| 1 x 2 ，b= x| xa ， a 2应选： d3（5 分）设向量=（1，m）， =（m1， 2），且，如（ ），就实数 m=（）a2b1cd【解答】 解：（ ），（ ） .=0， 即 2 .=0，即 1+m2（ m1+2m） =0，第 7 页（共 25 页）即

11、 m2 3m+2=0，得 m=1 或 m=2，当 m=1 时，量=（1，1），=（ 0， 2），满意 ，当 m=2 时，量=（1，2），=（ 1， 2），不满意 ，综上 m=1，应选： b4（5 分）以下说法正确选项（）a“如 a1，就 a21”的否命题是 “如 a 1，就 a2 1”b“如 am2bm2，就 ab”的逆命题为真命题 c. x0（0， +），使成立d“如，就”是真命题【解答】 解： “如 a1，就 a21”的否命题是 “如 a1，就 a21”，故 a 错；“如 am2bm2，就 ab”的逆命题为假命题，比如m=0，如 ab，就 am2=bm2，故 b 错；对任意 x0，均有 3

12、x 4x 成立，故 c 错；对如，就”的逆否命题是 “如 = ，就 sin =”为真命题，就 d 正确应选 d5（5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足 ”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ”现用程序框图描述，如下列图，就输出结果n=（）第 8 页（共 25 页）a4b5c2d3【解答】 解：模拟执行程序，可得a=1， a=1，s=0，n=1 s=2不满意条件 s10，执行循环体， n=2，a=， a=2，s=不满意条件 s10，执行循环体， n=3，a= ， a=4，s= 不满意条件 s10，执行循环体， n=4，a= ，

13、 a=8，s= 满意条件 s 10，退出循环，输出 n 的值为 4应选： a6（5 分）如某几何体的三视图（单位：cm）如下列图，就该几何体的体积等于（）第 9 页（共 25 页）a10cm3b20cm3c30cm3d40cm3【解答】 解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积v=× 3× 4× 5 ×× 3× 4× 5=20（cm3）应选 b7（5 分）如将函数 f（ x） =sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到 g（

14、x）的图象，就函数g（x）的单调递增区间为（）a k ，k + （ kz）b k +，k + （ kz） c k ， k （kz）d k ，k + （ kz）【解答】 解：将函数 f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到 g（x）=sin 2（x+）+ = sin2x 的图象，故此题即求 y=sin2x的减区间，令2k+2x2k+，求得k +xk +，故函数 g（x）的单调递增区间为 k+，k+ ，kz，应选： b8（5 分）已知数列 an 的前 n 项和为 sn， a1=1，a2=2，且an+2 2na+1+an=0（nn* ），记 tn=，就 t2021=（）abc

15、d【解答】 解：数列 an 的前 n 项和为 sn， a1=1，a2=2，且第 10 页（共 25 页）an+2 2na+1+an=0（nn* ），就：数列为等差数列设公差为 d，就： d=a2a1=2 1=，1就： an=1+n 1=n故：，就：，所以：，=，=，=所以：应选： c9（5 分）已知函数，如函数 f（x）在 r 上有两个零点，就实数 a 的取值范畴是（）a（0，1b 1， +）c（0，1） d（， 1【解答】 解：当 x 0 时， f （x）单调递增， f（x） f（0）=1a，当 x0 时， f （x）单调递增，且 f （x） a f（x）在 r 上有两个零点，解得 0 a

16、1应选 a10（ 5 分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为a，b，左、右焦点分别是f1，f2，在线段 ab 上有且只有一个点p 满意 pf1 pf2，就椭第 11 页（共 25 页）圆的离心率的平方为（）abcd【解答】 解：方法一：依题意，作图如下：a（a，0）， b（ 0， b），f1（ ，c0）， f2（ c，0），直线 ab 的方程为，整理得： bxay+ab=0，设直线 ab 上的点 p（x，y），就 bx=ayab，x=y，a pf1 pf2，就.=（c，xy） .（ c，xy）=x2 +y22c=（） 2+y2c2，令 f（ y） =（）2+y22c，就 f （ y）=2（ya）&

17、#215;+2y，由 f （y）=0 得： y=，于是 x=，.=（）2+（）2c2=0，整理得：=c2，又 b2=a2c2，整理得： c4+3c2c2a4=0，两边同时除以a4，由 e2=， e4 32e+1=0， e2=，又椭圆的离心率e（0，1）， e2 =椭圆的离心率的平方， 应选 b方法二：由直线ab 的方程为，整理得： bxay+ab=0，由题意可知：直线ab 与圆 o：x2+y2=c2 相切，可得 d=c，两边平方，整理得： c4+3c2c2a4 =0，两边同时除以a4，由e2=，e4 32e+1=0，第 12 页（共 25 页） e2 =，又椭圆的离心率e（0，1）， e2=椭

18、圆的离心率的平方， 应选 b11（ 5 分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7 名同学参与 2021年全国高中数学联赛（河南初赛） ，他们取得的成果（满分140 分）的茎叶图如下列图，其中甲班同学成果的中位数是81，乙班同学成果的平均数是86，如正实数 a，b 满意 a，g，b 成等差数列且 x，g，y 成等比数列，就的最小值为（）ab2cd9【解答】 解：甲班同学成果的中位数是80+x=81，得 x=1；由茎叶图可知乙班同学的总分为76+80× 3+90× 3+（0+2+y+1+3+6） =598+y，乙班同学的平均分是86，且总分为 86×7=602，

19、所以 y=4，如正实数 a、b 满意： a， g，b 成等差数列且 x，g，y 成等比数列，第 13 页（共 25 页）就 xy=g2，2g=a+b，即有 a+b=4，a0，b0，就+=（a+b）（+）=（1+4+）（ 5+2）=×9=，当且仅当 b=2a=时，的最小值为12（ 5 分）如对于任意的正实数x，y 都有成立，就实数 m的取值范畴为（）abcd【解答】 解：依据题意，对于（ 2x ）.ln，变形可得（ 2x ）ln，即（ 2e ）ln，设 t=，就（ 2e）tlnt，t 0，设 f（ t ）=（2et）lnt，（t 0）就其导数 f （t） =ln+t1，又由 t 0，就

20、 f （ t）为减函数，且f （ e）=lne+1=0，就当 t （ 0， e）时， f （t ） 0，f（t ）为增函数，当 t（e，+）时， f （t ） 0，f（t ）为减函数，就 f（ t ）的最大值为 f （e），且 f（e）=e，如 f（ t ）=（2et）lnt恒成立，必有 e，解可得 0 m，即 m 的取值范畴为（ 0， ；应选： d二、填空题（此题共4 小题，每题 5 分，共 20 分）13（ 5 分）设变量 x，y 满意约束条件就目标函数 z=4x 的y最小值为1第 14 页（共 25 页）【解答】 解：设变量 x，y 满意约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 4x

21、y=0经过点 a（1，3）时， 4xy最小，最小值为： 1，就目标函数 z=4xy的最小值： 1故答案为： 114（ 5 分）假如直线 ax+2y+3a=0与直线 3x+（a1）y=a 7平行，就 a=3【解答】 解：直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（ a1）y=a7平行，解 得 a=3 故答案为： 315（ 5 分）已知数列 an 满意，且a1+a2+a3+a10=1，就 log2（a101+a102+a110）=100【解答】 解：， log2an +1 lo2gan=1，即，第 15 页（共 25 页）数列 an 是公比 q=2 的等比数列就 a101+a102+a110=（

22、a1+a2+a3+a10）q100=2100， log2（a101+a102+a110）= 故答案为： 10016（ 5 分）已知双曲线的右焦点为 f，过点 f 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为m ，交另一条渐近线于n，如，就双曲线的渐近线方程为y=±x【解答】 解：由题意得右焦点f（ c，0），设一渐近线 om 的方程为 y=x，就另一渐近线 on 的方程为 y= x， 由 fm 的方程为 y= （x）c，联立方程 y=x，可得 m 的横坐标为，由 fm 的方程为 y= （x）c，联立方程 y= x，可得 n 的横坐标为由 2=，可得 2（c） =c，即为c=，由 e=，可得1=

23、，即有 e4 52e+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去），即为 e=2，即 c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，第 16 页（共 25 页）故答案为： y=±x三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（ 12 分）在 abc中，角 a，b，c 的对边分别为 a， b，c，且 2ccosb=2a+b（ 1）求角 c；（ 2）如 abc的面积为，求 ab 的最小值【解答】 解：（ 1）由正弦定理可知：=2r，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，由 2ccosb=2a+b，就 2sinccosb=2sin（b+c） +sinb， 2s

24、inbcosc+sinb=0，由 0b，sinb0，cosc= ，0c，就 c=；（ 2）由 s=absinc=c，就 c=ab，由 c2=a2+b2 2abcosc=2+ab2+ab，=a2+b2+ab 3ab，当且仅当 a=b 时取等号， ab12，故 ab 的最小值为 1218（ 12 分） 2021 年 10 月份郑州市进行了高三同学的体育学业水平测试，为了第 17 页（共 25 页）考察高中同学的身体素养比情形，现抽取了某校1000 名（男生 800 名，女生200 名）同学的测试成果，依据性别按分层抽样的方法抽取100 名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情形：抽样情形病残免试不

25、合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情形抽样情形病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（ 1）现从抽取的 1000 名且测试等级为 “优秀”的同学中随机选出两名同学，求选出的这两名同学恰好是一男一女的概率；（ 2）如测试等级为 “良好”或“优秀”的同学为 “体育达人 ”，其它等级的同学（含病残免试）为 “非体育达人 ”，依据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否 在犯错误的概率不超过0.010 的前提下认为 “是否为体育达人 ”与性别有关？男性女性总计体育达人 非体育达人总计临界值表：p（ k2k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246

26、.6357.879附：（，其中 n=a+b+c+d）【解答】 解：（ 1）按分层抽样男生应抽取80 名，女生应抽取 20 名； x=80（5+10+15+47）=3， y=20 （2+3+10+2）=3；抽取的 100 名且测试等级为优秀的同学中有三位男生，设为a， b，c；两位女生设为 a，b；从 5 名任意选 2 名，总的基本领件有第 18 页（共 25 页）ab，ac，aa， ab，bc，ba， bb，ca，cb， ab，共 10 个；设“选出的两名同学恰好是一男一女为大事a”；就大事包含的基本领件有aa， ab，ba，bb，ca， cb共 6 个； p（ a） =；（ 2）填写 2&#

27、215;2 列联表如下：体育达人男生50女生5总计55非体育达人301545总计8020100就 k2= 9.091； 9.0916.635 且 p（k26.635） =0.010，在犯错误的概率不超过0.010 的前提下认为 “是否为 体育达人 与性别有关 ”19（ 12 分）如图，在三棱锥p ab中c ，平面 pab平面 abc， ab=6，d，e 为线段 ab 上的点，且 ad=2db，pd ac（ 1）求证： pd平面 abc；（ 2）如，求点 b 到平面 pac的距离【解答】 证明：（ 1）连接 cd，据题知 ad=4，bd=2， ac2+bc2=ab2， acb=9°0，

28、 cos，=8， cd=2，第 19 页（共 25 页） cd2+ad2=ac2， cdab，又平面 pab平面 abc， cd平面 pab， cdpd， pdac，cdac=c， pd平面 abc解：（ 2）， pd=ad=4， pa=4，在 rtpcd中， pc=2， pac是等腰三角形， 设点 b 到平面 pac的距离为 d，由 ve pa=cvp ae，c 得， d=3，故点 b 到平面 pac的距离为 320（ 12 分）已知圆 c：x2+y2+2x2y+1=0 和抛物线 e：y2=2px（p0），圆心 c到抛物线焦点 f 的距离为（ 1）求抛物线 e 的方程；（ 2）不过原点的动直

29、线l 交抛物线于 a，b 两点，且满意 oaob设点 m 为圆 c 上任意一动点，求当动点m 到直线 l 的距离最大时的直线l 方程【解答】 解：（ 1）圆 c：x2+y2+2x2y+1=0 可化为（ x+1）2+（y1） 2=1，就圆心为（ 1， 1）抛物线 e： y2=2px（p0），焦点坐标 f（），第 20 页（共 25 页）由于：圆心 c 到抛物线焦点 f 的距离为就：，解得： p=6故抛物线的方程为： y2=12x（ 2）设直线的方程为x=my+t，a（x1， y1）， b（ x2，y2），就：，整理得： y2 12my 12，t=0 所以： y1+y2=12m，y1y2= 12t

30、由于： oaob就： x1x2+y1y2=0即：（ m2+1）y1y2+mt （y1+y2）+t2=0 整理得： t2 12t=，0由于 t 0， 解得 t=12故直线的方程为x=my+12， 直线经过定点（ 12，0）当 cn l 时，即动点 m 经过圆心 c（1，1）时到直线的距离取最大值当 cp l 时，即动点 m 经过圆心 c（1， 1）时到动直线l 的距离取得最大值 kmp=kcp=，就： m=此时直线的方程为： x=， 即： 13xy156=021（ 12 分）已知函数 f（x）=lnx（ax+1）， ar 在（ 1， f（1）处的切线与 x轴平行（ 1）求 f （x）的单调区间；

31、（ 2）如存在 x01，当 x（1，x0）时，恒有成立，第 21 页（共 25 页）求 k 的取值范畴【解答】 解：（ 1）由已知可得 f （x）的定义域为（ 0，+）， f （ x）=a， f （1）=1a=0，解得： a=1， f （ x）=，令 f （x） 0，解得： 0x1，令 f （x） 0，解得： x1，故 f（ x）在（ 0，1）递增，在（ 1，+）递减；（ 1）不等式 f（ x）+2x+k（ x1）可化为 lnx +x k（ x1），令 g（x） =lnx +x k（x1），（x1），g（ x）=， x1，令 h（x）=x2+（1k） x+1， h（x）的对称轴是 x=，当 1 时，即 k 1，易知 h（x）在（ 1， x0）上递减， h（ x） h（