年高考全国2卷理科数学及答案

1、绝密 启用前2021 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学一、挑选题：此题共12 小题，每道题5 分，共 60 分；在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的；1设集合a x|x2 5x 6>0 ， b x|x 1<0 ，就 aba ， 1）b 2， 1）c 3， 1）d 3， ） 2设 z 32i ，就在复平面内z 对应的点位于a 第一象限b 其次象限c第三象限d 第四象限uuuruuruuuruuuuruuur3已知 ab2,3）， ac 3， t）， bc 1，就 ab bc a 3b 2c 2d 34 2021 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首

2、次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着环绕地月拉格朗日 l2 点的轨道运行 l2 点是平稳点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 m ，月球质量为 m ，地月距离为 r， l2 点到月球的距离为 r ，依据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满意方程：m 1 rr 2m 2rr m 1 r 2r3r设，由于的值很小，因此在近似运算中3334533 ，就 r 的近似值为r12a m 2 r m 1b m 2 r 2m 1c 33m 2 rm 1d 3m 2 r3m

3、 15演讲竞赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分，得到7 个有效评分 7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特点是a 中位数b 平均数c方差d 极差 6如 a>b，就a ln a- b） >0b 3a<3 bc a3- b3>0d a >b 7设 ， 为两个平面，就 的充要条件是a 内有很多条直线与平行b 内有两条相交直线与平行c ， 平行于同一条直线d ， 垂直于同一平面x28如抛物线y2 2pxp>0）的焦点是椭圆y21的一个焦点，就p3 ppa 2b 3c 4d 89

4、以下函数中，以为周期且在区间，）单调递增的是242a f x） cos2x b f x） sin2xc f x） cos xd f x）sin x理科数学试题第 1 页 （共7 页）10已知 0，）， 2sin 2 cos 2 1，就 sin 2a 155b 5x2y 2325cd 3511设 f 为双曲线 c：a2b21a0,b0) 的右焦点，o 为坐标原点，以of 为直径的圆与圆x2y2a 2 交于 p，q 两点如pqof ，就 c 的离心率为a 2b 3c 2d 512设函数f x 的定义域为r ，满意f x12f x ，且当 x0,1 时，f xxx1) 如对任意 x, m ，都有9f

5、 x8 ，就 m 的取值范畴是9758a , 4b , 3c , 2d , 3二、填空题：此题共4 小题，每道题5 分，共 20 分；13我国高铁进展快速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为097，有 20 个车次的正点率为098，有 10 个车次的正点率为099，就经停该站高铁列车 全部车次的平均正点率的估量值为 14已知f x是奇函数，且当x0 时，f xeax 如f ln 28 ，就 a 15 abc 的内角a, b , c 的对边分别为a , b, c 如 b6, a2c, b，就 abc 的面积为3 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信

6、的外形多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信外形是“半正多面体 ”（图 1）半正多面体是由两种或 两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体表达了数学的对称美图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1就该半正多面体共有 个面，其棱长为 （此题第一空2 分，其次空3 分）三、解答题：共70 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤；第17 21 题为必考题，每个试题考生都必需作答；第22、23 题为选考题，考生依据要求作答；（一）必考题：共60 分；17（ 12 分）如图，长方体abcd a1b1c1d1 的底面 abcd

7、 是正方形，点e 在棱 aa1 上， be ec1（ 1）证明： be平面 eb1c1；（ 2）如 ae a1e，求二面角becc1 的正弦值理科数学试题第 2 页 （共7 页）18（ 12 分）11 分制乒乓球竞赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局竞赛终止甲、乙两位同学进行单打竞赛，假设甲发球时甲得分的概率为0 5，乙发球时甲得分的概率为04，各球的结果相互独立在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又 打了 x 个球该局竞赛终止（ 1）求 p（ x 2）；（ 2）求大事 “x 4 且甲获胜 ”的概率 19（ 12 分）已知数列 a

8、n 和 bn 满意 a1 1，b1 0， 4 an 13anbn4， 4bn 13bnan4 （ 1）证明： an bn 是等比数列， anbn 是等差数列；（ 2）求 an 和 bn 的通项公式 20（ 12 分）已知函数fxln xx1 x1（ 1）争论 f x）的单调性，并证明f x）有且仅有两个零点；（ 2）设 x0 是 f x）的一个零点，证明曲线y ln x 在点 ax0 ，ln x0 ）处的切线也是曲线yex的切线21（ 12 分）已知点 a- 2,0）， b2,0），动点mx,y）满意直线am 与 bm 的斜率之积为 -为曲线 c（ 1）求 c 的方程，并说明c 是什么曲线；1

9、 记 m 的轨迹2（ 2）过坐标原点的直线交c 于 p，q 两点，点 p 在第一象限， pe x 轴，垂足为e，连结 qe并延长交 c 于点 g（ i）证明： pqg 是直角三角形；（ii ）求pqg 面积的最大值（二）选考题：共10 分；请考生在第22、23 题中任选一题作答；假如多做，就按所做的第一题计分；22 选修 44：坐标系与参数方程（ 10 分）在极坐标系中，o 为极点，点与 om 垂直，垂足为pm 0 ,0 00 在曲线c :4sin上，直线 l 过点a4,0 且（ 1）当0 =时，求0 及 l 的极坐标方程；3（ 2）当 m 在 c 上运动且p 在线段 om 上时，求 p 点轨

10、迹的极坐标方程23 选修 45：不等式选讲（ 10 分）已知 f x| xa | x| x2 | xa.（ 1）当 a1 时，求不等式f x0 的解集；（ 2）如 x,1 时，f x0 ，求 a 的取值范畴理科数学试题第 3 页 （共7 页）2021 年一般高等学校招生全国统一考试一、挑选题理科数学 ·参考答案1 a2 c3 c4 d5 a6 c7 b8 d9 a10 b11a12 b二、填空题13 0.9814 315 6316 26；21三、解答题：17解：（ 1）由已知得，b1c1平面 abb1 a1 ， be平面abb1a1 ，故b1c1be 又 beec1 ，所以 be平面

11、 eb1c1 （ 2）由（ 1）知beb190由题设知rt abert a1b1e ，所以aeb45，故 aeab ， aa12 ab uuuruuru以 d 为坐标原点，da的方向为 x轴正方向，| da| 为单位长，建立如下列图的空间直角坐标系d xyz，就c（ 0，1，0）， b（ 1，1，0）， c1 （0，1，2）， e（ 1，0，1），uuur ceuuuur1,1,1， cc10,0,2 设平面 ebc 的法向量为 n （ x， y， x），就cbn uuur0,x0,即所以可取 n 0,1,1 cen0,xyz0,设平面ecc1 的法向量为 m（ x， y，z），就cc1muu

12、ur0,2 z0,即所以可取 m（ 1， 1，0）cem0,xyz0.于是 cosn , mn m1 所以，二面角becc 的正弦值为3 1| n | m |2218解：（ 1）x 2就是 10： 10平后，两人又打了2个球该局竞赛终止，就这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此p（x 2） 0 5×0 4（ 10 5）×（ 104） 05（ 2） x 4且甲获胜，就是10： 10平后，两人又打了4个球该局竞赛终止，且这4个球的得分情形为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0 5×（ 10 4）（ 10 5） ×04 ×0 5

13、×0 4 0 1理科数学试题第 4 页 （共7 页）19解：（ 1）由题设得4ab2 ab ，即 ab1 ab n 1n 1nnn 1n 12nn又由于 a1 b1 l，所以ab是首项为 1，公比为1 的等比数列nn2由题设得4an 1bn 1 4anbn 8 ，即 an 1bn 1anbn2 又由于 a1b1 l ，所以anbn是首项为 1，公差为 2的等差数列（ 2）由（ 1）知， anbn12n 1 ， anbn2n1 111所以 an an2bn anbn n，2n2nb1 ab ab 1n1 22nnnnn220解：（ 1） f（ x）的定义域为（0， 1），（ 1， ）单

14、调递增e1e21e23由于 f（ e） 10 ，f e2 20 ，e1e21e21所以 f（ x）在（ 1， ）有唯独零点x1，即 f（ x1） 0又 011 ，1ln xx11f x0 ，f 11x1x1x111故 f（ x）在（ 0， 1）有唯独零点x1综上， f（x）有且仅有两个零点1（ 2）由于x0e ln x0 ，故点 b（ lnx 10，x0）在曲线 y ex 上由题设知f x0 0 ，即 ln x0x01，x010故直线 ab 的斜率 k1ln x x01x01x0x011ln x0x0x01x0x0x01理科数学试题第 5 页 （共7 页）曲线 y ex 在点b ln1x ,0

15、处切线的斜率是x01，曲线 yx0ln x 在点a x0 ,lnx0 处切线的斜1率也是，x0所以曲线yln x 在点a x0 ,lnx0 处的切线也是曲线y ex 的切线yy21解： （ 1）由题设得1 ，化简得xy1| x |2 ，所以 c 为中心在坐标原22x2x2242点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点（ 2）（ i ）设直线pq 的斜率为k，就其方程为ykxk0 ykx由x2y得 x21212k242记 u212 k2，就 pu ,uk , qu,uk, e u,0 于是直线 qg 的斜率为k ，方程为y 2k xu 2yk xu ,由2得x2y21422k 2 x22uk 2

16、xk 2u 280 设 g xg , yg ，就u 和 xg 是方程的解，故xgu3 k22 ，由此得yuk 32 2g2k2kuk 32k 2uk1从而直线 pg 的斜率为u3k22k2k2u所以 pqpg ，即 pqg 是直角三角形2ukk 21（ ii ）由（ i）得| pq |2u1| pg |2k，2k 2，理科数学试题第 6 页 （共7 页）18k1k 2 81k k所以 pqg 的面积 s| pq pg |221212k12k 12kk 2设 t k，就由 k>0 得 t2，当且仅当k1 时取等号k由于 s8t12t 216在2 ， ）单调递减， 所以当 t 2，即 k 1 时，s 取得最大值， 最大值为9因此， pqg 面积的最大值为16 922解：（ 1）由于 m0 ,0在c上，当0时，04sin3323 由已知得 | op | | oa | cos2 3设 q, 为l上除 p的任意一点在rtopq 中cos| op3|2 ，经检验，点p2, 在曲线cos32 上3所以， l的极坐标方程为cos2 3（ 2）设p, ，在 r