数学建模之微分方程建模与平衡点理论

1、实用文档 标准文案 微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1

2、）基础模型 假设：t时刻病人人数()xt连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为?，0t?时有0x个病人。 建模：t到tt?病人人数增加 ()()()xttxtxtt? （1） 0,(0)dxxxxdt? （2） 解得： 0()txtxe? （3） 所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI模型 实用文档 标准文案 假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触?人，?为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病

3、人数)* ?s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： diNNsidt? （4） 由于 ()()1stit? （5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i，则可建立Logistic模型 0(1),(0)diiiiidt? （6） 解得： 01()111ktitei? （7） 用Matlab绘制图1()itt，图 2 diidt图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下 当12i? 时didt 达到最大值mdidt? ，这时101ln1mti? 实用文档 标准文案 t?时人类全被感染。未考虑治愈情况。 （3）SIS模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的

4、比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触?人，?为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 3.在所有病人中，每天有比例?的人能被治愈，治愈后看作可被感染的 健康者，传染病的平均传染期为1?。 依据：患病人数的变化率= Nsi?（患病人数的变化率）-Ni?(治愈率） 建模： diNNsiNidt? （8） 0(1),(0)diiiiiidt? （9） 令?为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，?。 则有 11diiidt? （10） 用Matlab 绘制出diidt（图3，图5）和 it（图4，图6）。 实用文档 标准文案 结论：1?为一个阈值。 1?，()

5、it 极限值1()1i?为增函数，()it的增减性由0i的大小确定。 1?，病人比例()it越来越小，最终趋于0。 （4）SIR模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为()st，()it，()rt。 ?为病人的日接触率，为日治愈率，?为传染期接触数。 建模：由假设1得 ()()()1stitrt? （11） drNNidt? （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)ssii?，则有 00,(0),(0)disiiiidtdssissdt? （13） 利

6、用Matlab绘制出()it，()st（图7），is（图8）图形，is图形称为相轨线。 实用文档 标准文案 相轨线分析：利用相轨线讨论解()it，()st的性质。 si平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)siD?为 ?,0,0,1Dsisisi? （14） 消去方程中的dt，并由?得到 0011,ssdiiidss? （15） 解得： ? ?0001lnsisiss? （16） 在定义域D内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t的增加()st和()it的变化趋势。下面分析()st、()it和()rt的变化情况（t?时它们的极限值分别记做,si?和r?） 不论初始

7、条件00,si如何，病人最终会消失，0i? ，证明： 首先，由式（13） ，0dsdt?，而?0st?，所以s?存在；由式（11 ），0drdt?，而()1rt?，所以r?存在；由式（11）得i?存在。 实用文档 标准文案 其次，若0i?，则由式（11），对于充分大的t 有2drdt?，导致r?，与r?存在相矛盾。 从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与s轴相交。 令式（16）中0i?，则最终未被感染的健康者的比例是s?，s?为方程 0001ln0ssiss? （17） 在(0,1/)?内的根，在图形上表示为相轨线与s轴在(0,1/)?内交点的横坐标。 若01/s?，则()it先增加，当

8、1/s?时，()it达到最大值 0001(1ln)isis? （18） 然后()it减小且趋于0，()st单调减小至s?，如图中由1P出发的相轨线。 若01/s?，则()it单调减小至0，()st单调减小至s?，如图中由2P出发的相轨线。 结论：若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则1/?为一个阈值， 01/s?时蔓延。可以通过减小? 使01/s?，使传染病不蔓延。 01/s?，?减小时，s?增加，也能控制蔓延程度。 1.2捕鱼模型 考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续 产量模型 假设：()xt为渔场中

9、鱼量。 1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic规律，即 ()()1xxtfxrxN? ? （19）其中：r表示固有增长率，N表示环境容许的最大鱼量，()fx表示单位时间的增长量。 2. 用E表示单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量()xt成正比，则有实用文档 标准文案 单位时间捕捞量为 ()hxEx? （20） 建模：捕捞情况下渔场鱼量满足 ()()1xxtFxrxExN? ? （21） 其中：()()()Fxfxhx?。 判断()xt的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。 令式（21）为0，得两个平衡点： 01(1),0ExNxr? （22） 稳定性判断 01(),()F

10、xErFxrE? 当Er?时01()0,()0FxFx?，则0x点稳定，1x点不稳定。 当Er?时01()0,()0FxFx?，则1x点稳定，0x点不稳定。 分析：用E表示捕捞率，r表示固有增长率。 当Er?时，可使鱼量稳定在0x，获得稳定产量。 当Er?时，1x稳定，渔场干枯。 根据（19），（20）式分别绘制曲线()yfx?及()()yhxEx?，使用Matlab绘制图形如下所示， 得两曲线交点为P，则P横坐标为稳定平衡点0x，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点时获得最大的持续产量， 此时的稳定平衡点为*02Nx?， 单位时间的最大持续产量为4mrNh? ，捕捞率*2r

11、E?。 结论：将捕捞率控制在固有增长率r的一半，即使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，能够获得最大的持续产量。 效益模型（经济效益=总收入收入-成本） 假设：鱼销售单价p，单位捕捞率费用是c，单位时间收入为T，成本为S，单位利润为R，则有 ()TphxpExScERTSpExcE? （23） 实用文档 标准文案 建模：在稳定条件0xx?下，将式（22）代入式（23）得 ()()()(1)ERETESEpNEcEr? （24） 求出使利润最大的捕捞强度为 12RrcEpN? （25） 最大利润下的渔场稳定鱼量Rx和单位时间的持续产量Rh 22RNcxp? （26） 222(1)14RRRxrNch

12、rxNpN? （27） 结论：当有最大效益时，捕捞率和持续产量都减小，渔场应保持的稳定鱼量增加，捕捞成本越大或销售价格越低所需减少增大的部分越大。 捕捞过度：封闭式捕捞追求利益最大，开放式捕捞只追求利润。 令式（24）中()0RE?,解SE,则 1ScErpN? (28） 当SEE?时，利润()0RE?经营者加大捕捞强度，当SEE?，()0RE?经营者减小捕捞强度，SE为盲目捕捞下的临界强度。 或利用Matlab绘制(),()ETESE曲线如图（12），则(),()TESE交点横坐标即为SE。 二、微分方程与平衡点理论 2.1一阶微分方程 设一阶微分方程为 ?xtfx ? （1） 求解方程?=

13、0fx即可出平衡点0xx?。再判断平衡点0x是否稳定。 判断平衡点的常用方法有以下两种 （1）直接法 实用文档 标准文案 将?fx在0x点作泰勒展开，仅取一次项，则得方程（1）的近似线性方程为 ?'0xtfxxx? ? （2） 所以，0x也是方程（2）的平衡点。令?'0=fxa，则方程（2）的一般解为 ?0atxtcexc?为常数 对于0x点的稳定性有如下结论： 如果?'00fx?，则0x对于方程（2）和（1）都是稳定的； 如果?'00fx?，则0x对于方程（2）和（1）都是不稳定的； （2）间接法 如果存在0x某个邻域内的任意值，使方程（1）的解?xt满足 ?0limtxtx? （3） 那么0x是稳定的，否则0x是不稳定的。 2.2二阶微分方程 设二阶微分方程为 ?112212,xtfxxxtgxx? ? （4） 求出方程?1212,0,0fxxgxx?的解，即为二阶微分方程的平衡点001122,xxxx?记作?00012Pxx， 利用直接法判断平衡点的稳定性，由线性常系数微分方程组 ?1112221122xtaxaxxtbxbx? ? （5） 得系数矩阵记 1212=aaAbb? （6） 为求出方程（5）的惟一平衡点?000P，的稳定性，令A的行列det0A? （7） ?000P，的稳定性可由方程（5）的特征方程的根?决定