湖北省荆荆襄宜四地七校考试联盟2018 2019高二数学下学期期中联考试题文含解析

1、 - 1 - 湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018-2019学年高二数学下学期期中联考试题 文（含解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卡上. 1. 若复数 满足 ，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据除法运算求出复数的代数形式，进而可得其虚部 【详解】， ， 的虚部为 故选C 【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，其中容易出现的错误是认为复数 的虚部为，属于基础题 2. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析

2、】 解不等式分别求出集合 ，然后再求出即可 详解】由题意得， 或， 故选D 【点睛】本题考查集合的运算， 解题的关键是正确得到集合，然后再根据交集的定义求解， - 2 - 属于基础题 3. 已知命题 ： ， ： ，则 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：根据题意，求得，即可利用集合之间的关系，判定得到结论. 详解：由题意可得 ，解得， 则“ ”是“”成立的充分不必要条件， 即“ ”是“”成立的充分不必要条件，故选A. 点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题，利用集合之间的大小关系是解答的

3、关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 4. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 得到，然后再根据余弦定理求解可得结果 【详解】， 由余弦定理得， 故选D 【点睛】解答本题的关键是寻求使用余弦定理的条件，其中由倍角公式得到是解题的重点，考查变换和计算能力，属于基础题 - 3 - 5. 黄金分割起源于公元前 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前世纪，古希腊数学家欧多 克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将

4、整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比 值为， 把称为黄金分割数. 已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好 是黄金分割数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出双曲线的焦距， 然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于的方程，解方程可得所求 【详解】由题意得，在双曲线中， 双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数， ， ， ，解得 故选A 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题 6. 在区间 上随机取一个数 ，使 的值介于 到之间的概率为（

5、） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 - 4 - 【分析】 先求出在区间 内，使得 成立的的取值范围，然后根据长度型的几何概型概率公式求解即可 【详解】， 或， 根据几何概型概率公式可得所求概率为 故选B 【点睛】解答关于几何概型概率的计算问题时，首先要判断出题中的概率属于哪一种类型，然后再确定出表示基本事件的测度，即长度、面积或体积，最后再根据公式计算属于基础题 7. 设点 是平面区域 内的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的平面区域，由 得 ，平移直线 并根据直线在轴上的 截距最大得到最优解，进而求出的最小值

6、【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 由 得， - 5 - 所以 表示直线 在轴上的截距的相反数 平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在轴上的截距最大，此 时取得最小值 由题意得， 所以 故选B 【点睛】解答线性规划问题时要注意两点：一是正确画出不等式组表示的可行域；二是观察、 判断目标函数中的几何意义，是表示截距、斜率还是距离，然后再根据数形结合的方法进行求解考查分析、判断和数形结合思想方法的运用，属于基础题 8.设函数f（x） =+lnx 则 （ ） A. x=为f(x)的极大值点 B. x=为f(x)的极小值点 C. x=2为 f(x)的极大值点 D. x

7、=2为 f(x)的极小值点 【答案】D 【解析】 试题分析：， 由 得， 又函数定义域为， 当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，因此 是函数的极小值点故选D 考点：函数的极值 9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） - 6 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据三视图得到正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的直观图，再根据体积公式进行计算求解可得结果 【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的从正方体 中，截去三棱锥后的剩余部分 设正方体 的棱长为 ，则正方体的体积为 又， 所以截去部分体积与

8、剩余部分体积的比值为 故选A 【点睛】由三视图还原直观图的方法：还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系、与三视图比较，通过调整准确画出原几何体 - 7 - 10. 假设有两个分类变量 和 的列联表如下： 注： 的观测值.对于同一样本， 以下数据能说明 和有关系的可能性最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据独立性检验的方法和 列联表可得，当 与 相差越大，则分类变量 和有关 系的可能性越大，即 相差越大， 与相差越大由各选项可得A满足条

9、件，选A 11. 已知点 在抛物线上， 过焦点 且斜率为 的直线与 相交于两点, 且两 点在准线上的投影分别为两点, 则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意求出抛物线的方程为， 进而得到焦点， 所以得到直线 的方程为， 设，将直线方程与抛物线方程联立消元后根据二次方程中根与系数的关系求 出 ，再根据可得所求 【详解】点 在抛物线上， ，解得， 抛物线的方程为 ，焦点为， 过焦点 且斜率为 的直线的方程为 - 8 - 由 消去 整理得， 设， 则， 设抛物线的准线与 轴的交点为 ，则， 故选C 【点睛】在圆锥曲线问题中，求三角形的面积时往往选择一条容易求

10、长度的线段作为底边，然后根据距离公式求出该边上的高，进而得到三角形的面积；有时也可根据分割的方法求得三角形的面积，计算时注意整体代换的应用，属于中档题 12. 设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意先求函数的定义域，由方程 有解得到方程有解， 即有解， 令， 根据单调性求出函数的值域即为所求 【详解】由题意得函数 的定义域为 又， 函数至少存在一个零点， 方程有解， 即有解 - 9 - 令， 则， 当 时， 单调递增；当 时，单调递减 又当 时， ；当 时， 要使方程 有解，则需满足， 实数 的取值范围

11、是 故选D 【点睛】解答本题的关键是把方程有解的问题转化为两函数图象有公共点的问题，解题时需要根据函数的单调性得到函数图象的大体形状，然后再根据数形结合求解，属于中档题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】01 【解析】 试题

12、分析：选取的数据依次为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01 考点：随机数表 14. 已知向量 若 ，则_ - 10 - 【答案】 【解析】 【分析】 由向量共线可得向量坐标间的关系，进而可得所求 【详解】向量 ， ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，解题的关键是根据共线的等价条件得到关于参数的方程，属于基础题 15. 设各项均为正数的等比数列 中，若 ，则数列 的前项和等于_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列 的下标和的性质得，然后再根据对数的运算性质可得所求结果 【详解】在等比数列 中， ， ， 故答案为： 【点睛】在等比数列中，若

13、 ，则，利用这一性质解题可简化运算，考查转化变形能力，属于基础题 16. 已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则的取值范围是_ - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 直线 过定点， 曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分画出图形，结合图形可得所求的范围 【详解】由题意得，直线 过定点 ，曲线表示圆心为原点，半径为2 的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示 当直线 ，即直线与圆相切时， 则有 ，解得 ， 结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有， 实数 的取值范围是 故答案为： 【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图

14、象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题 三解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等差数列 中， ，前 项和. （1 ）求数列 的通项公式； （2） 若从数列 中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列， 试求新数列的前 项和. 【答案】 (1) (2) ， - 12 - 【解析】 (1) 由题意得 ，解得， 所以 (2) ，则 = = 18. 如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为中点 . （1 ）求证： 面； （2 ）求点 到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】 试题分析：（1）要证明线与面垂

15、直，只需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给条 件证明 ，和；（2 ）根据等体积公式进行转化为点到平面的距离 试题解析：（1 ）取 中点 ，连结 为正三角形， - 13 - 正三棱柱 中，平面 平面， 平面 连结 ，在正方形 中，分别为 的中点， ， 在正方形 中， ， 平面 （2 ） 中， ， 在正三棱柱中， 到平面 的距离为 设点 到平面 的距离为 由 得， 点 到平面 的距离为 考点：1线与面垂直的判定；2等体积公式求点到面的距离 19. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量（单位：万千瓦时）与该河上游在六 月份的降雨量 （单位：毫米）有关据统计，当 时， ；每增加10 ，

16、增加5已知近20 年的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160 （1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表 - 14 - （2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率 【答案】解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140

17、160 200 220 频率 （II） 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为 【解析】 试题分析：（1）根据题意及可求得降雨量取的频率；（2）写出回归直线方程，根据方程求出降雨量的范围，根据“随机变量在某范围内取值的概率等于它取该范围内各值的概率和”即可求得要求的概率值. 试题解析：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为 （2）依题意，得所以当时，；当时， 记“六月份发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）”为时间，则 - 15 - 故今年六月份

18、该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为0.3 考点：用样本估计总体、回归直线方程及互斥事件的概率公式. 20. 设 分别是椭圆 的左、右焦点，过斜率为1的直线 与 相交于 两点，且成等差数列。 （1 ）求的离心率； （2 ）设点 满足 ，求的方程 【答案】 ， 【解析】 （I ）由椭圆定义知 ，又， 得 的方程为 ，其中。 设 ，则A、B两点坐标满足方程组 化简的 则 因为直线AB斜率为1 ，所以 得 故 所以E 的离心率 （II）设AB 的中点为，由（I）知 ，。 由 ，得， - 16 - 即 得 ，从而 故椭圆E 的方程为。 21. 设函数 (I) 讨论

19、的单调性； （II ）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为，问：是否 存在 ，使得 ？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】：（I ） 的定义域为 令 当 故上单调递增 当的两根都小于0 ，在 上， ，故上单调递增 当的 两根为， 当 时，； 当 时，； 当 时， 故 分别在 上单调递增，在上单调递减 （II）由（I ）知， 因为，所以 - 17 - 又由(I) 知， 于是 若存在 ，使得 则 即亦即 再由（I ）知，函数 在 上单调递增，而 ，所以 这与式矛盾故不存在 ，使得 【解析】 【试题分析】（1 ）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性的关系分析讨论函 数的符号，进而运用分类整合思想对实 数进行 分三类进行讨论并判定其单调性，求出单调区间；（2）先假设满足 题设条件的参数 存在，再借助题设条件，推得 ，即 ，亦即 进而转化为判定函数 在上是单调递增的问题，然后借助导数与函数单调性的关系运用反证法进行分析推证，从而作出判断：