第7章 FIR数字滤波器的设计

1、1第第7章章 FIR 有限长数字滤波器的设计有限长数字滤波器的设计2 本章内容： 引言 线性相位FIR 数字滤波器的特点 FIR窗函数设计方法 FIR滤波器的频率采样设计法 重点： 线性相位FIR 数字滤波器特点 FIR窗函数设计方法 FIR设计函数3两种滤波器比较两种滤波器比较：一、一、IIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 1、IIR数字滤波器的设计依托模拟滤波器的设计，有图表可 查，方便简单。 2、 IIR数字滤波器相位的非线性 H（Z）的频响： 其中， 是幅度函数， 是相位函数。 通常， 与 不是呈线性的，这是IIR 滤波器 （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象

2、处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。 3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,e)e(H)Z(H)e(H)(jjeZjj)e (Hj)()(7.1引言引言4二、二、FIR 数字滤波器的特点数字滤波器的特点 1、FIR单位抽样响应单位抽样响应h（n）是有限长的，因此）是有限长的，因此FIR 数字滤波器一定是稳定的。数字滤波器一定是稳定的。 2、经延时，、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以）总可变成因果序列，所以FIR 总可以由因果系统实现。即通过移位，总可以总可以由因果系统实现。即通过移位，总可以 实现：实现： 3、h（n）为有限长，可以用）为有限长，可以用FFT实现实现FIR

3、。 4、FIR的系统函数是的系统函数是z-1的多项式，故的多项式，故IIR的方法的方法 不适用不适用FIR。 5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛 的应用，非线性的的应用，非线性的FIR一般不作研究。一般不作研究。nNnnhnh10| )(| )(|00）（时，当nhn5一、线性相位的条件一、线性相位的条件 如果FIR 数字滤波器的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称： h（n）=h（N-1-n）， 或满足奇对称： h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在 处，则可证明FIR滤波器就具有准确的线性相位。 N又分为偶数和奇数两种情况，

4、所以有4种线性相位FIR 数字滤波器。21Nn7-2 线性相位线性相位FIR 数字滤波器的特点数字滤波器的特点61、N为奇数的偶对称为奇数的偶对称例如 N=11，对称中心为)n10(h)n(h, 52111nn0123456789107%FIR_test1.mN=11;%对称中心为n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=x(N+1-k); endendstem(y);82、N为偶数时的偶对称为偶数时的偶对称例如 N=10，对称中心为)n9(h)n(h, 5

5、 . 42110nn01234567899%FIR_test2.mN=10;%对称中心为对称中心为n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=x(N+1-k); endendstem(y);103、N为奇数时的奇对称为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为 )n10(h)n(h, 5nn01234567891011%FIR_test3.mN=11;%对称中心为对称中心为n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4,0;n=(N-1)/

6、2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=-x(N+1-k); endendstem(y);124、N为偶数时的奇对称为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5， )n9(h)n(hn012 345678913%FIR_test4.mN=10;%对称中心为对称中心为n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=-x(N+1-k); endendstem(y);14二、线性相位的特点二、线性相位的特点)(jje )(H

7、)e (H 为幅度函数， ，是一个纯实数， 是相位函数，下面分为奇对称奇对称、偶对称偶对称两种情况讨论)(H )e (H)(Hj)()(151、h（n）为偶对称情况）为偶对称情况1N0nn1N0nnZ)n1N(hZ)n(h)Z(H)n1N(h)n(h1N0m)m1N(Z)m(h)1,1(mNnnNm1N0mm)1N(Z)m(hZ也就是)Z(HZ)Z(H1)1N(16上式两边同时加H（Z），再用2去除得：10) 1(1) 1()(21)()(21)(NnnNnNZZZnhZHZZHZH2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21N1710)21()21()21()(2)()(NnN

8、njNnjNjeZjnheeeZHeHj1N0n)21N( j)21Nncos()n(he1N0n)21N( j)n21Ncos()n(he18所以，这时的幅度函数和相位函数如下:幅度函数幅度函数为相位函数相位函数为)n21Ncos()n(h)(H1N0n)21N()(显然 与 呈正比，是严格的严格的线性相位线性相位。)(19)21N()1N()(,2) 1N(0)(2)21N()(,202、h（n）为奇对称的情况）为奇对称的情况 当h（n）= -h（N-1-n）时，可以通过类似的推导，得到)21(sin)()(102)21(nNnheeHNnjNjj所以，其幅度函数幅度函数和相位函数相位函数

9、分别为)n21Nsin()n(h)(H1N0n2)21()(N21 可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过滤波器的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。)23()(,22)(,2)(,0NN)23( N2N)(2022)21()(N221、N为奇数，h（n）为偶对称的情况三、幅度函数的特点三、幅度函数的特点 呈偶对称，也对2/ ) 1()21cos()1(21cos()21(cos)21cos()21cos()()(10NnNnNNNnnNnNnhHNn23可表为。因此，项是奇数，故留下中间一项。由于并等等

10、，共合并为项合项与第合并；把第项项与第相等；可把第项项与第内的第因此，)(2/ ) 1(:2/ ) 1(2110)1(HNnNNNnnNnnnNn24nNmmmNhNhnNnhNhHNmNn21)cos()21(2)21()21cos()(2)21()(2/ ) 3(02/ ) 3(0其中，2521, 2 , 1),21(2)()21()0()cos()()(2/ )1(0 NnnNhnaNhannaHNn可见， 对 呈现偶对称。)(H,2 , 0进一步表为)(H26%FIR_H1.mN=11;%N为奇，为奇，h为偶对称为偶对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,

11、N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);a=zeros(1,n);a(1)=h(n);for p=2:n a(p)=2*h(n+1-p)endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:n H(w)=H(w)+ a(nk)*cos(nk*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);271234567891011-1012345010020030

12、0400500600700-15-10-50510152025282、N为偶数，h（n）为偶对称的情况2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(b)21ncos()n(b)(H2/N1n 可见， 对 呈奇对称。)(H, 0)(H29%FIR_H2.mN=10;%N为偶为偶,%h偶对称偶对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);b=zeros(1,N/2);%b(1)=h(n);fo

13、r p=1:N/2 b(p)=2*h(N/2+1-p);endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:N/2 H(w)=H(w)+ b(nk)*cos(nk-0.5)*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);3012345678910-1-0.500.511.522.533.540100200300400500600700-20-15-10-505101520313、N为奇数，h（n）为奇对称的情况21N, 2 , 1n),n21N(h2)n( c)nsin()n( c)(H2/ )1

14、N(1n 可见， 时， 对 呈奇对称。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 032%FIR_H3.mN=11;%N为奇，为奇，h为奇对称为奇对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);c=zeros(1,n);for p=2:n c(p)=2*h(n+1-p)endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=

15、1:1:n H(w)=H(w)+ . c(nk)*sin(nk*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);331234567891011-4-3-2-10123450100200300400500600700-15-10-5051015344、N为偶数，h（n）为奇对称的情况2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(d)21nsin()n(d)(H2/N1n 可见， 时， 对呈奇对称，而对 呈偶对称。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 035%FIR_H4.mN=10;%N为偶，为偶，h奇对称奇对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N

16、);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);d=zeros(1,N/2);for p=1:N/2 d(p)=2*h(N/2+1-p);endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:N/2 H(w)=H(w)+ . d(nk)*sin(nk-0.5)*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);3612345678910-4-3-2-10123401

17、00200300400500600700-20246810121437)23(N2/)1(0cos)()(NnnnaH)2/1cos()()(2/1NnnnbH2/)1(1sin)()(NnnncH)2/1sin()()(2/1NnnndH偶对称序列偶对称序列奇对称序列奇对称序列)1()(nNhnh)21()(N)1()(nNhnh2)21()(N38四、系统函数四、系统函数H（z）的零点分布情况）的零点分布情况 1、零点的分布原则)()(1)1(zHzzHN所以，如果 是零点，则 也一定是H（z） 的零点，h（n）为实数时，H（z）的零点必成共轭对出现，即 也一定是H（z）的零点， 也一定是

18、H（z）的零点。iZz iZz/1*iZz */1iZz 392、零点的位置（1）若 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零 点是互为倒数的两组共轭对，22/1 , 22/1jZjZiiiZ,41j41Z,41j41Z*ii*iZ/1ZjImZiiZiZ/1ZRe10例如例如40(2)若 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如iZ22j22Z/1 ,22j22Z/122j22Z,22j22Z*ii*ii*iiZ/1Z i*iZ1Z 0141（3）若 在实轴上，不在单位圆上、实数零点，复共轭就是其本身；只有倒数。例如，iZiZiZ/1212012Z/1 , 2/1Zii2/1 , 2

19、/1*iiZZ42（4） 既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。iZ1Zi1ZiN为偶数时的偶对称 为其零点；N为偶数奇对称：H（0）=0，有z=1零点；N为奇数奇对称：有零点Z=1，和Z= -1。1, 0)(zH, 0)(H)0(H43%FIR_zero1.mN=11;%N为奇，为奇，h为偶对称为偶对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endends

20、tem(h);figure;zplane(h,1);1234567891011-1012345-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.510Real PartImaginary Part44%FIR_zero2.mN=10;%N为偶，为偶，h偶对称偶对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);123456789

21、10-1-0.500.511.522.533.54-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.59Real PartImaginary Part45%FIR_zero3.mN=11;%N为奇，为奇，h为奇对称为奇对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);1234567891011-4-3-2-1012345

22、-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.510Real PartImaginary Part46%FIR_zero4.mN=10;%N为偶，为偶，h奇对称奇对称%对称中心为对称中心为n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);12345678910-4-3-2-101234-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.5

23、00.511.59Real PartImaginary Part47一、设计方法一、设计方法 1、设计思想 先给定理想filter的频响 ，所要求设计一个FIR的filter的频响为 ，使 逼近 2、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应 ，然后加时间窗对 截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd7-3 窗函数设计法窗函数设计法48例如，低通滤波器)(Hd0cc 是矩形的，则 一定是无限长的且是非因果

24、的。)e (Hjd)n(hd49二、窗函数对频响的影响二、窗函数对频响的影响 1、理想低通滤波器的单位抽样响应、理想低通滤波器的单位抽样响应理想低通filter的频响 为)(nhd)(jdeH)e (Hjdcccje, 0,10)e (Hjdcc0)(为群延时50因为其相位 ，所以 是偶对称，其对称中心为 ，这是因为 时，即 为其最大，故 为其对称中心。 又是无限长的非因果序列)n(hdcccnjnjnjjjdnnenjdedeeeHFccccc)()sin()(2112121)()()(1) n (hd)(n/)(cdh)(nhd51)n(hd2/ ) 1N(1Nn)n(RNn0.11N矩形

25、窗理想低通滤波器的单位脉冲响应522、加矩形窗、加矩形窗 加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口 看 ，称 为窗口函数。)()(nRnwNR)n(RN)n(hd)(nwR)()()(nwnhnhRd1Nn0),n(hd, 0其他n值 因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为 ，所以h（n）可写作2/ ) 1N(h（n）=10 ,)21()21sin(1NnNnNnc, 0n为其他值533、h（n）的频响）的频响 h（n）的频响 可通过傅式变换求得，为了便于与 的频响 相比较，利用卷积定理)e (Hj)()(nhFeHj)n(hd)e (HjddeWeHeHnwnh

26、nhjRjdjRd)()(21)()()()()(1)对于矩形窗的频响10)()()(NnnjRRjRenwnwFeW2/sin2Nsinee1e1e)21N(jjNj1N0nnj54)21()(NjReW 其中， 为幅度函数， 为相位函数。)2sin(/ )2Nsin()(WR)21()(N（2）对于理想LF的频响)21N( jdjde )(H)e (H 其中， 为幅度函数， 为相位函数。)(Hdc, 1c, 0)21()(N55（3）h（n）的频响)e (Hjd)(W)(H21ede )(We )(H21Rd)21N( j)(21N( jR)21N( jd其中， 为幅度函数， 为相位函数。

27、d)(W)(H21)(HRd)21()(N4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:56（1） 时，0ccd)(W21d)(W121)0(HRR也就 在 到 全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。)(WR)(dH0cc57)(RWN/2N/20NWR/2)(的主瓣宽度的一半为注意：矩形窗幅度函数矩形窗幅度函数58（2） 时， 正好与 的一半相重叠。这时有 。c)(WR)(Hd5 . 0)0(/ )(HHc59(3) 时， 的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。Nc2)(RW)(dH60（4） 时，主瓣全部在通带外，时，主瓣全部在通带外，出

28、现负的肩峰。出现负的肩峰。Nc/2N/2c61（5）当 时，随 增加， 左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着 的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故 将围绕着零值而波动。Nc2)(WR)(H )(WR)(H 62(6)当 时， 的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而波动。N2c)(WR)(Hd)(H )0(H100.5)0(H/ )(H c0.0895cN4635、几点结论、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响 的主瓣宽度（2） 在 处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。)(WRN4

29、 )(H N2c64（3）吉布斯（Gibbs）效应 因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变 的绝对值的大小，和主瓣的宽度 ，旁瓣的宽度 ，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响 的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是 8.95% ，这种现象称作吉布斯效应吉布斯效应。)2sin(/ )2Nsin()(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H 65三、各种窗函数三、各种窗函数 1、基本概念、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数称作窗谱。（2）对窗函数要求 a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较

30、陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。 b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰 和波纹减少。 2、矩形窗、矩形窗 时域表达式： 频域表达式（频谱）： 幅度函数：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WR663、三角形窗、三角形窗时域表达式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22121210 1 2 3 4 67频谱：)21N( j2je)2sin()41Nsin(1N2)e (W1N,e)2sin()4Nsin(1N2)21N( j2 第一对零点为 ，即 ，所以主瓣宽度 ，比矩形宽一倍。)e (Wj4

31、NN4N/8684、汉宁窗（升余弦窗）、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将 变形为又由于 其中又考虑到 ，这里)()12cos(1 21)(nRnNnwN) 1Nn0()(nw)(41)(41)(21)()12()12(nRenRenRnwNnNjNnNjN)21()()()(NjRRjReWnwFeW)2sin(/ )2Nsin()(WR)n(xeF)e(Xnj)( j001N2069所以有)e (Wj)21()21()()12(41)12(41)(21)(NjNjRRReWeNWNWWnwF当 时， ，窗谱分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即

32、为1N N1N)N2(W41)N2(W41)(W21)(WRRR)(W N870)(W21R)N2(W41RN4N2N2N4)(W N4N4汉宁窗是 时，特例2)n(R)1Nn(sin)n(N715、汉（海）明窗，又称作改进升余弦窗、汉（海）明窗，又称作改进升余弦窗 其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为 其主瓣宽度仍为 ，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣内。 海明窗是下一类窗的特例)N2(W)N2(W23. 0)(W54. 0)1N2(W)1N2(W23. 0)(W54. 0RRRRRR)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN)(W

33、N8)54. 0()()12cos()1 ()(nRNnnwN726、布莱克曼窗，又称二阶余弦窗、布莱克曼窗，又称二阶余弦窗 加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为 其主瓣宽度为 ，是矩形窗的三倍。)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)(W )1N4(W)1N4(W04. 0)1N2(W)1N2(W25. 0)(W42. 0RRRRRN/12737、五种窗函数的比较（1）时域窗布拉克曼三角矩形海明21N1Nn)n(（2）各个窗的幅度函数，如图7-11，注意图中 是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如 图7-11

34、所示。74几种函数的幅度响应（几种函数的幅度响应（ N=51）75四、窗函数法的设计四、窗函数法的设计 1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表（P342表7-3）确定窗的形式及N 的大小（4）最后求 及 2、设计举例)e (Hjd)e (HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e (Hj例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求：)e (Hjd, 0,ecj其他;rad1, s12c并画出相应的频响特性76解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）确定N 由于相位函数 ，所

35、以 呈 偶对称，其对称中心为 ，因此 )e (Hjd)n(hd)n()n(sin)n(hcccd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 则有77可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心122/ ) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhh

36、hhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h) 5(h01457. 0)21(h) 3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (h78)n(hn1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以)(H 121n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(a79例如 H（0）=0.94789，可以计算 的值， 画如下图)(H 80（4）加汉宁窗 由于 可以求出序列的各点值240),242cos

37、(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14()10(75. 0)16()8(5 . 0)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829. 0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通过 可求出加窗后的h（n）)()()(nwnhnhd8131831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741

38、. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841. 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相应幅度函数可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(H82如H（0）=0.98460，图如下837-4、凯泽（、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计）窗及其滤波器设计 上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一

39、种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。 一、凯泽窗 凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：1、定义84其它, 010 ,)()/ )(1 ()(02/120NnInInW2/ ) 1( N)(0I其中， 为第一类零阶修正贝塞尔函数， ， 是一个可自由选择的参数。850可同时调整主瓣宽度与旁瓣可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，越大， 窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相应增加；相当于矩形窗相当于矩形窗;)(nW通常选择通常选择，它们相当于旁瓣与主，它们

40、相当于旁瓣与主瓣幅度为瓣幅度为 3.1%-0.047%；凯泽窗随凯泽窗随 变化的曲线如下图：变化的曲线如下图：942.特点86.) ! 3()2/() ! 2()2/()2/(1!)2/(1)(26242120 xxxkxxIkk注：第一类零阶修正贝塞尔函数为87由图可以看出, 为对称中心，且是偶对称,2/ ) 1( Nn即即)1()(nNWnWkk1)()()2/ 1()(00IINWnWkk3.凯泽经验公式凯泽经验公式该公式可使该公式可使filter设计人员根据设计人员根据filter的设计指标的设计指标,估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，8811sp1)(jeH：通带截止频率，由

41、：通带截止频率，由 定定;：止带截止频率，由：止带截止频率，由 定定.)(jeHps过渡带宽度过渡带宽度2/ )(psc891285. 2/)8(21, 0 . 05021,)21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 0lg20. 4 . 0ANAAAAAAAps90二二.设计举例设计举例利用凯泽窗设计一利用凯泽窗设计一FIR低通低通filter，要求，要求6 . 0,4 . 0,001. 0sp2 . 04 . 06 . 0ps解：解：6010lg20lg203A65326. 5)7 . 860(1102. 091,22.3712 . 0285. 2/ )8

42、60(N取取38将将N=38, =5.653代入代入 表达式，得表达式，得)(nWk)()()653. 5() )37(3065. 0()(0000IxIInnInWk92nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2

43、067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.349317 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86

44、15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.0094048121618192529333721955 . 02/ )4 . 06 . 0(2/ )(psc)(2sin)()()()(sin)(00nWyyIxInnnhkc)(nWk n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.010.27-0.000240.0005160.000

45、96-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nh96 78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043971516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的

46、图形如下所示的图形如下所示98997.5 基于基于MATLAB的的FIR设计设计 1.窗函数BARTLETT, BARTHANNWIN, BLACKMAN, BLACKMANHARRIS, BOHMANWIN, CHEBWIN, GAUSSWIN, HAMMING, HANN, KAISER, NUTTALLWIN, PARZENWIN, RECTWIN, TRIANG, TUKEYWIN.100N = 65;hold on;w1 = rectwin(N);%产生的产生的w1序列长度为序列长度为Nplot(w1,b); w2=TRIANG(N);plot(w2,g); w3=HAMMING(N

47、);plot(w3,r);w4=hann(N);plot(w4,c);w5=blackman(N);plot(w5,m);w6=kaiser(N,50);plot(w6,k);axis(0 N 0 1);legend(rectwin,triang,hamming,hann,blackman,kaiser);101010203040506001rectwintrianghamminghannblackmankaiser1022.Window函数函数WINDOW(WNAME,N，opt)bartlett - Bartlett window.ba

48、rthannwin - Modified Bartlett-Hanning window. blackman - Blackman window. blackmanharris - Minimum 4-term Blackman-Harris window. bohmanwin - Bohman window. chebwin - Chebyshev window. flattopwin - Flat Top window. gausswin - Gaussian window. hamming - Hamming window. hann - Hann window. kaiser - Ka

49、iser window. nuttallwin - Nuttall defined minimum 4-term Blackman-Harris window. parzenwin - Parzen (de la Valle-Poussin) window. rectwin - Rectangular window. tukeywin - Tukey window. triang - Triangular window.103N = 65;hold on;w1 =window(rectwin,N); %产生的产生的w1序列长度为序列长度为Nplot(w1,b); w2=WINDOW(trian

50、g,N);plot(w2,g); w3=window(HAMMING,N);plot(w3,r);w4=window(hann,N);plot(w4,c);w5=window(blackman,N);plot(w5,m);w6=window(kaiser,N,50);plot(w6,k);axis(0 N 0 1);legend(rectwin,triang,hamming,hann,blackman,kaiser);104010203040506001rectwintrianghamminghannblackmankaiser1053.F

51、IR滤波器设计函数滤波器设计函数 B = fir1(N,Wn)designs an Nth order lowpass FIR digital filterand returns the filter coefficients in length N+1 vector B. The cut-off frequency Wn must be between 0 Wn 1.0, with 1.0 corresponding to half thesample rate. The filter B is real and has linear phase.106N = 6;hold on;h=fir

52、1(N,0.3)stem(h);figure;freqz(h,1,512);123456700.050.4107设计的设计的FIR滤波器幅频特性与相频特性滤波器幅频特性与相频特性01-500-400-300-200-1000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-150-100-500Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)10

53、8 B = FIR1(N,Wn,high) designs an Nth order highpass filter. You can also use B = FIR1(N,Wn,low) to design a lowpass filter. If Wn is a two-element vector, Wn = W1 W2, FIR1 returns an order N bandpass filter with passband W1 W W2. You can also specify B = FIR1(N,Wn,bandpass). If Wn = W1 W2, B = FIR1(

54、N,Wn,stop) will design a bandstop filter. 109B = FIR1(N,Wn,WIN)designs an N-th order FIR filter using the N+1 length vector WIN to window the impulse response. If empty or omitted, FIR1 uses a Hamming window of length N+1.110N = 21;hold on;h=fir1(N,0.3, . kaiser(N+1,10);stem(h);figure;freqz(h,1,512)

55、;0510152025-0.0500.00.250.3111设计的设计的FIR滤波器幅频特性与相频特性滤波器幅频特性与相频特性01-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-200-150-100-500Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)112N = 22;hold on;h=fir1(N,0.3,high,kais

56、er(N+1,10);stem(h);Figure;Freqz(h,1,512);0510152025-0.3-0.2-0.60.7113设计的高通FIR滤波器幅频特性与相频特性01-2000-1500-1000-5000500Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-150-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)

57、114$7.6 几种常用的理想滤波器几种常用的理想滤波器 1、理想低通滤波器 频率响应： 单位脉冲响应：|, 0| ,)(ccjjdeeHnnnnnhccd,)()sin(.1)(115 2、理想高通滤波器 频率响应 单位脉冲响应：0|, 0|,)(ccjjHPeeHnnnnnnnhccHP,1,)()(sin)()(sin)(116 3、理想带通滤波器 频率响应 单位脉冲响应：|, 0|, 0|,)(2112ccccjjBPeeHnnnnnnnhccccBP,)()(sin)()(sin)(1212117 4、理想带阻滤波器 频率响应 单位脉冲响应：1221|, 0|, 0|,)(ccccj

58、jBSeeHnnnnnnnnnhccccBS,1,)()(sin)()(sin)()(sin)(1221118 5、理想线性相位线性差分滤波器 频率响应 幅度响应 相位响应| ,)(jjdefejeH| ,| )(|jdefeH0,20 ,2)(119 理想线性相位线性差分滤波器的单位脉冲响应：理想线性相位线性差分滤波器的单位脉冲响应： 为奇对称，且N为奇nnnnhndef, 0,)() 1()(120从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 一、设计思想一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定用一定形状的窗函数截取成有限长的形状的窗函数截

59、取成有限长的 ，以，以 来近似来近似 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH。频率采样法是从频域出发，对理想的频响频率采样法是从频域出发，对理想的频响 )(jdeH进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响)(jdeH，即：，即：，7-7、频率采样设计法、频率采样设计法121)()(2kHeHdkNjd等间隔取样等间隔取样并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd二、利用二、利用N个频域采样值重构个频域采样值重构FIR的系统函数与频响的系统函数与频响1. 重构重构FIR的的单位抽样响应的的单位抽样响应h(n)根据频域

60、抽样理论，由根据频域抽样理论，由N个频域采样点个频域采样点可以唯一确定可以唯一确定h(n) , 即对即对 H(k)进行进行IDFT1221,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj2.重构系统函数重构系统函数H(Z)1101/21010/21010/2101011)(111)(1 )(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnnNjNeW/2123将将 代入代入 表达式可得表达式可得3.FIR的频响的频响jeZ )(ZH)()(2/ )/2sin()2/sin()(11)1)(1)