高等数学：1(4)无穷小与无穷大

1、1无穷小无穷小(infinitely small)无穷大无穷大(infinitely great)小结小结 思考题思考题 作业作业 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第一章第一章 函数与极限函数与极限2 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”. 牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无穷小的方法穷小的方法.的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”.常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠

2、以年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论无穷小分析引论.即所谓无穷小量即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(16421727)牛顿牛顿拉格朗日拉格朗日意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813)瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783)欧拉欧拉都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重要的变量要的变量, 数学分析的历史表明数学分析的历史表明,较复杂的变量较复杂的变量,很多变化状态比很多变化状态比无穷小与无穷大无穷小与无穷大31. 定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量, , 简称简称如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x,时时

3、当当 x是是函数函数xxsin,2时时当当 x是是函函数数2 x无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.,时时当当 n.)1(是无穷小是无穷小数列数列nn ,1时时当当 x.穷小穷小皆非无皆非无;无穷小无穷小;无穷小无穷小;无穷小无穷小无穷小无穷小. .一、无穷小一、无穷小无穷小与无穷大无穷小与无穷大在某个过程中在某个过程中4定义定义1 1),(0 不论它多么小不论它多么小 0 使得当使得当 |00 xx恒有恒有 | )(|xf),0( X或或),|(Xx 或或,)(0时的无穷小时的无穷小当当则称则称xxxf0)(lim0 xfxx记作记作1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很

4、小的数混淆不能与很小很小的数混淆;2) 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.注注 “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小,而是表而是表达它的变化状态的达它的变化状态的.“无限制变小的量无限制变小的量”)( x或或).0)(lim( xfx或或无穷小与无穷大无穷小与无穷大52. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证,)(lim0Axfxx 设设Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 定理定理1 1Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0

5、,|00 xx当当恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x无穷小与无穷大无穷小与无穷大6),()(xAxf 设设,是常数是常数其中其中A,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当xxx Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 类似可证明类似可证明 的情形的情形. x定理定理1 1无穷小与无穷大无穷小与无穷大7例例可表为可表为函数函数时时13,2 xx 13x即即时的无穷小时的无穷小是是其中其中,263(

6、 xx. 5)13(lim2 xx故得故得 5)63( x)0)63(lim2 xx无穷小与无穷大无穷小与无穷大8在同一过程中在同一过程中, 有限有限个无穷小的代数和个无穷小的代数和证证x 设 及 是当时, 0 定理定理2 2仍是无穷小仍是无穷小. .3. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质,|1时时当当Nx ,|2时时当当Nx ,max21NNN ,|时时当当Nx | 22 , )(0 x , 01 N;2| .2| | 无穷小与无穷大无穷小与无穷大取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的两个无穷小的两个无穷小, ,20,N9无穷多个无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷小的代数和未必是无穷小. .,时

7、时如如 n11之和为之和为个个但但nn注注是无穷小，是无穷小，n1不是无穷小不是无穷小.无穷小与无穷大无穷小与无穷大10证证,),(10内有界内有界在在设函数设函数 xUu, 0, 01 M则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx , 0 定理定理3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .,|010时时使得当使得当 xx.|Mu 恒有恒有, 02 ,|020时时使得当使得当 xx.|M 恒有恒有,min21 取取| uuMM0,.xxu当时为无穷小则当则当,|00时时 xx恒有恒有无穷小与无穷大无穷小与无穷大11 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变

8、量与无穷小有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.,0,时时当当如如x都是无穷小都是无穷小.推论推论1 1的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论2 2推论推论3 3,1sinxxxx1arctan2无穷小与无穷大无穷小与无穷大12二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .如如,1x函数函数,0时时当当 x,时时当当 x,2x函数函数是无穷大是无穷大;xcot3x是无穷大是无穷大.无穷小与无穷大无穷小与无穷大13定义定义2 20 使得当使得当 |00 xx恒有恒

9、有Mxf | )(|),0( X或或),|(Xx 或或,)(0时的无穷大时的无穷大当当则称则称xxxf )(lim0 xfxx记作记作).)(lim( xfx或或),(0 不论它多么大不论它多么大 M)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正无穷大正无穷大,负无穷大负无穷大)(lim()(0 xfxxx或或 定义定义无穷小与无穷大无穷小与无穷大14(1) 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,.)(lim)2(0认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx注注(3) 无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数

10、的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大未必是某个过程的无穷大.但是无界函数但是无界函数无穷小与无穷大无穷小与无穷大15如如xxysin 是无界函数是无界函数, 但不是但不是无穷大无穷大.因为取因为取,22时时 nxxn22)22( nnf而取而取,2时时 nxxn . 0)2( nf无穷小与无穷大无穷小与无穷大)( n当当所以所以,时时 x f (x)不是不是无穷大无穷大! !16 11lim1xx证明证明11 xy1 证证, 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,10时时当当 x.11Mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfx

11、x如果如果例例|1| x解出解出)(0 xfyxx 是函数是函数则直线则直线的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).无穷小与无穷大无穷小与无穷大结论结论xyO1 17 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证 )(lim0 xfxx设设, 0 .)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ., 0 ,00时时 xx,1)( Mxf有有无穷小与无穷大无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系,1 M此时对此时对使

12、得当使得当18, 0)(lim,0 xfxx设设反之反之, 0 M.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,. 0)( xf且且, 0 010,( ),xxf xM时 有意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;定理定理4 4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大无穷小与无穷大,1M 此时对此时对使得当使得当19 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大; 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大大.容易证明容易证明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx 无穷小与无穷大无穷小与无穷大20无穷小的概念无穷小的概念;无穷小的运算无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.无穷小与无