第一章第六讲单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质_

1、新课探究：新课探究：正弦函数正弦函数 y=sin xy=sin x、余弦函数、余弦函数y=cos xy=cos x的基本性质：的基本性质：由上节学习知道：由上节学习知道：正弦函数正弦函数 y=sin xy=sin x、余弦函数、余弦函数y=cos xy=cos x定义域为全体实数定义域为全体实数R R（1 1）定义域）定义域(1,0)(1,0)OP P(cos x,sin x)(cos x,sin x)Mxy（2 2）值域、最大（小）值）值域、最大（小）值 观察下图观察下图 ，设任意角，设任意角x的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P(cos x,sin x)(cos x,sin x)

2、，当自变量当自变量x x变化时，点变化时，点P P的横坐标的横坐标是是cos xcos x，|cos x|1|cos x|1，纵坐标，纵坐标是是sin x,|sin x| 1sin x,|sin x| 1这说明，正弦函数这说明，正弦函数 、余弦函数的值域为、余弦函数的值域为-1,1-1,1x-2kkZ12当（）时，正弦函数取得最小值.x2kkZ12当（）时，正弦函数y=sin x取得最大值 ；x2kkZcos1当（）时，余弦函数y= x取得最大值 ；x(2k 1)kZ1当（）时，正弦函数取得最小值.（3 3）周期性）周期性正弦函数、余弦函数是周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，它们的周期都

3、是它们的周期都是2k(kZ,k0).2k(kZ,k0).最小正周期是最小正周期是22(4)(4)单调性单调性观察右图观察右图 ，在单位圆中，设任，在单位圆中，设任意角意角x的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P(cos x,sin x)(cos x,sin x)，因此，正弦函数在区间因此，正弦函数在区间 上是增加的，在区上是增加的，在区间间 上是减少的上是减少的.2,2 23,2 思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？呢？正正、余弦函数的性质、余弦函数的性质: : 正弦函数正弦函数(y=sin x)(y=sin x) 余弦函数余弦函数(y=

4、cos x)(y=cos x) 定义域定义域R R值域值域 _最小值最小值 当当_时，时，y yminmin= _= _当当_时，时，y yminmin= _= _-1-1，1 1x2k,kZ2-1-1x=(2k+1)x=(2k+1),k,kZ Z-1-1正弦函数正弦函数(y=sin x)(y=sin x) 余弦函数余弦函数(y=cos x)(y=cos x) 最大值最大值 当当_时时,y,ymaxmax=_=_ 当当_时，时，y ymaxmax=_=_ 周期性周期性 周期函数，最小正周期周期函数，最小正周期_ x2k,kZ2x=2kx=2k,k,kZ Z1 11 12 2正弦函数正弦函数(y

5、=sin x)(y=sin x) 余弦函数余弦函数(y=cos x)(y=cos x) 单调性单调性 在区间在区间上是增加的上是增加的, ,在区间在区间上是减少的上是减少的(k(kZ)Z) 在区间在区间2k-,2k2k-,2k上是增加的上是增加的, ,在区间在区间2k,2k+2k,2k+上是减少的上是减少的(kZ)(kZ)2k,2k2232k,2k22【即时练即时练】下下列关于正、余弦函数性质的叙述中，错误的是列关于正、余弦函数性质的叙述中，错误的是( ( ) )A A. .正、余弦函数都是周期函数，周正、余弦函数都是周期函数，周期是期是2k(kZ,k0).2k(kZ,k0).B.B.正、余弦

6、函数的值域都是正、余弦函数的值域都是-1,1-1,1. .C.C.正弦函数在第一象限内是增加的正弦函数在第一象限内是增加的D.D.正弦函数在正弦函数在 上是增加的上是增加的【解析解析】选选C.C.函数函数y=sin xy=sin x不能说在某个象限内是单调函数不能说在某个象限内是单调函数，只，只能能是在某个区间上的单调函数，如是在某个区间上的单调函数，如3030390390，而而sinsin 30 30=sin =sin 390390. .0,2题型一题型一 定义域、值域定义域、值域例例1 1(1)(1)函函数数 的定义域为的定义域为_._.(2)(2)求函数求函数y=cos x y=cos

7、x 的值域的值域( (用区间表用区间表示示).).y2sin x15(x)36(1)(1)要使要使 有意义，则必须满足有意义，则必须满足2sin x+102sin x+10，即，即sin x sin x 结合单位圆结合单位圆( (如图所示如图所示) )知知x x的取值范围是的取值范围是 xx答答案：案：2sin x112，2k672k ,kZ.672k ,2k (kZ)66(2)(2)因为因为y=cos xy=cos x在区间在区间 上是减少的上是减少的, ,所以当所以当x=0 x=0时，时，y ymaxmax=cos 0=1,=cos 0=1,当当 时，时，y yminmin= =因为因为y

8、=cos xy=cos x在区间在区间 上是增加的上是增加的, ,所以当所以当x=0 x=0时，时，y ymaxmax=cos 0=1,=cos 0=1,当当x= x= 时，时，y yminmin= =所以函数所以函数y=cos x y=cos x 的值域是的值域是50,65x653cos.62 ,0331cos(),325(x)363,1.2变变式训式训练练1 1（1 1）函函数数 的定义域为的定义域为( ( 1ycos x2A., B.k,k,kZ3 333C.2k,2k,kZ D.R33 （2 2）若）若x x是三角形的最小角，则是三角形的最小角，则y=sin xy=sin x的值域是的

9、值域是_._.（1 1）【解析解析】选选C.C.因为因为cos x- 0,cos x- 0,所以所以cos x ,cos x ,所以所以所以函数所以函数 的定义的定义域为域为12122kx2kkZ ,331ycos x22k,2k kZ ,33（2 2）【解析解析】由三角形内角和为由三角形内角和为知，知，若若x x为三角形中的最小角，则为三角形中的最小角，则画出图形如图所示画出图形如图所示. .由单位圆知由单位圆知答案：答案：0 x3,3y(0,.23(0,2题型二、利用三角函数线解不等式题型二、利用三角函数线解不等式例例2 2不不等式等式 的解集是的解集是_._.解：解：由由 得，得，结合正

10、弦函数的图像或三角函数线可知结合正弦函数的图像或三角函数线可知x x的取值范的取值范围是围是答案：答案：2sin x10 2sin x10 2sin x2，32kx2k ,kZ.44 3x |2kx2k ,kZ44 变式训练变式训练2 2 在在0 0到到22内求使内求使 成立成立x x的的取值范围是取值范围是_._.3sin x 2解：解：在在单位圆中作出单位圆中作出 的范的范围围. .由图知由图知xx答案：答案：3sin x 2450,)(,2 ).33 450,)(,2 )33 题型三、函数最值问题题型三、函数最值问题例例3 3函数函数y=asinx+1y=asinx+1的最大值为的最大值

11、为3 3，求它的最小值。，求它的最小值。答案：答案：-1-1变式训练变式训练3 3、已知函数、已知函数y=asinx+by=asinx+b的最大值为的最大值为0 0，最小值为最小值为-4-4，求，求a,ba,b的值的值解（略）解（略）题型四、单调性题型四、单调性例例4 4函函数数y=cos xy=cos x的一个增区间为的一个增区间为( ( ) )A .(,) B .(0)223C .(,) D .(2)22，解：解：( (1)1)选选D.D.因为因为y=cos xy=cos x的单调递增区间为的单调递增区间为2k-,2k2k-,2k(kZ),(kZ),所以令所以令k=1k=1得：得：,2,2即为函数即为函数y=cos xy=cos x的一的一个单调递增区间个单调递增区间, ,而而(,2)(,2),2,2, ,所以所以(,2)(,2)为函数为函数y=cos xy=cos x的一个单调递增区的一个单调递增区间间. .变式训练变式训练4 4求求函数函数y=cos3