人教B必修5应用举例第3课时三角形中的几何计算作业

1、学业分层测评（五）三角形中的几何计算（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1.已知在 ABC中，AB =43, AC=1, /B = 30°,则AABC的面积为（）【导学号：18082071】4B.i3C.旁或V3D.9或呼AC AB3【解析】由正弦定理磊 = ；AB，得sin C =岑，则/C = 60。或120。，所sin b sin c2以/A=90。或 30 .因为 Skabc = 2AB ACsin A=sin A,所以 &abc=坐或坐【答案】D2.在AABC中，/A=60°, b= 1, Saabc=<3,则角A的对边的长为（）A. 57 B.

2、 37 C. 21 D. 1311【斛析】ABc=/bcsin A=2x1XcXsin 60 =43,.c=4.由余弦止理a2=b2 + c2-2bccos 60 = 1+16-2X 1 X4X2= 13. . a=V13.【答案】D3.在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.若c2=（ab）2 + 6,兀一.一.一.一/C = a，则4ABC的面积是（）39,33,3A.3 B.-2- C.-2- D.3 3【解析】 已知 c2= （ab）2 + 6,即 c2 = a2+b22ab + 6，/ C=3, .-.c2=a2+b2-ab®,8由和得 ab=6,&a

3、mp;ABc=2absin C = 2x6X 当=22.4.在 AABC 中，AC = V7, BC = 2, /B = 60°,则 BC 边上的高等于()【导学号：18082072B. 2V3+V6 c. 2D >/3 + V39【解析】 在 ABC中，由余弦定理可知:2AB BCcos B,即 7 = AB2 + 4-2X 2X ABxg.整理得 AB22AB 3=0.AC2=解彳3AB= 一 1（舍去）或AB = 3.故 BC 边上的高 AD = AB sin B=3Xsin 60/3一2 .5.设AABC的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,若三边的长为连

4、续的三个正整数，且/ A>/B>/C,3b=20acos A, WJ sin A ： sin B ： sin C为()A.4 ： 3 ： 2B.5 ： 6 ： 7C.5 ： 4 ： 3D.6 ： 5 ： 4【解析】由题意知：a=b+1, c= b 1,b2 + c2 a2所以 3b=20acos A= 20(b+1) -2bCb2+(b1 2 (b+1= 20(b+1) -2b(b-1)，整理得 7b2 27b 40=0,解之得：b = 5（负值舍去），可知a = 6, c=4.结合正弦定理可知sin A ： sin B ： sin C= 6 ： 5 ： 4.、填空题6.在 ABC

5、中，/B=60°, AB= 1, BC = 4,则BC边上的中线 AD的长为【解析】画出三角形知 AD2=AB2+BD22AB BD cos 60=3, .AD = p.【答案】37 .有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm,其夹角a的余弦值是方程5x27x 6=0的根，则此三角形的面积是 cm2.【解析】解方程5x27x 6 = 0,得x= 2或x="|,5, |cos o|< 1 ,cos a=5'sin a= 4.5一一 142故 S-2X3X5X5 = 6(cm ).【答案】68 .已知 ABC 中，AB = y3, BC=1, sin C = 4

6、3cos C,则AABC 的面积为【解析】由 sin C = J3cos C 得 tan C=43>0,所以 / C=3根据正弦定理可得 黑=黑，即六=* 2,所以sin A=2.因为AB> TBC,所以/A</C,所以/A=6",所以B,即三角形为直角三角形，故Saabc= 2x5X 1 =兴【答案】-3三、解答题9 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且管十甲=喈.(1)证明：sin Asin B = sin C；(2)若 b2+c2 a2 = 5bc,求 tan B.【导学号：18082073】【解】(1)证明：根据正弦定理，可设一%

7、=弋=占=卜«>0).sin A sin B sin C ''则 a= ksin A, b = ksin B, c= ksin C,代入cos A cos B sin Ca-+-b中，有变形可得cos A cos B sin C ksin a+ ksin B ksin C' sin Asin B= sin Acos B + cos Asin B = sin(A+ B).在 AABC 中，由/A+/B+/C=b有 sin(A+ B) = sin(无C)=sin C,所以 sin Asin B = sin C.(2)由已知，b2 + c2 a2="

8、|bc,根据余弦定理，有5b2+c2 a2 38s A=2bc =5,所以sin A=4-cos2A=4.5由(1)知，sin Asin B = sin Acos B + cos Asin B,=4.443. sin B所以gsin B = 5cos b+5 sin B，故 tan B=应10 .四边形 ABCD 的内角 A与 C 互补，AB=1, BC=3, CD=DA=2.(1)求/ C 和 BD;(2)求四边形ABCD的面积.【解】(1)连接 BD, .一/A+/C=180°,cos A= cos C,由余弦定理得BD2=BC2+CD22BC CDcos C=1312cos C

9、,BD2 = AB2+ DA2-2AB DAcos A=5 + 4cos C.，1由，得 cos C=2,故/C = 60 , BD = 47.(2)四边形ABCD的面积c 11 -S= 2AB DAsin A+2BC CDsin C11=1X2+2X3X2 ! sin 60 =23.能力提升1.已知锐角ABC中，|AB| = 4, |AC| = 1, AABC的面积为寸3,则AB AC的值为（）A.2 B. 2 C.4 D.-41 /3【解析】由题意&ABc=2AB|AC|sin A=事,得sin A=,又八ABC为锐角三角形，八1. cos A=2,.AB AC= |AB|AC|c

10、os A= 2.【答案】A2 .在斜三角形 ABC 中，sin A=42cos B cos C,且 tan B tan C=1近，则 角A的值为()冗 冗 冗 3冗A.4 叼 C.2 D.7【解析】由题意知，sin A= J2cos B cos C = sin(B+C)= sin B cos C + cosB sin C,在等式一42cos B cos C = sin B cos C + cos B sin C 两边除以 cos B cos C得 tan B + tan C=一42,tan(B+C) =tan B + tan C _ 1 tan Btan C一一-万=tan A,所以角 A=-

11、.【答案】 A3 .在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知ABC的面积 为 3，T5, b c=2, cos A= 4，则 a 的值为.【解析】在ABC中，由cos A=-4可彳# sin A=空,"a=8, 解得b=6, c=4.1 2bcx45= 315,所以有b- c= 2,a2=b2+c2 2bcx 4 j,【答案】84 .在AABC 中，a, b, c分别为内角 A, B, C 的对边，且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.求A的大小;(2)若sin B + sin C=1,试判断 ABC的形状. 【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理，a2= b2+ c2 -2bccos A,1 bc= 2bc cos A, cos A= 一 2.-一 ，一， 2又 0< / A< tt, . . /