人教B选修1-2教案2.2.2反证法

1、反证法教学设计教学目的：搞清函数的反证法，了解反证法是间接证明的一种方法，理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.教学重点：反证法的解题思想教学难点：反证法的解题步骤 .教学过程：用反证法证明否定性命题例1 已知三个正数 a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证：ja,jb,jc不成等差数列.证明：假设 .a, b, ',C成等差数列，则 指 +而=2 而，即 a + c + 27aC =4b ,而 b2 =ac ,即 b =VaC，一 一 2一 一诟-屁=0 ,即 Ta =7c .从而a =b =c,与a,b,c不成等差数列矛盾，故 Va,VbJc不成等差数列.点评：结论中含

2、有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用 反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.二、用反证法证明唯一性问题 例2 一点A和平面« .求证：经过点 A只能有一条直线和平面 «垂直.证明：卞!据点A和平面口的位置关系，分两种情况证明 .（1）如图（1）,点A在平面口内，假设经过点 A至少有平面a的两条垂线 AB、AC,那 么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面 P ,平面P和平面口相交于经过点 A的一 条直线a.因为AB _L平面a , AC _L平面a , ac« ,所以AB -L

3、 a, AC -L a ,在平面P内经过点A 有两条直线都和直线 a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相 矛盾.（2）如图（2）,点A在平面&外，假设经过点A至少有平面«的两条垂线 AB和AC （B、C为垂足），那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面P ,平面P和平面口相交于直线BC,因为AB_L平面a, AC_L平面a, AC _L a , BCua,所以AB _ BC, AC _ BC ,.知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点在平面P内经过点A有两条直线都和 BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已A只能有平面a的一条垂线三、用反证

4、法证明“至多”或“至少”类问题 例 3 已知 p, p,q1,q2 w R ,且 P1p2 =2（q +q2），求证：方程 x2 + p1x + q1 = 0 和x2 + P2X +q2 =0中，至少有一个方程有实根证明：假设两个一元二次方程都没有实根，那么它们的判别式都小于零，即工2，八4 4 = R -4qi <0_ = P2 -4q2 <0Pi ： 4qp2 的2，, P2 + P2 <4(q1 +q2)，把 Pp2 =2(q1 +q2)代入上式,得P； + P12 -2p1p2 <0,即（p1 - p2）2 <0。这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立。故这两个方程中，至少有一个方程有实根点评；对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少” “不可能”等字样时，常用反证法 常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表:原结论词至少有,个至多价-个至少有n个至多后n个反设词一个也没有至少用两个至多后n1个至少有n +1总结归纳：课后练习