信号与系统_06能量谱和功率谱

1、6.1 引言信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。理进行更深入的研究。本章主要内容本章主要内容利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；信号的正交函数分解；信号的正交函数分解；相关函数；相关函数；能量谱和功率谱；能量谱和功率谱；相关、正交概念的应用：相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用匹配滤波器，码分复用技术。技术。线性空间线性空间 范数范数 内积内积 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等

2、式一线性空间定义：定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例例:NNR 维维实实数数空空间间NNC 维维复复数数空空间间L 连连续续时时间间信信号号空空间间l 离离散散时时间间信信号号空空间间二范数 表表示示，满满足足以以下下公公理理的的范范数数以以符符号号线线性性空空间间中中元元素素x x 。三角形不等式三角形不等式；有有量量正齐性对所有数正齐性对所有数；时时当且仅

3、当当且仅当正定性正定性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空间间的的范范数数；与与NNC.R1 阶范数定义为阶范数定义为的的空间元素空间元素与与在在为实数，为实数，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip对于对于对于对于常用范数 11 , 1max 21121121 xxx )Euclidean(2范数或欧氏距。范数或欧氏距。也称为欧氏也称为欧氏矢量的长度。矢量的长度。理意义是理意义是空间中，二阶范数的物空间中，二阶范数的物在二维或三维实数矢量在二维或三维实数矢量x中中的的范范数数和和离离散散时时间间信信号号空空间间连连续续时时间

4、间信信号号空空间间lL. 2 定定义义如如下下阶阶范范数数的的中中，元元素素连连续续时时间间信信号号空空间间ppxLx1 sup1 dx1 ptxpttxppp sup 1 xp1 pnxpnxnpp这里这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，信号，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 的的定定义义阶阶范范数数的的元元素素中中离离散散时时间间信信号号空空间间ppnxlx,2(3)(3)常用的范数常用的范数 L dx1空空间间ttx 空间空间lnxn x1 可见，一阶范数表示信号作用的强度。可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数一阶范数

5、dx dx L2222122ttxttx 即即空间空间 x x 2222122 nnnxnxl即即空间空间物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数二阶范数 sup x Ltx 空空间间 supx nxl 空空间间 ,号的幅度。号的幅度。可测得的峰值，也即信可测得的峰值，也即信表示信号表示信号闭区间上的闭区间上的物理意义：对于定义在物理意义：对于定义在 xtx三内积 21222211cosyx yxyx内积（点积）运算内积（点积）运算对应于二维矢量空间的对应于二维矢量空间的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 21222121222122

6、1121cosyyxxyxyx 直角坐标平面内两矢量相对位置关系直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作利用范数符号，将矢量长度分别写作 21222122122212yxyyxx 于是于是上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的之间相对位置的“校准校准”情况。即情况。即 标量乘积为零标量乘积为零两矢量之夹角为两矢量之夹角为,90, 0cos21 标量乘积取最大值标量乘积取最大值两矢量夹角为两矢量夹角为 ,0, 1cos21 21222211cosyx yxyx332211yxyxyx 多维多维维实线性

7、空间维实线性空间NyxiNii y, x1 维复线性空间维复线性空间NyxiNii y, x1 三维三维推广推广信号空间信号空间 dyx,连续时间信号连续时间信号ttytx yx,Z离散时间信号离散时间信号 nnynx对于对于L空间或空间或l空间，信号空间，信号x与其自身的内积运算为与其自身的内积运算为 xdxx,222连续连续 ttx xxx,222离散离散 Znnx内的两连续信号的内积内的两连续信号的内积Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式6.3 信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数

8、的正交特性复变函数的正交特性将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的 niitete0 teiH tri niiniitrteHteHtr002VVe eVVcV 2121误差矢量误差矢量 )cos(211212VVVVc 2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc 系数系数021 VV两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？0 12 c即即1V2V21V

9、c1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222eVVc 正交分解空间空间中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面平面中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：hzj yi xV 0 , hzVj yi xVe二正交函数 表示，即表示，即用用内，信号内，信号在区间在区间tftft

10、tt2121 )()(2121tfctf 误差误差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf求得求得必需使必需使最小的最小的为求使为求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 称称为为正正交交函函数数，满满足足则则，若若)(),(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系数系数三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函数原函数近似

11、函数近似函数 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函数基底函数 正正交交函函数数集集tgtgtgr21,分解原则是误差函数方均值最小 d)()(1)(21122122误差信号功率误差信号功率误差信号能量误差信号能量ettnrrrefttgctftttf 表达式表达式可得可得令令rnrcCCCC0, 0, 0, 0 222212 理解rttrttrttrrKttgtfttgttg

12、tfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应所有函数应两两正交两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是是相互独立相互独立的，互不影响，计算时先抽取的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 nccc,21此公式是个通式，适合于此公式是个通式，适合于任何正交任何正交函数集。函数集。两周期信号在两周期信号在同一周期内同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是c12=0，即：，即： 总结 0

13、d)()(21 Tttftf 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。四.复变函数的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21* 求系数求系数表示表示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的共轭的共轭为为)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 则此复变函数集为则此复变函数

14、集为正交函数集正交函数集。 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftf 满足关系满足关系内，复变函数集内，复变函数集若在区间若在区间nrtgttr, 2 , 1,21 内相互正交的条件是内相互正交的条件是两复变函数在区间两复变函数在区间21,tt6.4 6.4 完备正交函数集、完备正交函数集、帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理完备正交函数集完备正交函数集帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理定义定义1 1： 定义定义2 2： 一完备正交函数集 nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()( 为完备的正交函数集。为完备的正交函数集。，此时，此时，则，则下降

15、，若下降，若增加时，增加时，当当tgtgtgtgnnnr2122,0 不完备。不完备。数集数集于此正交函数集，原函于此正交函数集，原函必属必属，则，则有有如果存在函数如果存在函数tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 二帕塞瓦尔定理物理意义物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信号的信号的能量能量基底信号的基底信号的能量能量各信号分量的各信号分量的

16、能量能量数学本质：数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。矢量空间信号正交变换的范数不变性。能量信号与功率信号能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关与卷积的比较相关定理相关定理 6.6Rtitp)()(2 在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE 22200d)(1TTttvRE或或平均功率可表示为平均功率可表示为 222000d)(1TTttiRTP 222000d)(11TTttvRTP或或设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，v(t)为为R 上的电压上的电压 R)(ti

17、)(tv瞬时功率为瞬时功率为一能量信号和功率信号定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号式称功率信号。 E00 P P0 E定义：定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的 2220000d)(1limTTTttfTP平均功率平均功率 222000d)(limTTTttfE能量能量一般规律一般周期信号为功率信号。

18、一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如如u(t)是功率信号；是功率信号；而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ;(t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。具体表现。 物理本质物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。相关与信号能量特征有着密切联系。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftf

19、tftf 222121)()()(),(tftftftf 1相关系数12 由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定：二相关系数与相关函数由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得 21ddd222121 ttfttfttftf所以所以112 等于零等于零此时此时完全一样完全一样与与若若21221, 1, tftf 最大最大此时此时为正交函数为正交函数与与若若21221, 0, tftf ,2112运算给出了定量说明。运算给出了定量说明。利用矢量空间的的内积利用矢量空间的的内积的相关特性的相关特性与与描述了信号描述了信号从信号能量误差的角度从信号能量误差的角度相关系数相关系数tftf

20、 2相关函数f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数定义相关函数定义: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttftfd)()(21 可以证明：可以证明： )()(2112 RR

21、时时，自自相相关关函函数数为为当当)()()(21tftftf ttftfRd)()()( ttftfd)()( )()( RR的偶函数的偶函数相关函数：相关函数： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*21 ttftfRd)()()(2*121 ttftfd)()(2*1 ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 同时具有性质：同时具有性质： )()(*2112 RR)()(* RR(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 相关函数：相关函数： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221

22、d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数：自相关函数： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数: 相关函数：相关函数： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数：自相关函数： 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数: 两者的关系两者的关系 )(*)()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf与与 为

23、实偶函数，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。 )(2tf反褶与反褶与 )(1tf之卷积即得之卷积即得 )(1tf)(2tf与与 的相关函数的相关函数 )(12tR 三相关与卷积的比较 )(1tf)(2tf与与 卷积表达式：卷积表达式： d)()()(*)(2121 tfftftf)(1tf)(2tf与与 相关函数表达式：相关函数表达式： ttftftRd)()()(2112 说明 最大。最大。相关性最强相关性最强时时自相关在自相关在0,0Rt 。则则卷卷积积与与相相关关完完全全相相同同为为实实偶偶函函数数与与若若,21tftf相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个

24、步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。 四相关定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22 Ftf F则则 )()()(*2112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F则自相关函数为则自相关函数为 2)()( FR F说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。积。2.自相关函数的傅里叶变换等于

25、原信号幅度谱的平方。自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。 定理具有相同的结果。定理具有相同的结果。此时相关定理与卷积此时相关定理与卷积此时此时若是实偶函数若是实偶函数,. 32*2 FF 6.7能量谱与功率谱1.能量谱 由相关定理知由相关定理知 2)()( FR F de)(21)(j2 FR所以所以 d)(21)0(2 FR又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是 ttftfRd)()()(* ttfRd)()0(2有下列关系有下列关系 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 若若 为实数为实数,上式可写成上式可写成 )(tf ttfRd)()0(2

26、 d)(212 FffFd)(2 帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程定义定义能量谱密度（能谱）能量谱密度（能谱） 2)()( F 所以有所以有 )()( RF )()(1 FR所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 是功率有限信号是功率有限信号 )(tf 2 0 2 )()( TTtTttftf令令 )()(TT Ftf F则则 )(tf的的平均功率平均功率为：为： d)(lim21d)(1lim2T222TFttfTPTTTT 定义定义 TFST2T)(lim)( f(t)的功率密度函数的功率密度

27、函数(功率谱）功率谱） 2功率谱利用相关定理有：利用相关定理有： de)(21)(j2 FR de)(21)(j2 FR并取并取 两端乘以两端乘以 T1 T可以得到：可以得到： de )(21)(j SR de )()(j RS即即 )()()()(1 pRRS FF功率有限信号的功率谱函数与自相关函数功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。是一对傅里叶变换。 能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数信号经线性系统的自相关函数 6.8前面，从前面，从 域域频域频域时域时域s中研究了中研究了 系系统统响响应应激激励励现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率

28、谱现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。三者的关系三者的关系一能量谱和功率谱分析X jH th te tr jE jH时域时域 tethtr* 频域频域 jjjEHR re 的能量谱密度为的能量谱密度为，的能量谱密度为的能量谱密度为是能量有限信号，是能量有限信号，假定假定trtete 2ej E 2rj R e2rjSHS 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 2j H的乘积。的乘积。同样，对功率信号有同样，对功率信号有物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与

29、物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 2j H的乘积。的乘积。所以所以 e2rjH 显然显然 222jjj EHR eS je r 2j H rS二二信号经线性系统的自相关函数由由 e2rjH e2rjSHS 得得 e*rjjHH e*rjjSHHS 因为因为 jHth F j*Hth F所以所以 he*erRRththRR 其中其中 ththR *h 为系统冲激响应的自相关函数。为系统冲激响应的自相关函数。 eR hR rR 6.9一定义匹配滤波器：匹配滤波器：指滤波器的性能与信号的特性取得某种一致，使指滤波器的性能与信号的特性取得某种一致，使滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率的滤波器

30、输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率的比值最大。即当信号与噪声同时进入滤波器时，比值最大。即当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分在某一瞬间出现尖峰值，而噪声成它使信号成分在某一瞬间出现尖峰值，而噪声成分受到抑制。分受到抑制。 H j tnts tntsoo 二匹配滤波器的约束关系依据：滤波器使信号平方与噪声功率之比达到最大值。依据：滤波器使信号平方与噪声功率之比达到最大值。匹配滤波器的约束关系匹配滤波器的约束关系 mjejj kSH其冲激响应为其冲激响应为 ttksHFth m1j s(t)为输入为输入信号信号 。右移右移对垂直轴镜像并向对垂直轴镜像并向是所需信号是所需信号匹配滤波器的冲激

31、响应匹配滤波器的冲激响应Tts时时则则当当一一般般取取1,m kTt tTsth )(tsOtTT Ot)( ts (a)(b)mtTt mtO)(thTt m(e)如图如图(b)(c)(d) (e)分别示出分别示出 的三种情况，的三种情况，及及ttsts mmtT mtt)(thTt mO(c)Tt m)(thmttO(d) 说明 进行自相关运算，进行自相关运算，于对于对匹配滤波器的功能相当匹配滤波器的功能相当ts tTRtTststhtsts SSo 的波形无关的波形无关与与的能量的能量等于信号等于信号其大小其大小时刻时刻最大值出现在最大值出现在匹配滤波器输出信号的匹配滤波器输出信号的ts

32、EtsTt, 时，输出信号峰值为时，输出信号峰值为当当Ttt m dj212omoSTsts 明显抑制。明显抑制。算相对于有用信号受到算相对于有用信号受到波器所完成的互相关运波器所完成的互相关运而噪声通过滤而噪声通过滤的峰值的峰值时刻，取得自相关函数时刻，取得自相关函数在在,SStRTt tTRts SSo ttsTsd2o ESttsTs dj21d22o由于由于得得所以所以时，输出信号峰值为时，输出信号峰值为当当Ttt m dj212omoSTsts 6.11一定义码分：码分：利用一组正交码序列来区分各路信号。利用一组正交码序列来区分各路信号。码分复用：码分复用：利用自相关函数抑制互相关函

33、数的特性来选利用自相关函数抑制互相关函数的特性来选取正交信号码组中的所需信号，因此也称为正交复用。取正交信号码组中的所需信号，因此也称为正交复用。二码分复用的理论依据三码分复用的原理相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin tg1 tg2 tg1 tg2（发送端）（接收端）解调乘器之输出信号为乘器之输出信号为相应的一路解调系统相相应的一路解调系统相与与)cos(0t ttgttgtttgttg020100012sin212cos121cossincos2 信号。信号。下下附近的高频信号，只留附近的高频信号，只留低通滤波器后滤除低通滤波器后滤除tg102 相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin t