新2将军饮马问题

1、将军饮马与最短路线问题将军饮马与最短路线问题河南三门峡灵宝市实验中学河南三门峡灵宝市实验中学 王娅娅王娅娅 我们每个人都有一对隐形的翅膀，我们每个人都有一对隐形的翅膀， 只要你愿意，只要肯努力，只要不放弃，只要你愿意，只要肯努力，只要不放弃，你一定能张开翅膀在知识的天空中自由翱翔！你一定能张开翅膀在知识的天空中自由翱翔！将军饮马问题：将军饮马问题：在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：去拜访他，向他请教一个百思不得其解的

2、问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？情境导入情境导入将军饮马与最短路线问题将军饮马与最短路线问题学习目标学习目标灵活利用将军饮马数学模型解决有关最短路线问题。P两点之间线段最短两点之间线段最短. 根据：根据：BA两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路

3、线：最短路线：A -P- B.自主探究自主探究1 1自悟自得：自悟自得： 当两个点在直线异侧时，连接两点的当两个点在直线异侧时，连接两点的线段与已知直线的交点即为所求。线段与已知直线的交点即为所求。 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？路程最短？ AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧自主探究自主探究2 2 MNBA已知：直线MN和直线MN外同侧两点A、B求作：MN上一点C，使CA+CB最小。两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧BABC作法：作

4、法：（1）作点）作点B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结）连结BA，交，交MN于点于点 C； 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧方法总结：方法总结：1 1、题型：一线两定一动。、题型：一线两定一动。2 2、方法：、方法：一次轴对称。一次轴对称。3、依据：两点之间，线段最短。、依据：两点之间，线段最短。4、思想：转化，将两折化直。、思想：转化，将两折化直。 已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，上的点， 你能在你能在BCBC上确定一点上确定一点R R，使，使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？我学我

5、用 （2010甘肃）如图菱形如图菱形ABCDABCD中，中，AB=2,AB=2,BAD=60BAD=60度，点度，点P P是对角线是对角线ACAC上的一个动点，点上的一个动点，点E E是是BCBC的的中点，则中点，则PBEPBE周长的最小值周长的最小值 。PDEABC变式：利用菱形的对称性求线段和的最小值例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水， 最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？草地草地河边河边.驻地驻地AOMN一

6、点在两相交直线内部一点在两相交直线内部合作探究合作探究3 3.AA.C例例3已知如图已知如图 和和 内一点内一点 ,M O NM O NABA.MON一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部求作求作:OM上一点上一点B, ON上一点上一点C, 使使AB+BC+AC最小最小作法：作法：（1 1）作点）作点A A关于关于OMOM、 ON ON的对称点的对称点AA、A”A”（2 2）连接）连接AA和和A”A”，交，交OMOM于、交于、交 ONON于于则点、即为所求。则点、即为所求。合作交流合作交流方法总结：方法总结：1 1、题型：两线一定两动。、题型：两线一定两动。2 2、方法：、方法：两次轴对称。

7、两次轴对称。3、依据：两点之间，线段最短。、依据：两点之间，线段最短。4、思想：转化，将三折化直。、思想：转化，将三折化直。已知已知P是是ABC的边的边BC上的点，你能在上的点，你能在AB、AC上分别确定一点上分别确定一点Q和和R，使，使PQR的周长的周长最短吗？最短吗？我学我用?R?Q?O?P?B?A(2011.(2011.山西山西) )如图，如图，AOB=30AOB=30, ,角内有一点角内有一点P P，PO=10cm,PO=10cm,两边上各有一点两边上各有一点Q Q、R R（均不同于点（均不同于点O O），则），则PQRPQR的周长的最小值是。的周长的最小值是。例例4：如图，：如图，A

8、为马厩，为马厩，B为帐篷，将军某一天要为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马, , 再到河再到河边饮马，然后回到帐篷，你能帮助确定这一天边饮马，然后回到帐篷，你能帮助确定这一天的最短路线吗？的最短路线吗？两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部引导探究引导探究4 4.B. .C.DAB.AONM已知：已知： MON和和 MON内两点内两点A、B。求作：点求作：点C和点和点D,使得点使得点C在在OM上，上， 点点D在在ON上，且上，且AC+CD+BD+AB最短。最短。.点C、D即为所求。方法总结：方法总结：1 1、题型：两线两定两动。、题型：两线

9、两定两动。2 2、方法：、方法：两次轴对称。两次轴对称。3、依据：两点之间，线段最短。、依据：两点之间，线段最短。4、思想：转化，将三折化直。、思想：转化，将三折化直。 （0909湖北）如图，两条高速公路互相垂直，湖北）如图，两条高速公路互相垂直，AB=50Km,AAB=50Km,A、B B到到X X轴的距离分别为轴的距离分别为10Km10Km和和40Km40Km ， B B到到Y Y轴的距离为轴的距离为30Km30Km，请你，请你在两条公路旁各修建一服务区在两条公路旁各修建一服务区P P、Q Q，使，使P P、A A、B B、Q Q组成的四组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。边形的周长

10、最小，并求出这个最小值。BA0中招在线，勇攀高峰中招在线，勇攀高峰类型类型2: 确定下列函数的自变量取值确定下列函数的自变量取值范围范围: 请谈谈今天的收获请谈谈今天的收获!这节课上，我感受最深是这节课上，我感受最深是这节课上，我感到最困难的是这节课上，我感到最困难的是这节课上，我学会了这节课上，我学会了 求最短路线问题求最短路线问题- 通过做通过做对称点对称点把把A A，B B在直线在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线，化折线为直线，利用利用“两点之间线两点之间线段最短段最短”加以解决。加以解决。 两折化直，一次轴对称两折化直，一次轴对称 三折化直，两次轴对称三折化直，两次轴对称颗粒归仓 达标测评达标测评1.如图，正方形如图，正方形OABC边长为边长为6，点，点A、C分别在分别在X轴、轴、Y轴的正半轴上，点轴的正半轴上，点D（2,0）在在OA上上,点点P是是