重积分的换元法

1、编辑ppt2 一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角平面上式可看成是从极坐标xoyro换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMxoyrMro 编辑ppt3.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyv

2、uxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理编辑ppt4:(1) ( , ),.JacobiJ u vD说明如果行列式只在内个别点上或一条曲线上为零 而在其他点上不为零则上述换元公式仍成立(2) ,( , ),( , ).Df x yDf x y换元形式的选择 可根据积分区域 或被积函数选择 使换元后的积分区域不分块 换元后的被积函数易于积出

3、编辑ppt522 ,12,4.Dx y dxdyDxyxyyxyx例1 计算二重积分其中 是由双曲线和直线和所围成的第一象限内的区域 ,yDuxy vxDD解 根据积分区域 的特点，令则区域 变换为如图所示xy=2xy=1oxy4ouv121编辑ppt6而而,:,uxTvyuv3112( , )12( , ),( , )21122uvx yuvJ u vu vvvuuv故22212DDx y dxdyududvv2241117ln223ududvv编辑ppt7例例2 2解解所所围围成成的的闭闭区区域域线线轴轴和和直直轴轴、由由其其中中计计算算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu

4、令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v0;0;22.xuvyuvxyv 即编辑ppt8),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee被积函数形式化简通过换元可将较复杂的说明:编辑ppt9例例3 3解解所所围围成成的的闭闭区区域域椭椭圆圆为为其其中中计计算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其其中中 ,sin,cosbryarx作作广广义义极极坐坐标标变变换换,20,10),( rrDD在这变换

5、下在这变换下编辑ppt10.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 编辑ppt11 二、三重积分的换元法二、三重积分的换元法，且满足空间的闭区域变为空间的闭区域将连续，变换上空间区域在设定理OxyzouvwwvuzzwvuyywvuxxTzyxf),(),(),(:),(; 0),(),(),()2(),(),(),() 1 (wvuzyxwvuJwvuzwvuywvux上雅可比式在连续偏导数；上具有一阶在编辑ppt12dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxf

6、dxdydzzyxf),(),(),(),(),(是一对一的，则有变换:) 3(T编辑ppt13例例12 ()cos(), ( , , )|01,01,01.Ixyzxyzdvx y zxyxzxyz计算其中= 解: 为了使积分区域 变得简单，我们作坐标变换：, , ,xyuxzvxyz于是11(),( 2),331(2)3xuvyuvzuv 编辑ppt14111333( , , )2111( , , )( , ,)3333121333x y zJ x y zu v 22( , , )cos( )( , ,)1 cos( )3x y zIdudvdu vdudvd于是编辑ppt15111200

7、011cos( )sin1.36Idudvd, ,( , ,)|01,01,01u vu vuv 再用表示 ,得因此编辑ppt16例例2222222222222 , 1.xyzdvabcxyzabc求其中 为椭球体sincossinsincosxaybzc解解把分式看作一个整体把分式看作一个整体,那么积分区域就可以那么积分区域就可以看成一个球面看成一个球面,因此我们做如下的坐标变换因此我们做如下的坐标变换sincossinsincosxaybzc即即编辑ppt17于是于是( , , )( , , )( , , )sincoscoscossinsinsinsincossinsincoscossi

8、n0 x y zJ x y zaaabbbcc 2sinabc因此因此编辑ppt184214000sinsin45Iabcd d dabcdddabc 该题所用到的变换称为广义球坐标变换该题所用到的变换称为广义球坐标变换.编辑ppt19 二、小结二、小结的形式同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域作什么变换主要取决),(),(,1zyxfyxfD 基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 编辑ppt20 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题思考题编辑pp

9、t21令令 yvyxu, vyvux雅雅可可比比行行列列式式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为思考题解答思考题解答oxy1 yxDouvvu D 编辑ppt22 deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v编辑ppt23一、一、 作适当的变换作适当的变换, ,计算下列二重积分计算下列二重积分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由两条双曲线是由两条双曲线1 xy和和2 xy, ,直线直线xy 和和xy4 所围成的在第象限所围成的在第象限的闭区域的闭区域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是椭圆区域是椭圆区域: : 1422 yx. .二、二、 设设D是由曲线是由曲线333,4,yxxyxy , ,34yx 所围所围成的第象限部分的闭区域成的第象限部分