切比雪夫不等式及大数定律

1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA 第五章 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定律二、大数定律第第 一一 节节与大数定律与大数定律(13)(13)NORTH UNIVERSITY OF CHINA如何从理论上说明这一现象？如何从理论上说明这一现象？Annfn 这样作的理论依据是什么？这样作的理论依据是什么？ 问题问题 1频率稳定性的问题频率稳定性的问题事件事件 A 发生的频率发生的频率在相同条件下进行在相同条件下进行 n 次重复试验，次重复试验，总是在总是在 0,1 上的一个确定的常数上的一个确定的常数 p 附近摆动，附近摆动，并且随着并

2、且随着试验次数试验次数 n 的增大，的增大， 越来越稳定地趋于越来越稳定地趋于 p 。问题问题 2在精密测量时要反复测量然后再取平均值？在精密测量时要反复测量然后再取平均值？引言引言:NORTH UNIVERSITY OF CHINA问题问题1 就能得以解决就能得以解决. （1）对于问题对于问题1，要说明要说明频率频率nf趋于常数趋于常数 p ， 自然会想到自然会想到极限概念极限概念. 如果能证明如果能证明limnnfp 即对任意的即对任意的nfp 存在正整数存在正整数N，对于，对于,nN 有有0, nf 是是随随机机变变量量，由于由于也也不不可可能能保保证证 ,nN 切切的的一一对对有有nf

3、p 成成立立。,其随机性使不论其随机性使不论 N 取多大的值取多大的值,请看下面的图示请看下面的图示:NORTH UNIVERSITY OF CHINApppNnnfNORTH UNIVERSITY OF CHINAlim|0nnPfp （3）lim|1nnP fp|1nPfp （2）|0nP fp因此，只能求其次，去求证下面两式成立：因此，只能求其次，去求证下面两式成立： 为此为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式先来证明概率论中一个重要的不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式. 或或 或或NORTH UNIVERSITY OF CHINA一一 .切比雪夫不等式切比雪夫不等式X()E X

4、221PX ( )f x2()D X 22PX （4）（5）即有即有0,定理定理1（切比雪夫定理）（切比雪夫定理）设随机变量的数学期望的数学期望方差方差存在，则对任意的存在，则对任意的有：有：证证: 仅就连续型随机变量的仅就连续型随机变量的情形进行证明情形进行证明.设设 X 的概率密度函数为的概率密度函数为则有则有()fx PX NORTH UNIVERSITY OF CHINA2()10,D x 证毕证毕.方差为方差为由切比雪夫不等式有由切比雪夫不等式有:解解:试估计试估计 X 落在落在( 80 , 120 )内的概率内的概率.例例1 ()100,E X |()xfx dx 22|()()x

5、xfx dx 221()()xf x dx 22. 已知随机变量已知随机变量 X 的数学期望为的数学期望为80120PX 80100100120100PX 2010020PX |100 |20PX 21010.97520 PX NORTH UNIVERSITY OF CHINA例例2 2 在每次试验中事件在每次试验中事件A A发生的概率为发生的概率为0.5 .0.5 .试用切比试用切比2()(1)10000.5 (10.5)250.D XnPP (1000,0.5),XB解解：()10000.5500E XnP 450550450500500550500PXPX 5050050PX 雪夫不等式

6、估计在雪夫不等式估计在10001000次独立的试验中次独立的试验中, ,事件事件A A发生的发生的的次数在的次数在450450至至550550次之间的概率次之间的概率. .设设X X表示事件表示事件A A在在10001000次独立试验中发生的次次独立试验中发生的次数数, ,则则：由切比雪夫不等式有由切比雪夫不等式有：225010.950|500| 50Px NORTH UNIVERSITY OF CHINA二二 . 大数定律大数定律定理定理2BernoulliAnYn设设是是 重重试试验验中中事事件件 发发生生的的次次数数，pA是是事事件件 在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率，0 则

7、则对对任任意意的的有有lim0nnYPpn 用事件发生的频率的来近似地估计它的概率用事件发生的频率的来近似地估计它的概率. 贝努里大数定律说明，贝努里大数定律说明， 在相同条件下独立地重复在相同条件下独立地重复做做 n 次次当当 n 较大时，较大时， 事件事件 A 发生的频率发生的频率Annfn 与在每与在每的概率可任意地小（接近于的概率可任意地小（接近于0）.因此，在实践中可以通因此，在实践中可以通试验，试验，次试验中发生的概率次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数之差的绝对值大于任意指定正数过反复试验，过反复试验，贝努里大数定律贝努里大数定律NORTH UNIVERSITY

8、OF CHINAnYPpn 所以由切比雪夫不等式，所以由切比雪夫不等式，证证:有下式成立有下式成立两边取极限，得两边取极限，得( , ),nYB n p ,nE Ynp()(1),nD Ynpp ,nYEpn (1),nYppDnn 对任意的对任意的0 lim0nnYPpn n 让让从从而而21nYDn 0 21(1)ppn NORTH UNIVERSITY OF CHINA切比雪夫大数定理切比雪夫大数定理定理定理3 3：设设相相互互独独立立的的随随机机变变量量(),1,2,iD XC i12,nXXX分分别别具具有有有有限限的的数数学学期期望望及及方方差差12(),(),(),nD XD X

9、D X，12(),(),(),nE XE XE X，C若若存存在在常常数数 使使 则则对对任任意意 0 0， 1111lim0nniiniiPXE Xnn 有有证证：1111()()nniiiiEXE Xnn 22111111()()nnniiiiiDXD XCnnn .Cn NORTH UNIVERSITY OF CHINA由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 ，对任意，对任意有有：1111lim|()| 00nniiniiPXE Xnn 0, 22111().niiCDXnn 11110|()|nniiiiPXE Xnn 从而从而：证毕证毕 . .推论推论：设设相相互互独独立立的的随随机机变变量量12,nXXX服服从从相相同同的的分分布布，且且2(),(),1,2,iiE XD Xi 则则对对任任意意 0 0，有有11lim0niniPXn NORTH UNIVERSITY OF CHINA推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数的概率可任意地小的概率可任意地小. .这一理论正好回答了问题这一理论正好回答了问题2.2.即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重