导数概念课件

1、第一节第一节 导数的概念导数的概念一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数三、由定义求导数四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系六、小结思考题六、小结思考题一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt T0 xxoxy)(x

2、fy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数

3、数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即000( )(),xxxxdydf xfxdxdx或.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的

4、每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：0,.x导数是因变量在点处的变化率它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf ,( )( ).( ),( ),.xIf xf xdydf xy f xdxdx对于任一都对应着的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做原来函数的导函数记作或2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxf

5、xfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf 三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步

6、骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nx

7、yn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxh

8、ah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程

9、为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy 00001()()0).()yyxxfxfx 若例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导

10、函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 注意注意: 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.例例8 8.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在

11、和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题 函数函数)(xf在某点在

12、某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系？有什么区别与联系？思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数

13、值处的函数值一一、 填填空空题题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处处可可导导，即即)(0 xf 存存在在，则则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物体体的的运运动动规规律律为为2ts ( (米米) )，则则该该物物体体在在 2 t秒秒时时的的速速度度为为_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它它们们的的导导数数分分别别为为dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .练练习习题题一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ；