数理方程课后习题（课堂PPT）

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2 第1题设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。 lxccxxlclhxchxulxtxuttlututlxxuatu0,)0 ,(0, 0)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲 0)(, 0)0(0,

2、0lXXlxXX0BAxxX)(0 BA0)(xX02xBxAxXsincos)( )sin0X lBl, 3 , 2 , 1,/nlnn22/lnnnxlnBxXnnsin)(0)0( AX0 X02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲, 3 , 2 , 1,/2nlnnxlnBxXnnsin)(02 TaT02222 nnTlanTtlanDtlanCTnnnsincosnnnTXu 1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC)sincos(sintlanDtlanCxlnBnnnxlntlanDtlanCnnsin)sincos(

3、1nnuu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD1sin)0 ,(nnxlnCxulnxxlnxulC0dsin)0 ,(2222)(2nclchl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第2题： 求下列定解问题 1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu22222,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)(),0( ,0)0uuaxl ttxutu l ttu xx lxxltu x02

4、( ,0)sind0lnnCu xx xll0sin)0,(1nnxlnlanDtxu003442( ,0)2sind()sind41 ( 1) llnnu xnnDx xx lxx xn atln allna 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲222,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)(),0uuaxl ttxutu l ttu xx lxxl)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX

5、令带入方程：令习题二第5题求下列定解问题（热传导方程）解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲02TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 22222222sinsina na nttllnnnnnA B exC exllxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn 0)(, 0)0(00lXXlxXX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲11sin2222ntlnannnxlneCuu1( ,0)sinnnnu xCxl0023322( ,0)sind()sind41 ( 1)

6、llnnnnCu xx xx lxx xllllln 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 0),(, 0), 0(,)0 ,(xtluxtuxxulxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(), 0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(lXX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习

7、题选讲章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222 0)(, 0)0(00lXXlxXX00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22200BX xlnBXnncos, 3 , 2 , 1,2nlnn02TaT000T000AtBT0A002222nn

8、TlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22210cos2222ntlnanxlneCCu10cos)0 ,(nnxlnCCxxulnxxlnxlC0dcos20nlxxlC00d12llxlnxnll0sind21122212cos12422222ntlanxlnenl

9、lullxxlnnxlnxn00dsin2|sin2lxlnnl022|cos21) 1(222nnl为奇数为偶数nnln,4, 022数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第7题： 求下列定解问题 4,043( ),4443,.4hlxxllxhxlhxllxll其中lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第8题： 试解出具有放射衰变的热传导方程 2220,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0),0 x

10、uuaAexl txtutu l ttu xTxl非齐次方程齐次边界条件问题方法一：将这个问题分解为两个定解问题 2220,0,0( )(0, )0, ( , )0,0( ,0)0,0 xVVaAexl txtIVtV l ttV xxl( , )u x tVW数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲2220,0,0()(0, )0,( , )0,0( ,0),0WWaxl txtIIWtW l ttW xTxl对于（II）用分离变量法可得 222 21sinnta lnnnWC exl代入初始条件可得 1sinnnnTCxl由此可得 022sind1 ( 1

11、) lnnnTCTx xlln 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲对于（I）可用固有函数法 - x1AesinnnnAxl令- x222 20221 ( 1)esindnllnnAneAx xllnl 其中A1V( , )( )sinnnnx tC txl再令代入（I）中的方程及初始条件可得 2222222 221 ( 1)( )( )(0)0nlnnnnAnea C tC tlnlC 222 22222 221 ( 1)( )(1)()nnltlnAleC tennl 由此可得数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲方

12、法二 ：可设( , )( , )( )u x tv x tw x选取w（x）使得：代入原问题得222( )0,0,0(0, )(0)0, ( , )( )0,0( ,0)( ),0 xvvw xaAexl txtvtwv l tw ltv xw xTxl( )0,(0)( )0 xw xAeww l由此可得：222( )(1),lxAAAw xexel然后用分离变量解2220,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)( ),0vvaxl txtvtv l ttv xTw xxl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第9题： 求解下列定解问题 2

13、22,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)0,0uuaAxl ttxutu l ttu xxl非齐次方程齐次边界条件问题 方法一：固有函数法 sinnxl按展开方法二 ：可设( , )( , )( )u x tv x tw x数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第10题： 求满足下列定解条件的一维热传导方程的解 (0, )10, ( , )5,( ,0)utu l tu xkx齐次方程非齐次边界条件问题 可设( , )( , )( )u x tv x tw x代入方程选取w（x）使得：( )0,(0)10,( )5w xww l由此可得：

14、5( )10,w xxl然后用分离变量解222,0,0(0, )0, ( , )0,05( ,0)()10,0vvaxl ttxvtv l ttv xkxxll2222( )vvaa wxtx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲22221sina ntlnnnvv exl0252 ( 1) (5) 10()10sindnlnnklkxx xllln其中v( , )( , )( )u x tv x tw x原问题得解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第11题： 试确定下列定解问题： 222( ),0,0(0,

15、), ( , ),0( ,0)( ),0uuaf xxl ttxutA u l tBtu xg xxl方程和边界条件都是非齐次的，但却与t无关可设( , )( , )( )u x tv x tw x选取w（x）使得：2( )( )0,(0), ( )a w xf xwA w lB由此可得：2001( )( ),xtw xdtfdCxAa 其中20011( ),ltCBAdtfdla 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲然后用分离变量解222,0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)( )( ),0vvaxl ttxvtv l ttv xg xw x

16、xl22221( , )sina ntlnnnv x tv exl02 ( )( )sindlnng xw xx xll其中v( , )( , )( )u x tv x tw x原问题得解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第12题： 求下列定解问题： 22122212210,0,0(0, )( , )0,0( ,0)0, ( , )( ),0uuxlylxyuyu l yylu xu x lxxlXYu 110,0(0)( )0XXxlXX l0 YY221,1,2,3,nnnnl1sinnnnXAxl22210nnnYYl11nnyyllnnn

17、YC eD e数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲11111sinnnyyllnnnnnnuuC eD exl11( ,0)sin0nnnnu xCDxl2211211( , )( )sinn ln lllnnnnu x lxC eD exl0nnCD221110112( )sindn ln llllnnnC eD exx xll122110112( )sind()lnn ln lllnCxx xll ee数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第13题： 求下列定解问题（Laplace方程在极坐标系下） 22211

18、0,0,0( , )(),02( ,0)( , )0| (0, )|0uuau aTuuau 分离变量令 ( , )( ) ( )uR 0,0(0)( ) 20(|(0)|)RRRR 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲00,0(0)( ) 00BAA 02sincosBAcossin2AABn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第14题： 求下列定解问题（Laplace方程在极坐标系下） 2122212110,02( , )0, ( , )1,02( , )( ,2 )uurru ru ruu ( , )( )

19、 ( )uR 分离变量令 0,02( )(0)(2 )I 21210,()( )0RRRrrIIR r数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲对于（I） 000A, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos对于（II） 000( )lnRCD( )nnnnnRCD由 1( )0R r 可得 001ln0CDr110nnnnC rD r数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲习题2第15题： 求下列定解问题2222212( ),0,0(0, ), ( , ),0( ,0)( ),( ,0)( )0uuaf xx

20、l ttxutM u l tMtuu xxxxxlt非齐次方程非齐次边界条件（都与t无关）可设( , )( , )( )u x tv x tw x选取w（x）使得：212( )( )0,(0), ( )a w xf xwM w lM可得w（x），再用分离变量法求解v（x,t）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲0),(),(, 0),()0 ,(,0, 02fauauuau习题2第17题： 在扇形区域内求下列定解问题 ), 0(u)()(),(u0112 0112 21102 0 0)()0( 0)()0(0, 00)()()()0(数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲0),(),(, 0),()0 ,(,0, 02fauauuau 0)()0(0, 000 AB002sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnnsin0)0(A0sin)(B数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章习题选讲章习题选讲0),(),(, 0),()0 ,(,0, 02fauauuau, 3 , 2 , 1,2n