《欧拉方程》优质课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第十一节第十一节 欧拉方程欧拉方程 一、欧拉方程一、欧拉方程 二、小结二、小结上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.一、欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同上页上页下页下页返回返回上页上页下

2、页下页返回返回作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果可以写为上述结果可以写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.)1()1()(ykDDDyx

3、kk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所对应的齐次方程为所对应

4、的齐次方程为, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 rrr所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为tteCeCCY3321 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式xtextln 或或上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练练 习习 题题.ln433;ln2ln222; 0122222xxxyyxyxxxyyxyxyyxyx ：求下列欧拉方程的通解求下列欧拉方程的通解上页上页下页下页返回返回上页上页下页