高等数学(下)教案曲面及其方程

1、 教 案课程名称高等数学学 时2序 号授课班级日 期任课教师课 题8.3 曲面及其方程教 学目 标能力目标：1. 能根据方程的特点判断旋转曲面、柱面。2. 能根据二次曲面的方程判断曲面的名称与形状3. 利用截痕法分析曲面的形状应用性知识目标：1. 应用截痕法分析曲面的形状2. 柱面方程与旋转曲面方程的应用 训 练项 目（任 务）1. 建立曲面方程2. 分析已知方程的曲面形状与特征第 一 页（共 4页） 2 / 6教 案教 学过 程导入新课 日常生活中，我们常遇到各种曲面，那么如何表示曲面？对于曲面如何考查它所具有的特征呢？一、 曲面方程的概念曲面S和三元方程F(x,y,z)=0满足：（1）曲面

2、S上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形引导学习训练任务：1. 建立以为球心，R为半径的球面方程。2. 分析方程表示的曲面的形状学生训练任务：建立已知线段的垂直平分面的方程二、柱面 动直线l沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线l称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。引导学习任务：建立以xoy面上的曲线C；f(x,y)=0为准线，母线平行于z轴的柱面方程。设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N一定

3、在准线C上。点N的坐标为（x,y,0）;不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为 f(x,y)=0结论：在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示以xoy面上的曲线；为准线，母线平行于z轴的柱面教学过程学生训练任务：建立以yox面上的曲线C；h(y,z)=0为准线，母线平行于y轴的柱面方程。三、旋转曲面平面曲线C绕同一平面上定直线l旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面。定直线称为旋转轴。引导学习任务：建立yoz面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程设

4、M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M做平面垂直于Z轴，交z轴于点P(0,0,z),交曲线C于点由于点M可以由点绕z轴旋转得到，因此有因为所以又因为在曲线C上，所以,代入上式，即得旋转曲面方程结论：求平面曲线f(y,z)=0绕z轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=0中的y换成而z保持不变，即得旋转曲面方程。同理，曲线f(y,z)=0绕y轴旋转的旋转曲面方程为三、几种常见的二次曲面1. 椭圆锥面 引导训练任务： 用平行于z轴的平面去截，分析其形状变化2. 椭球面 3. 单叶双曲面方程为 4. 双叶双曲面方程为 5. 椭圆抛物面 6. 双曲抛物面 学生训练任务：利用截痕法分析以上曲面的基本形状，简单地描出图形。教 学过 程板书设计：一 曲面与方程 1. 曲面S上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；2.不在曲面S上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；二 柱面 1.平行于x轴的柱面方程2. 平行于x轴的柱面方程3. 平行于x轴的柱面方程三 旋转曲面1. 绕x轴旋转的旋转曲面2. 绕y轴旋转的旋转曲面3. 绕z轴旋转的旋转曲面四 二次曲面作业：P