广义积分与Г函数课件

1、第1页q6.6-广义积分与-函数第2页 adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .q一、无穷限的广义积分第3页 bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .第4页 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散. .第5页例例1 1

2、计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第6页例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 第7页例例 3 3 证明广义积分证明广义积分 11dxxp当当1 p时收敛，时收敛，当当1 p时发散时发散.证证, 1)1( p 11dxxp

3、11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.第8页例例 4 4 证明广义积分证明广义积分 apxdxe当当0 p时收敛，时收敛，当当0 p时发散时发散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.第9页q广义积分的简单性质( )af x dx( )cf x dx与与敛散性相同敛散性相同( )( )( )caacf x d

4、xf x dxf x dxac定积分定积分(常义积分常义积分)第10页( )af x dx( )ag x dx与与都存在，则都存在，则( )( )( )( )aaaf xg xdxf x dxg x dx存在存在线性性质线性性质第11页q其它性质也有类似的换元法，分部积分法，也有类似的换元法，分部积分法，递推公式，等等递推公式，等等可以从定积分性质与广义积分的可以从定积分性质与广义积分的定义推出定义推出第12页00( )lim( )lim( )bbbaauqf x dxf x dxf x dx q二、无界函数的广义积分第13页第14页 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( ca

5、dxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0第15页 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(211200lim( )lim( )cbacf x dxf x dx 第16页例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 第17页证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此当当1 q时时广广

6、义义积积分分收收敛敛，其其值值为为q 11；当当1 q时时广广义义积积分分发发散散. 101dxxq例例9 第18页例例1010 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.第19页例例1111 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx22331301(1)(1)dxdxxx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 第20页q瑕积分的性质与无穷区间上的广义积分类似与无穷区间上的广义积分类似第21页q 三、 Gamma函数)0()(:01 dxexx记作记作称为称为 (Gamma) 函数。函数。dxexx 01 当当 0时，欧拉第二积分