灵活应用直角三角形解高考题

1、灵活应用直角三角形解高考题2013年浙江高考理科解答题中虽然没有出现三角单独成题，但从整份试卷中看出，今年浙江理科试题对三角知 识的考查以分散的方式渗透在各题中，对解三角形的要求 不仅没有降低，反而有所加强，尤其是运用解直角三角形的 方法处理数学问题更受关注.第 6 题 已知 a sin a +2cos a =102,则 tan2 a =()a. 43 b. 34 c.-34 d. -43图1解若a为锐角，如图1,作直角三角形abd,zabd=90° , ab=2, bd 二 1,再作 zbae 二 a, 过 b 作 bc 丄 ae, 垂足为c,过d作de丄ac,垂足为e,过d作df

2、丄bc,垂 足为 f,则 zdbf二 a , ae二ac+ce二ac+df二sin a +2cos a -102. 在直角三角形ade中，因为ad=5,所以zead=45° ,即 a =45° +d)( tan ©二 12),2 a =90° +2©,tan2 a 二ttan2 <t> 二一34.选 c.评析 此题虽然是三角函数问题，但三角函数与直角三 角形有紧密联系，再加上本题所给出的等式中，各项的系数 与常数项之间存在着特殊的关系，即“勾股数”关系.因此, 本题通过构造直角三角形来处理更富有数学味.第9题fl, f2是椭圆cl：

3、 x24+y2二1与双曲线c2的公 共焦点，a, b分别是cl, c2在第二、四象限的公共点，若 四边形af1bf2为矩形，则c2的离心率是（）a. 2 b. 3 c. 32 d. 62解由条件知三角形af1f2是直角三角形，由勾股定理 得|af1|2+|af2|2=12.又因为 af1, af2 分别是 cl, c2 ±的 点到两焦点的距离，设c2的半实轴长为m,由椭圆和双曲线 的定义得|af1|+|af2|=4,|af2|-|afl|=2m.解方程组得 m二2,故 e二62.评析此题结合圆锥曲线的定义，利用方程思想，将解 析几何问题转化为解直角三角形问题.第16题zkabc中，z

4、c二90。，m为cb的中点， sinzbma=13,则 sinzbac=解法1如图2,过m作md丄ab,垂足为d,设cm二mb二1, md=x,则 am二3x, bd=l-x2, ac二9x2-1.又因为 aabc 和bmd 相似，所以 9x2-11=21-x2,解得 x二33,则 ac二2, bc=6,故 sinzbac 二 63.解法 2 设 zbac= 0 , cm=mb=1,则 ac=2cot 0 .再由 sinzbam=13 , 得 am=3cos 0 , 9cos2 0 =4cot2 0 +1 , 9sin4 0-12sin2 9+4=0, sin2 8 二23, sin 9-63

5、.解法 3 由 sinzbam=13 得 tanzbam=122.设 cm二mb二 1, ac=a,则tanzbam=tanzbac-tanzcaml+tanzbactanzcam=aa2+2= 122.解得 a二2.故 sinzbac=63.评析 方法1、法2通过作md丄ab，将解斜三角形问题转化为直角三角形中问题，方法3在现成的两个直角形中建 立等式方法1、方法3分别以一条边为未知数，方法2直接 设所求的zbac= 0为未知数.这3种方法都是通过解直角三角形方法，建立一个含有未知数的等式，虽然属于基本方 法，但需要学生具有灵活运用直角三角形有关知识的能力.此题若通过余弦定理或正弦定理进行处理,其运算过程就显得较繁琐.第17题el, e2是单位向量，非零向量b=xe