信道建模与仿真

1、187第七章第七章 标量信道建模及其仿真标量信道建模及其仿真.1877.1 平坦衰落信道建模.1887.1.1 平坦衰落信道理论模型.1887.1.1.1 Clarke 信道模型 .1887.1.1.2 Suzuki 信道模型 .1897.1.2 多普勒功率谱.1917.1.2.1 经典功率谱.1927.1.2.2 高斯功率谱.1947.1.2.3 平均多普勒频移和多普勒扩展.1957.2 平坦衰落信道仿真13.1967.2.1 正弦波叠加法.1977.2.1.1 等距离法（MED）8.2037.2.1.2 等面积法（MEA）8.2057.2.1.3 Monte Carlo 法（MCM）8.2

2、097.2.1.4 最小均方误差法（MSEM）8.2127.2.1.5 精确多普勒扩展法（MEDS）14.2147.2.1.6 多普勒相位的计算方法.2177.2.1.7 Jakes 仿真器(JM)1.2187.2.1.8 仿真方法的性能分析.2337.2.2 成形滤波器法.2367.3 频率选择性衰落信道建模13.2387.4 频率选择性衰落信道仿真.242参考文献.244第七章 标量信道建模及其仿真前面的章节从总体上介绍了信道的基本知识和基本特性，包括大尺度传播、小尺度衰落等等。无疑，了解这些信道特性对我们要在频谱资源有限的信道上，尽可能高质量、大容量传输有用信息起着指导性的作用：讨论大尺

3、度传播不仅对分析信道的可用性、选择载波频率以及切换有重要意义，而且对于移动无线网络的规划也很重要；而讨论小尺度衰落则对传输技术的选择和数字接收机的设计至关重要。因此，信道建模和仿真是研究移动无线通信各种技术和网络规划的基础和关键。建模的评估标准是在不同的环境下所建立的模型与真实无线信道的吻合程度；而仿真的评估标准则在于运算量的复杂度。因此，研究人员需要根据实际情况的不同来进行建模和仿真。下面的章节将重点讲述信道的建模和仿真，本章先介绍标量信道的建模和仿真。 在 6.4 节中已经介绍了小尺度衰落信道的分类：根据信道的频率选择性，可以把信道分为平坦衰落信道和频率选择性衰落信道；根据信道的空间选择性

4、，可以把信道分为标量信道和矢量信道。因此，本章在介绍不考虑空间角度信息的标量信道建模和仿真时，将分别讨论平坦衰落信道和频率选择性衰落信道。事实上，平坦衰落信道只有一个可分辨径（包括了多个不可分辨径） ，而频率选择性衰落信道是由多个可分辨径组合而成（其中每一个可分辨径就是一个平坦衰落信道） ，这也就是说，频率选择性衰落信道的建模比平坦衰落信道的建模更复杂，它是由多个具有不同时延的平坦衰落信道组合而成。因此，平坦衰落信道建模是标量信道建模的基础，我们将在第七章的前半部分重点讲述；在此基础上，第七章的后半部分将介绍频率选择性衰落信道的建模和建模。移动传播环境1887.1 平坦衰落信道建模本节将讲述平

5、坦衰落信道建模的两个模型Clarke 信道模型和 Suzuki 信道模型，和与信道建模密切相关的多普勒功率谱。7.1.1 平坦衰落信道理论模型以下介绍两种描述平坦衰落信道的模型：Clarke 信道模型和 Suzuki 信道模型，其中前者用于描述小尺度衰落，后者综合考虑大尺度衰落和小尺度衰落。7.1.1.1 Clarke 信道模型Clarke11 提出了一种用于描述平坦小尺度衰落的统计模型，即瑞利衰落信道。其移动台接收信号场强的统计特性是基于散射的，这正好与市区环境中无直视通路的特点相吻合，因此广泛应用于市区环境的仿真中。基站和移动台之间传播环境主要特征是多径传播，即并不仅仅来自一条直射路径，而

6、更包括由于建筑物、树木及起伏的地形引起反射、散射及绕射后的信号，由于电波通过各个路径的距离不同，因而各路径来的反射波到达时间不同，相位也就不同。不同相位的多个信号在接收端迭加，有时同相迭加而加强，有时反相迭加而减弱。这样，接收信号的幅度将急剧变化，即产生了衰落。对于典型的市区环境(图 6-2-7 中的 RX2)，具有以下特点：发射天线放置在建筑物顶端，在接收天线的远场区空间上只存在很少的可分离的远端散射体，且每个主反射体一般只有一个主要路径；在发送端和接收端的附近存在大量的散射体（称为本地散射体） ，由于它们产生的多径信号相对时延很小，所以可以认为任何平面波都没有附加时延，又由于不存在直射路径

7、，只存在散射路径，使得到达波都经历了相似的衰落，具有几乎相等的幅度，只是具有不同的频移和入射角。如图 7-1-1，由于移动台的移动，使得每个到达波都经历了多普勒频移。假设发射天线是垂直极化的，入射到移动天线的电磁场由 N 个平面波组成。对于第 n 个以角度到达 x 轴的入射波，多普勒频移为：nnnvfcos(7-1-1)其中的为入射波波长。到达移动台的垂直极化平面波存在电场 E 和磁场 H 的场强分量分别为：NnncnztfCEE10)2cos(7-1-2)NnncnnxtfCEH10)2cos(sin(7-1-3)NnncnnytfCEH10)2cos(cos(7-1-4)这里的是本地平均场

8、（假设为恒定值）的实数幅度，表示不同电波幅度的实数随机变量，0EEnC是自由空间的固有阻抗，是载波频率，第个到达分量的随机相位为： )377(cfnnnnntf2(7-1-5)第七章 标量信道建模及其仿真189xyz在x-y平面图6-2-3(b) 入射角到达平面示意图图 7-1-1 入射角到达平面示意图对场强进行归一化后，即NnnC121(7-1-6)由于多普勒频移与载波相比很小，因而三种场分量可以用窄带随机过程表示。若 N 足够大，三个分量可以近似为高斯随机变量。假设相位角在间隔内有均匀的概率密度函数，则(7-1-2)式可yxzHHE、)2 , 0以用同相分量和正交分量表示：ttTttTEc

9、scczsin)(cos)(7-1-7)其中NnnnnctfCEtT10)2cos()(7-1-8)NnnnnstfCEtT10)2sin()(7-1-9)根据中心极限定理，都是高斯随机过程，且具有以下的统计特性：)()(tTtTsc、0)()(tTEtTEsc(7-1-10)2)()(2022EtTEtTEsc(7-1-11)0)()()(tTtTERscTTcs(7-1-12)0)()()(tTtTERcsTTss(7-1-13)即它们是互不相关的、均值为零、方差为 1 的高斯随机过程。它们的包络)()()(22tutTtTEscz(7-1-14)服从瑞利分布，uuupu0 ,e)(222

10、2(7-1-15)其中2/20E(7-1-16)7.1.1.2 Suzuki 信道模型1 Suzuki 衰落分布2用图 7-1-2 所示的统计模型来说明多径强度从局部特性到全局特性的转变。因为多次反射或折射而服从对数正态分布的主波，在移动终端所在地方因为当地物体的散射，而分裂成几条子径。每条子径假定有大概相等的幅度和随机均匀分布的相位。而且，它们到达移动终端时有大概相同的延时。这些成分的包络之和服从瑞利分布，而瑞利分布的参数服从对数正态分布，从而构成一个混合分布。移动传播环境190反射体1反射体2发射机本地散射体2本地散射体1接收机本地散射体3图 7-1-2 城区无线多径信道示意图在前面章节介

11、绍了瑞利分布和对数正态分布的基础上，综合考虑了这两种衰落过程，形成 Suzuki 衰落分布2，即其包络的概率分布满足 dexxpsssx02)(ln)2(2222221e)(7-1-17)式中是瑞利分布中各高斯分量的标准差；和分别为对数正态分布的均值和标准差。ss可以看出，上式是将瑞利分布的标准差在服从对数正态分布的情况下进行了积分，实现了从局部特性到全局特性的转化。因此，Suzuki 分布的衰落模型是联合考虑了小尺度衰落和大尺度衰落的综合模型。2 Suzuki 信道模型前面介绍 Clarke 模型仿真的仅是小尺度衰落的瑞利衰落信道，现在介绍的 Suzuki 信道模型，是将小尺度衰落模型和大尺

12、度传播模型结合起来的一个混合模型，即在瑞利信道的基础上，考虑了阴影效应。因此，用 Suzuki 模型来仿真平坦衰落信道，意义更为重要。考虑典型市区环境，即在移动台和基站之间没有视距存在，因此，接收信号是一系列来自各个方向的独立反射信号的叠加。接收信号的包络服从瑞利分布，相位服从区间内的均匀分布。如果移动台运动)2 , 0较短的距离，可以假设瑞利过程的平均功率保持恒定；如果运动距离较长，由于阴影效应，使瑞利过程的功率有显著的变化，在这种情况下，Suzuki 分布相比瑞利分布较为准确。Suzuki 过程2可以表示为瑞利过程（小尺度衰落）与对数正态过程（大尺度衰落）的乘积：)(t)(t)(t(如图

13、1-2-1 所示) ttt(7-1-18)(1) 瑞利过程)(t瑞利过程可以定义为窄带复高斯随机过程的包络：)(t)(ttjtt21(7-1-19)这里和是不相关的实正态随机过程，均值为，方差)(1t)(2t0)(iimtE，。因此220)(itVari2 , 1i tttt2221(7-1-20)是瑞利分布的随机过程。和要满足1中的经典功率谱分布函数)(1t)(2t (7-1-21)第七章 标量信道建模及其仿真191 maxmax2maxmax2 0 /10ffffffffSii2 , 1i这里的，为最大多普勒频移。maxf根据功率谱密度，可以得到其自相关函数为 )2(max020fJrii

14、(7-1-22)(2) 对数正态过程t对数正态过程由均值为，方差的实高斯随机过程生成，t03m123)(3t tsmt3e(7-1-23)参数 m 和 s 的引入是为了分别将和转换成实际的均值和方差。实高斯随机过程与(7-1-19)3m23)(3t式中定义的复高斯随机过程不相关。通常假设的功率谱密度函数服从高斯分布，如下式所示：)(t)(3t 22332e21cfcfS(7-1-24)式中的与 3dB 截止频率的关系是，。总的说来，3dB 截止频率比最大多普勒频ccf2ln2ccfcf移小的多，可以表示为，所以这里的1。maxfkffc/maxk参考文献4已经证明了，当参数 k 大于 10 时

15、，k 和功率谱密度函数对 Suzuki 信道模型的随机)(3fS特性影响不明显。同样根据(7-1-24)式，我们可以得到高斯过程的自相关函数： )(3t 2332tcetr(7-1-25)3 扩展 Suzuki 信道模型上一小节讨论的 Suzuki 模型,假设接收的信号中只有散射分量，没有直射分量。当接收信号中存在直射分量时，就不在服从瑞利分布，而是服从莱斯分布。需将式(7-1-20)改写为：t 2222112211tmttmttmtjtmttmttt (7-1-26)其中，代表信号中的直射分量（均值） ，分别是直射分量的tfjtjmtmtm221e, f幅度，多普勒频率和相位。在上式中，当时

16、，均值是常数，不随时间变化，这相当0fjmtme于移动台运动的方向与直射信号传播的方向成直角。在扩展 Suzuki 模型中，散射信号分量也具有式(7-1-21)所示的功率谱，其相关函数如式(7-1-22)所示，只是在此基础上增加了一个直射分量而已，所以其相关的统计特性不再做具体讨论。 7.1.2 多普勒功率谱第六章已经介绍了无线信道的衰落和多径现象，我们知道，由于接收机的运动和多普勒效应，使得接收机的到达波产生了多普勒频移。由于不同的入射角产生不同的多普勒频移，因此所有的散射（反射）分量的叠加就形成了连续的多普勒频谱，也就是我们常说的“多普勒功率谱” 。根据散射（反射）环境的不同，接收端的多普

17、勒功率谱也不尽相同。下面将介绍两种常见的多普勒功率谱经典功率谱和高斯功率谱。7.1.2.1 经典功率谱移动传播环境192假设有个入射波，它们在内的入射功率是连续的，表示在入射角为内N)2 , 0dp)(d的入射能量，A 表示全向天线的平均接收功率，表示方向的天线增益。当时，成)(GNdp)(为连续分布。则全部入射能量可以表示为20)()(dpAGPr(7-1-27) 假设发送信号的载频为，则多普勒频率为cfcmcfffvffcoscos)(7-1-28)为最大多普勒频移，因为为偶函数，所以。假设信道冲激响应为mf)(f)()( ff，表示接收信号的功率谱，则有tfttfttcc2sin2cos

18、21)( fSdGpGpAdffS)()()()()(7-1-29)对(7-1-28)求导，可得dfdfmsin-(7-1-30)mcfff1 -cos(7-1-31)由(7-1-31)式，可得21sinmcfff(7-1-32)将(7-1-32)和(7-1-30)代入(7-1-29)，可得出)( fSmcmcmcmffffffffffGpGpAfS01)()()()()(2(7-1-33)这表明功率谱以载波为中心，分布在 之间，每个到达波都根据到达方向的不同有不同的频率。mcff 对于波长为的垂直极化天线，天线增益在全方向上为常数，即，且入射能量在4/)(G202)(G均匀分布，即，则202

19、1)(p2201)(mcmfffffS mcfff(7-1-34)220/1)(mmffffSii mff (7-1-35)对(7-1-35)作反傅立叶变换，因为为偶函数，得)( fSiidfffffdffSRmiiiifmmfj02202/12cos2e)()(7-1-36)做代换，代入上式，得xffmcos第七章 标量信道建模及其仿真193dxxfRmii2/020)cos2(cos2)(7-1-37)因为2020cos0)coscos(221)(dxdexJjx(7-1-38)所以)2()(020mfJRii(7-1-39)cmffJR2cos)2()(020(7-1-40)图 7-1-

20、3 示出了多普勒功率谱的曲线，从中我们可以看出，在最大多普勒频移方向（即 0 和 180 方向）多普勒功率谱为无穷，但是由于是连续分布的，所以取到某个具体的方向的概率为 0。可以看出，经典功率谱的推导必须满足以下三个假设：1)电磁波的传播发生在二维平面内，接收机位于散射区域的中心；2)到达接收天线的来波入射角均匀分布在之间；)2 , 03)接收天线是全向天线。所以，必须满足以上三个假设的信道才符合经典功率谱。-100-80-60-40-2002040608010000.010.020.030.040.050.06f (Hz)S(f)(a) 经典功率谱)( fSii00.010.020.030.

21、040.050.06-0.500.51t(s)R(t)(b) 相应的自相关函数)(iiR图 7-1-3 经典功率谱及其相应的自相关函数) 1,91(20Hzfm移动传播环境1947.1.2.2 高斯功率谱所谓高斯功率谱是指 2)(2ln202lnciiffceffS(7-1-41)式中，为 3dB 截止频率。 cf对(7-1-41)作反傅立叶变换，得 2)2ln/(20eciifr(7-1-42)理论调查证明了航空信道的多普勒功率谱服从高斯分布，在许多情况下可以用(7-1-41)式来近似。对于带宽少于 10KHz 的信号，航空信道属于非频率选择性信道。在参考文献18中已经指出：对于频率选择性信

22、道，多普勒功率谱严重偏离经典功率谱，而高斯功率谱能够较好的吻合。高斯功率谱偏离了原来的频率，这是因为反射回波主要来自于某一特定的方向。-300-200-100010020030001234567x 10-3f (Hz)S( f )(a) 高斯功率谱)( fSii00.0050.010.0150.02 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91t (s)R(t)(b) 相应的自相关函数)(iiR 图 7-1-4 高斯功率谱及其相应的自相关函数 ) 1,91,2ln(20Hzfffmmc7.1.2.3 平均多普勒频移和多普勒扩展平均多普勒频移和多普勒扩展分别表示信号经过信道后经历的

23、频率的均值和方差。它与电平交叉率第七章 标量信道建模及其仿真195（LCR，Level Crossing Rate） 、平均衰落时长（AFD ，Average Fading Duration） 、多普勒功率谱都有关，是描述信道时变特性的重要参数。假设随机过程具有的多普功率谱密度为，平均多普勒频移与多普勒扩展是多普)(ti fSii 1iiB 2iiB勒功率谱密度的两个参数，其中，平均多普勒频移定义为的一阶原点矩（均值） ，即： fSii fSii 00211iiiiiiiiiirrjdffSdfffSB(7-1-43)而多普勒扩展定义为的二阶中心矩的平方根（标准差） ，即： fSii 00)0

24、0(212212iiiiiiiiiiiiiiiirrrrdffSdffSBfB (7-1-44)式中，。 drdriiii 22drdriiii 因为对于复确定过程，和相同且对称，则)()()(21tjtt fS11 fS22 011iiBB(7-1-45) 0222iiBB(7-1-46)这里，。 020iir 0iir 由上述定义可知，对经典功率谱和高斯功率谱而言，有： , 01iiB(7-1-47) )( 2ln2)( 2max2高斯经典cffBii(7-1-48)可见，如果经典功率谱的最大多普勒频移和高斯功率谱的 3dB 截止频率满足时，经典功max2lnffc率谱的多普勒扩展和高斯功

25、率谱的多普勒扩展相同。下面考虑多谱勒扩展与的重要性。 Clarke 模型和 Suzuki 模型的高阶统计特性，如电平通过 2iiB 2iiB率与平均衰落时长都与随机过程的自相关函数在零点的二阶导数有关。titr11 0iir 实际信道中可以表示为多谱勒扩展的平方，即 0iir )(3 ,22)(2 , 1 220222222max00高斯经典iBiBfriiiiiic (7-1-49) 仿真信道的情况，自相关函数在零点的二阶导数，即tr11移动传播环境196 )(3 ,2)(2 , 1 ,2022220高斯经典iBiBriiiiii (7-1-50) 其中，。由上面两式可见，仿真过程的多谱勒扩

26、展与实际信道的多谱勒222021123 2iiB扩展越接近，则与就越接近，仿真过程的高阶统计特性就与实际过程越相符。 2iiB 0iir 0iir 7.2 平坦衰落信道仿真13所有的信道模型的仿真都是基于多个不相关的有色高斯随机过程。对于瑞利和莱斯过程需要两个有色高斯随机过程，然而对于 Suzuki 过程需要三个有色高斯随机过程。产生有色高斯噪声的方法有两类：第一类方法是正弦波叠加法（SOS：Sum-Of-Sinusoid） ；第二类是成形滤波器法。莱斯法12 是正弦波叠加法中的一种，其实现框图如图 7-2-2 所示，就是基于无穷个加权谐波的叠加，即iiNnnininiNitfCt1,)2co

27、s()(lim(7-2-1)式中)(2,niinifSfCii(7-2-2a)inifnf,(7-2-2b)相移是内均匀分布的随机变量；当时，这样就使频率成为连续分布的。我ni,2 , 0iN0if们知道，高斯随机过程可以完全由均值、自相关函数（或者功率谱密度）来描述，因此，成形滤波器法（图 7-2-1）与正弦波叠加法（图 7-2-1）是等效的。这是因为式(7-2-1)表示了均值为 0、且具有功)( fSii率谱密度的高斯随机变量。图8-3-2 正弦波叠加法实现有色高斯噪声)2cos(1 ,1 ,iitf2, ic)2cos(2,2,iitf1 , ic)2cos(,iitf, ic+)(ti

28、图 7-2-2 正弦波叠加法实现有色高斯噪声成形滤波器法如图 7-2-1，在线性时不变滤波器的输入端输入白高斯噪声，且，则)( fHi) 1 , 0()(Ntv输出过程的功率谱密度满足。所以，为了产生特定的多普勒功率谱的随机过程，可)(ti2)()(fHfSiii以采用相应的成形滤波器。第七章 标量信道建模及其仿真197白高斯噪声)( fHi)(ti)1 , 0()(Ntv图8-3-1 成形滤波器法实现有色高斯随机过程图 7-2-1 成形滤波器法实现有色高斯随机过程同时，两种方法各有优缺点。第一类方法能够有效的减少运算量，因此得到广泛的应用，但是仿真的衰落信道的性能不理想。第二类方法所要求的成

29、形滤波器的带宽相对于抽样率来说是非常窄的，所以复杂度较高；为了设计出这样一个窄带的数字滤波器而减小运算复杂度，通常采用的方法是首先设计一个低抽样率的数字滤波器，然后采用线形插值的方法将抽样率提高，此线形插值的过程同样具有很大的运算复杂度，但是这种方法能够较好的仿真出独立的衰落信道。以下两小节分别讲述这两种实现方法。7.2.1 正弦波叠加法基于前面介绍的莱斯模型，如果用有限个谐波来代替无限个谐波，则随机过程表示为：iNnnininiitfCt1,)2cos()(7-2-3)式中，和分别用(7-2-2a)和(7-2-2b)表示，相移是内均匀分布的随机变量（实现框图如nic,nif,ni,)2 ,

30、0图 7-2-3 所示） ，由于这里的是随机变量，所以此模型称为“随机型仿真模型” 。可以看出，当ni,时，。iN)()(ttii图8-3-3 正弦波叠加法：随机仿真模型)2cos(1 ,1 ,iitf2, ic)2cos(2,2,iitf1 , ic)2cos(,iiNiNitfiNic,+)( ti图 7-2-3 正弦波叠加法：随机仿真模型当从均匀分布的随机器取出之后，就不再代表一个随机变量了，而是随机变量的一个实现。ni,)2 , 0因此当代表随机变量的一个实现时，(7-2-3)变成ni,iNnnininiitfCt1,)2cos()(7-2-4)因为这里的在整个仿真过程中是确定的，所以

31、此模型成为“确定型仿真模型” （见图 7-2-4） 。注意ni,到当时，确定过程是随机过程的取样函数。所以，本节的目的就是介绍几种计算iN)(ti)(ti 的方法，使得确定过程的统计特性接近随机过程的统计特性。),(,nininifC)(ti)(ti移动传播环境198图8-3-4 正弦波叠加法：确定型仿真模型)2cos(1 ,1 ,iitf2, ic)2cos(2,2,iitf1 , ic)2cos(,iiNiNitfiNic,+)(ti图 7-2-4 正弦波叠加法：确定型仿真模型基于确定型实高斯随机过程，可以表示确定复高斯随机过程为)()()(21tjtt(7-2-5)则确定的瑞利过程可以表

32、示为 tjttt21(7-2-6)确定的莱斯过程可以表示为 tmttt(7-2-7)其实现框图如图 7-2-5 表示。2, 1c1 , 1c+)(t12, 2c+)(t21, 1 NC1 , 2C2, 2 NC+)2cos()(1tftm)2sin()(2tftm)(t)2cos(11, 1, 1NNf)2cos(1 , 11 , 1f)2cos(2, 12, 1f)2cos(1 , 21 , 2f)2cos(2, 22, 2f)2cos(22, 2, 2NNf图 7-2-5 莱斯过程的确定仿真模型用于计算机仿真的离散仿真器只需要将 用代替即可，其中为抽样间隔，为整数。在仿真建tskTt sT

33、k立的初始阶段，必须确定参数的值，且在整个仿真阶段保持不变。我们把和分别),(,nininifCninifC,ni,称为确定过程的多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒相移。下面讨论确定过程的基本特性和统计特)(ti性：1 基本特性(1) 时间均值第七章 标量信道建模及其仿真199假设确定过程满足（下面的介绍可以看出，一般情况下此条件恒)(ti)2 , 1, 2 , 1(0,iNnfini满足） ，则从(7-2-4)式可以得到 0)(21limTTiTdttTmi(7-2-8)(2) 平均功率从(7-2-4)式可以得到 iiiNnniTTiTCdtmtT12,222)(21lim(7-2-9)很明

34、显，平均功率仅仅与多普勒系数有关，而与离散多普勒频移、多普勒相移无关。2iniC,nif,ni,(3) 自相关函数从(7-2-4)式可以得到 )2cos(2)()(21lim)(,12,niNnniTTiiTfCdtttTriii(7-2-10)很明显，自相关函数仅仅与多普勒系数有和离散多普勒频移有关，而与多普勒相移)(iirniC,nif,无关。且。ni,)0(2iiir(4) 互相关函数假设和都是确定过程，则互相关函数为)(1t)(2t ，0)()(21lim)(2*121TTTdtttTrmnff, 2, 1(7-2-11)对所有的都满足。所以只要离散多普勒频移满足，则21, 2 , 1

35、, 2 , 1NmNnmnff, 2, 1、mnff, 2, 1这两个确定过程和不相关。但如果出现，则)(1t)(2tmnff, 2, 1 )2cos(2)(, 2, 1, 11, 2, 1,2, 121mnnNffnmnfCCrmn(7-2-12)其中是和中最大值。这时互相关函数还与多普勒相移有关。N1N2N)(21rni,(5) 功率谱密度用(7-2-10)式作反傅立叶变换，得 iiiNnnininiffffCfS1,2,)()(4)(7-2-13)可以看出，的功率谱密度是关于频率对称的，即；且位于之间，)(tif)()(fSfSiiiiniff,并用进行加权。4/2,niC(6) 互功率

36、谱密度假设和都是确定过程，则根据式(7-2-11)和(7-2-12)作反傅立叶变换，得)(1t)(2t ，0)(21fSmnff, 2, 1(7-2-14) NffnnnmnmnmnmnffffCCfS,2, 1,2, 1,2, 1211)( j, 1)( j, 1, 2, 1e )(e )(4)(7-2-15)对所有的都满足，其中是和中最大值。同时互功率谱还满足21, 2 , 1, 2 , 1NmNnN1N2N移动传播环境200。)()(2112*fSfS(7) 平均多普勒频移假设确定过程具有的多普功率谱密度为，平均多普勒频移与多普勒扩展是多普)(ti fSii 1B 2B勒功率谱密度的两个

37、参数，其中，平均多普勒频移定义为的一阶原点矩（均值） ，即： fSii fSii 00j211iiiiiiiiiirrdffSdffS fB(7-2-16)因为，所以 fSfSiiii 01iiB(7-2-17)对于复确定过程，如果实部和虚部互不相关，则)()()(21tjtt 011iiBB(7-2-18)(8) 多普勒扩展而多普勒扩展定义为的二阶中心矩的平方根（方差） ，即： fSii 00)00(212212iiiiiiiiiiiiiiiirrrrdffSdffSBfB (7-2-19)所以 iiiiiNnniniifcB12,2,22212(7-2-20)这里 iiiNnniniifc

38、r12,2)(20 (7-2-21)可见，如果，则确定过程的多普勒扩展与理想随机过程的多普勒相同。202ii)(ti)(ti2 统计特性(1) 幅度、相位概率密度函数讨论一个确定过程的统计特性，是将时间 看作是在时间间隔内均匀分布的随机变量。考虑莱斯)(tit复随机变量)()()(21tjtt(7-2-22)式中)2 , 1()()()(itmttiii(7-2-23a)2( j21e)()()(tftjmtmtm(7-2-23b)则)()()()(21tjttt(7-2-24)所以，幅度、相位概率密度函数13分别为第七章 标量信道建模及其仿真201ddvvzgvcJdvvzgvcJzzpNm

39、mNnn222201, 20111101, 10),()2(),()2(4)(21 (7-2-25)dzdvvzgvcJdvvzgvcJzpNmmNnn222201, 201111001, 10),()2(),()2(4)(21 (7-2-26)这里)coscos(2cos),(111zvvzg(7-2-27a)sinsin(2cos),(222zvvzg(7-2-27b)当时，幅度和相位完全服从莱斯分布的幅度分布(6-2-37)式和相位分布(6-2-38)式，这就说明iN“确定型仿真模型”从概率密度函数的角度能够很好的吻合上“随机型仿真模型” 。下面将讨论“随机型仿真模型”产生信号的各态历经

40、性，即从均值和自相关函数的角度，来比较两种模型的吻合程度。(2) 各态历经性1) 关于均值的各态历经性对于随机过程，如果的时间平均收敛到的统计平均，则称随机过程)(ti)(ti)(ti)()(1tEmi关于均值各态历经，即满足：)(ti TTiTdttTmm)(21lim)()(11(7-2-28)因为多普勒相移在内均匀分布，所以左边的等式一定等于 0；右边的等式在ni,)2 , 0时也为 0。 （在下面介绍的内容中，可以看到这个条件很容易满足） 。因此)2 , 1, 2 , 1(0,iNnfini 0)()(11mm(7-2-29)即随机过程关于均值各态历经。)(ti2) 关于自相关函数的各

41、态历经性对于随机过程，如果的时间平均，能够收敛到的自相关函数)(ti)()(ttii)(ti，则称随机过程关于自相关函数各态历经，即满足：)()(: )(11ttErii)(ti TTiiTdtttTrr)()(21lim: )()(1111(7-2-30)当多普勒系数和离散多普勒频移为确定值，多普勒相移在内均匀分布，则nic,nif,ni,)2 , 0 )2cos(2)(,12,niNnnifCriii(7-2-31)根据(7-2-10)式，可以得出)()(1111rr(7-2-32)所以随机过程关于自相关函数各态历经。)(ti综上，在多普勒系数和离散多普勒频移都是确定值的前提条件下，随机过

42、程关于均值、自相关函)(ti数各态历经，这就证明了用确定过程代替随机过程的合理性，这样的简化有利于信道模型的仿真；)(ti)(ti移动传播环境202同时对于信道建模的好坏，评估标准是确定过程的随机特性与理想随机过程的随机特性之间的偏)(ti)(ti差,即是下面两个准则：(3) 两个准则1)概率均方误差准则是均值为零且正态分布的随机过程，即，则概率与的均方误差为)(ti), 0()(20Nti)(xpi)(xpi dxxpxpEiiip2) )()(7-2-33)这样能够评估确定型过程的概率分布函数与理想随机过程的概率分布函数的接近程度。2) 自相关函数均方误差准则众所周知，实高斯随机过程可以完

43、全由其概率密度函数、自相关函数描述，因此另外一个准则就是评估确定型过程的自相关函数与理想随机过程的自相关函数的均方误差 drrEiiiiiir20max) )()(1max(7-2-34)已经证明取比较合适，特别对于经典功率谱。maxmax2/fNi计算确定过程(7-2-3)式中的参数的值，即多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒相移，),(,nininifC下面将介绍几种方法：等距离法（MED） 、等面积法（MEA） 、Monte Carlo 法、最小均方误差法（MSEM） 、精确多普勒扩展法（MEDS）和 Jakes 仿真法，它们都是采用正弦波叠加法来实现的，各有优缺点，其中应用最为广泛的是

44、Jakes 仿真器。7.2.1.1 等距离法（MED）8顾名思义，等距离法指的是相邻的离散多普勒频移之间的距离是相等的。具有相同距离的离散多普勒频移的值可以通过下式来得到： iiniNnnff,.,2 , 1,122,(7-2-35)其中： inininiNnfff,.,3 , 2,1,(7-2-36)表示了第 i 个随机过程的相邻的离散多普勒频移之间的距离。3 , 2 , 1,iti对多普勒系数的计算则要考虑到在区间： nic, iiniininiNnffffI,.,2 , 1,2,2,(7-2-37)要使理想的功率谱密度函数计算得到的功率与仿真得到的功率谱密度函数计算得到 fSii fSi

45、i的功率相等。即： niiiniiiIfIfdffSdffS,(7-2-38)以下，我们分别考虑两种功率谱密度的情况： 1 经典功率谱 经典功率谱函数中的频率范围限制在的范围内。这样，相邻的两个离散多普勒频 fSiimaxff 移之间的距离可定义为：，因此，各个离散多普勒频移的数值可根据下式来确定： ifiiNff/max 122max,nNffini(7-2-39)相应的多普勒系数，根据式(7-1-35)、(7-2-13)和 (7-2-39)，经过一定的推导，可得：第七章 标量信道建模及其仿真203 2120,1arcsinarcsin4iiniNnNnc(7-2-40)从式(7-2-9)和

46、(7-2-10)可以看出，的均值为零，因此，方差为相关函数在零点的值，即： ti 2012,220iiiiiNnnicr(7-2-41)对于复确定过程，其方差为。且为了保证和的不tjtt2120222221t1t2相关性，可以选择，这保证了对所有的和都满足。112 NN1, 2 , 1Nn2, 2 , 1Nmmnff, 2, 1图 7-2-6 绘出了相应于等距离法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。另外，利用等距离法得出的随机过程的自相关函数是一个周期函数：tri 是奇数是偶数 , ,2/mrmrmTriiiiiii

47、(7-2-42)的最大公约数记为，则周期。所以，必须保证仿真nif,iNnniifF1,gcdmax221fNfFTiiii的时间不超过，即。在车速，载波的情况下，simTiTmax/2fNTTiisimhkmv/110MHzf9000，所以仿真时间。并且这里选择来计算(7-2-34)式中的自相关Hzf91maxsTsim549. 0maxmax2/4/fNTii函数的均方差，绘于(c)图。-100-80-60-40-2002040608010000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1f (Hz)PSD00.020.040.060.080.10.120.

48、14-0.500.51t (s)r(t)deterministictheoretical (a) 功率谱密度 (b) 相关函数 fSii)25(iN iir)25(iN 05 1015202530354045505501234567x 10-3NiError of Autocorrelation移动传播环境204(c) 自相关函数的均方差iirE)2/(maxmaxfNi图 7-2-6 等距离法（经典功率谱，）Hzf91, 1max202 高斯功率谱由(7-1-41)式所示的高斯功率谱，一般将 f 的变化范围限制在的范围内，由仿真所需 fSiccfkf ck的离散多普勒频移的选择范围来决定，下

49、面选择。因此，两个相邻的离散多普勒频移之间nif,2ln/22ck的距离可以表示为，这样，结合式(7-2-35)，可以将离散多普勒频移的值写为： iccNfkf/ 122,nNfkficcni(7-2-43)其中。从式(7-1-41)和(7-2-13)和上式可以推导得到离散多普勒系数的表达式：iNn,.,2 , 1 iicicniNnNknNnkc,.,2 , 12ln) 1(erf2lnerf2210,(7-2-44)显然，的均值是零，方差为ti 20202012,29999366. 02lnerf20cNnnikcriiii(7-2-45)图 7-2-7 绘出了相应于等距离法生成的高斯功率

50、谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。注意到，的周期为。同样，必须保证仿真的时间不超过，即ticciiiifkNfFT221simTiT，并且这里选择，来计算(7-2-34)式中的自相关函数的均方差，绘cciisimfkNTT/2cciifkNT2/4/max于(c)图。为了保证和的不相关性，可以选择，这样就保证了对所有的t1t2112 NN都满足。21, 2 , 1, 2 , 1NmNnmnff, 2, 1-300-200-100010020030000.010.020.030.040.050.060.07f (Hz)PSD00.

51、10.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t (s)r(t)(a) 功率谱密度 (b) 相关函数 fSii)25(iN iir)25(iN第七章 标量信道建模及其仿真20551015202530354045505500.511.522.5x 10-4N (s)Error of Autocorrelation(c) 自相关函数的均方差iirE)2/(maxccifkN图 7-2-7 等距离法（高斯功率谱）（，）Hzfffc91,2ln, 1maxmax202ln/22ck7.2.1.2 等面积法（MEA）8所谓等面积法指的是在功率谱密度函数一定的情况下，任意两个离散

52、多普勒频移之间的区间面积都等于。即：ninifff,1,iAiNi22 iiffNnNdffSAininiiii,.,2 , 1,22,1,(7-2-46)而。为了方便推导，引入函数：00 ,if niiiifnidffSfF,(7-2-47)从式(7-1-41)和式(7-1-41)可以看出一个对称函数，即：，这样，结合式 fSii fSfSiiii(7-2-46)，可将式(7-2-47)写为： invffniNndffSfFiviviiiii12 2212,1,(7-2-48)假设函数的反函数存在，记为，则离散多普勒频移可写为：iF1iF iiniNnNnFfii,.,2 , 1 1221,

53、(7-2-49)同时，注意到在区间内，的平均功率等于，根据式(7-2-13)，多普勒系数nininiffI,1, fSii42,nic可写为： iiniNnNAcii,.,2 , 1 24,(7-2-50)式(7-2-50)意味着在等面积法中得到的各个多普勒系数是相等的。下面，我们将利用等面积法求得经典功率谱和高斯功率谱下的多普勒频移和系数的表达式。移动传播环境2061 经典功率谱将(7-2-4)式中的经典功率谱表达式代入到式(7-2-22)可得： ininiNnfffFii,.,2 , 1 arcsin212max,2,(7-2-51) 其中，。显然，的反函数存在，解式(7-2-24)可得离

54、散多普勒频移：max,0ffniiF1iF iiniNnNnff,.,2 , 1 2sinmax,(7-2-52)从式(7-2-50)，将用代替容易得到多普勒系数：i0 iiniNnNc,.,2 , 1 20,(7-2-53)当时，的最大公约数近似等于零，所以周期为无穷。因此确定过程5iNnif,iNnniifF1,gcdiiFT/1是非周期的。图 7-2-8 绘出了相应于等面积法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方)(ti差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较；图(c)中选择了。maxmax2/4/fNTii-100-80-60-40-200204060

55、8010000.0050.010.0150.020.025f (Hz)PSD00.050.10.150.20.25-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t (s)r(t)deteministictheoretical(a) 功率谱密度 (b) 相关函数 fSii)25(iN iir)25(iN第七章 标量信道建模及其仿真20751015202530354045505500.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.016N (s)Error of Autocorrelation(c) 自相关函数的均方差iirE)2/(maxmaxfNi图 7-2-8 等

56、面积法（经典功率谱，）Hzf91, 1max20通常选择，由于，所以和不是完全的不相关。但是注意到，112 NNmax, 2, 121fffNNt1t2只要适量的就可以得到较小的相关性，因此可以忽略不计。iN下面证明了当时，。iN)()(iiiirr )()2(sin2cos2)2sin(2coslim)2cos(2lim)(limmax0202/0max20max120,12,iiiiiiiiirfJdfNnfNfCriNniNniNnniNN(7-2-54)同样可以证明：当时，；所以由无穷多个振荡器生成的确定过程是随机iN)()(xpxpii)(ti过程的取样函数。)(ti2 高斯功率谱对

57、式(7-1-41)的高斯功率谱，同样引入函数：iF icniniNnfffFi,.,2 , 1 2lnerf12,20,(7-2-55)但上式中误差函数的反函数并不存在，这样，将得不到离散多普勒频移的闭合表达式，因此，只能nif,通过查表来寻找满足下式的：nif, icniiNnffNn,.,2 , 1 , 02lnerf,(7-2-56)可以得到，相邻的离散多普勒频移间隔依赖于具体的下标 n，因此，自相关函数1,ninifffni并不是周期性的；或者说，的最大公约数近似等于零，所以周期为无triinif,iNnniifF1,gcdiiFT/1移动传播环境208穷。因此确定过程是非周期的。)(

58、ti同样，多普勒系数的值： nic, iiniNnNc,.,2 , 1 ,20,(7-2-57)图 7-2-9 绘出了相应于等面积法生成的高斯功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较；图(c)中选择了。为了保证cciifkNT2/4/max和的不相关性，可以选择。t1t2112 NN-400-300-200-1000 100 200 300 40000.0050.010.0150.020.025f (Hz)PSD 00.020.040.060.080.1-1 -0.50 0.51 t r(t)deterministictheoret

59、ical(a)功率谱密度 (b)相关函数 fSii)25(iN iir)25(iN 5 10152025303540455000.010.020.030.040.050.06N Error of Autocorrelation(c) 自相关函数的均方差iirE)2/(maxccifkN图 7-2-9 等面积法（高斯功率谱）（，）Hzfffc91,2ln, 1maxmax202ln/22ck7.2.1.3 Monte Carlo 法（MCM）8Monte Carlo 方法（MCM）的基本思想是通过描述中离散多普勒频移的概率分布的概率密度函tf数（pdf）来产生离散多普勒频移。显然，的概率密度函数

60、（可记为）与的功率谱密度是nff fpt第七章 标量信道建模及其仿真209成比例的。如： fScfp(7-2-58)其中，常数用以保证概率的归一化：。c 1dffp为了得到所需的离散多普勒频移，首先生成一个在区间服从均匀分布的随机变量及在该区间上1 , 0nu定义的一个函数，令离散多普勒频移的分布与下面的分布函数相等： nug nnugf nfndffpfP(7-2-59)由此，是的反函数。这样，离散多普勒频移可以表示为： nug nnufP NnuPugfnnn,.,2 , 1 ,1(7-2-60)通常，按照 MCM 法得出的离散多普勒频移既有正值也有负值，当概率密度函数是偶函数，nf fp