2020年中考数学压轴题突破专题8与圆有关的综合问题

1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题8与圆有关的综合问题1. （2018年镇江中考第26题）2. （2019年镇江中考第26题）小（2019苏坦中考第26题 【真题再现】14 （2019扬州中考第25题）5. （2019盐城中考第25勉）6. （201B年南京中者第26题）有关的综合问新【专联破】【题组一】4道【题组二】4道题4道【题坦四】4道【题组五】4道【题帖】411【真题再现】311. （2018年镇江中考第26题）如图1,平行四边形ABCD 中，ABXAC, AB= 6, AD = 10,点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的OP与对角线AC交于A, E两点.（1）

2、如图2,当。P与边CD相切于点F时，求AP的长;（2）不难发现，当 OP与边CD相切时，OP与平行四边形 ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化，OP与平行四边形 ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的 AP的值的取值范围 图1B 22. （2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1中的。O）.人们在北半球可观测到北极星， 我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工

3、具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.【实际应用】观测点A在图1所示的OO±,现在利用这个工具尺在点 A处测得a为31。，在点A所 在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得 a为67。. PQ是。O的直径，PQXON.(1)求/ POB的度数；(2)已知 OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即OO上魂 的长.(兀取3.1)3. (2019苏州中考第26题)如图，AB为。的直径，C为。上一点，D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点 E、F.(1)求证：DO/AC;(2)求证：DE?DA = DC2;(3)若 tan/CAD斗,求 sin/CDA

4、 的值.4. (2019扬州中考第25题)如图，AB是。的弦，过点。作OCOA, OC交AB于P,CP=BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)已知/ BAO=25° ,点Q是看正看上的一点.求/ AQB的度数;若OA=18,求前指的长.5. (2019盐城中考第 25题)如图，在RtABC中，/ACB=90° , CD是斜边 AB上的中线，以CD为直径的。分别交AC、BC于点M、N,过点N作NELAB,垂足为E.5(1)若。O的半径为二，AC=6,求BN的长;(2)求证：NE与。相切.6. (2018年南京中考第26题)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接 DE

5、.过点A作AFLDE,垂足为F,。经过点C、D、F,与AD相交于点 G.(1)求证： AFGA DFC;(2)若正方形 ABCD的边长为4, AE=1,求。的半径.【专项突破】【题组一】1. (2020?连云港模拟)如图，矩形 ABCD中，AB=4, BC=6, E是BC边的中点，点 P在线段AD上，过P作PFXAE于F,设PA = x.(1)求证： PFAs ABE；(2)当点P在线段AD上运动时，是否存在实数 x,使得以点P, F, E为顶点的三角形也与 ABE相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由；(3)探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写

6、出x满足的条件：2. (2020?陆丰市模拟)OO,交BC于点D, E为弧BD上一点，连接 AD、DE、AE,交BD于点F.(1)若/ CAD = / AED,求证：AC为。O的切线;(2)若 DE2=EF?EA,求证：AE 平分/ BAD;(3)在(2)的条件下，若 AD=4, DF=2,求OO的半径.R3. (2020?播州区校级模拟)如图， RtAABC 中，/ ACB= 90° , AC = 6, AB=10, 0C 与AB相切于点D,延长AC到点E,使CE=AC,连接EB.过点E作BE的垂线，交 OC于占J 八、P、Q,交BA的延长线于点F.(1)求AD的长;求证：EB与。

7、C相切;(3)求线段PQ的长.AB为直径作半圆。，点C是半圆上一点，/ ABC的平分04. （2020?萧山区一模）如图，以线交。于E, D为BE延长线上一点，且 DE = FE.（1）求证：AD为。切线;(2)若 AB = 20, tan/EBA+，求 BC 的长.【题组二】OAXOB, C是半径OB上一动5. （2019?亭湖区二模）如图， OA、OB是。的两条半径,点，连接AC并延长交。于D,过点D作圆的切线交 OB的延长线于E,已知OA=6.(1)求证：/ ECD =/ EDC;(2)若 BC=2OC,求 DE 长；(3)当/ A从15°增大到30°的过程中，求弦

8、AD在圆内扫过的面积.6. (2020?长春模拟)如图，AB是。O的直径，BD是。O的弦，延长 BD到点C,使DC =BD,连接 AC, E为AC上一点，直线 ED与AB延长线交于点 F,若/ CDE = / DAC ,AC= 12.(1)求。半径；(2)求证：DE为。的切线;7. (2020?宿州模拟)如图，点 。是4ABC的边AB上一点，。与边AC相切于点巳与边BC、AB分别相交于点 D、F,且DE=EF.(1)求证：/ C=90° ;(2)当BC=3, sinA三1时，求 AF的长.8. (2020?海门市一模)如图， ABC中，AB=AC,以AB为直径的。交BC于点D,交AC

9、于点E,过点D作DF LAC于点F,交AB的延长线于点 G.(1)若 AB = 10, BC= 12,求 DFC 的面积；(2)若 tanZC=2, AE=6,求 BG 的长.【题组三】9. (2020?朝阳区校级二模)如图，在 ABC中，/C=90° ,点D是AB边上一点，以 BD为直径的OO与边AC相切于点巳与边BC交于点F,过点E作EHLAB于点H,连接BE(1)求证 EH = EC;2(2)若 AB=4, sinA=q,求 AD 的长.10. (2020?西城区校级模拟) 如图，AB为。的直径，C、D为。上不同于A、B的两点, /ABD=2/BAC,连接CD,过点C作CELD

10、B,垂足为 E,直径AB与CE的延长线相(1)求证：CF是。的切线;(2)当 BD=-j=-, sinF=3-5求OF的长.11. (2020?海门市校级模拟)如图 1,。是4ABC的外接圆，连接 AO,若/ BAC + /OAB = 90° .3B(1)求证：AB - BC(2)如图2,作CDLAB交于D, AO的延长线交 CD于E,若AO=3, AE=4,求线段 AC的长.12. (2020?镇江模拟)如图， 。的直径AB = 26, P是AB上(不与点 A、B重合)的任一 点，点C、D为。上的两点，若/ APD = /BPC,则称/ CPD为直径AB的“回旋角”(1)若/ BP

11、C = Z DPC = 60° ,则/ CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若而的长为生兀，求“回旋角” / CPD的度数；4(3)若直径AB的“回旋角”为120° ,且 PCD的周长为24+13点，直接写出AP的长.【题组四】13. (2020?海门市校级模拟)如图，在 ABC中，/ ACB=90° ,。是边AC上一点，以 O为圆心，以OA为半径的圆分别交 AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点 F,使得BF=EF.(1)判断直线EF与。的位置关系，并说明理由;(2)若/ A = 30° ,求证：DG=2DA;(3)若/ A = 30

12、。，且图中阴影部分的面积等于2/3-",求。的半径的长.14. (2020?滨湖区模拟)如图，AB为。O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作。的切线，交 BA的延长线于点 E.(1)求证：AC / DE;(2)连接CD,若OA = AE=2时，求出四边形 ACDE的面积.15. (2020?海门市一模)定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M,如果线段OP与图形M有公共点时，就称点 P为关于图形M的“亲近点”.已知平面直角坐标系 xOy中，点A (1,有)，B (5,第),连接AB.(1)在P1 (1,2), P2 (3,2),P3 (5, 2)这

13、三个点中，关于线段AB的“亲近点”是;(2)若线段CD上的所有点都是关于线段 AB的“亲近点”，点C (t, 243t - 3有)、D(t+6, 2V3t-3T),求实数t的取值范围；(3)若。A与y轴相切，直线1:尸一巡X +匕过点B,点E是直线l上的动点，OE半 径为2,当OE上所有点都是关于 。A的“亲近点”时，直接写出点 E横坐标n的取值范 围.16. (2020?绵阳模拟)如图，直径为 10的。经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、 B两点，线段 OA、OB (OA>OB)的长分别是方程 x2+kx+48 = 0的两根.(1)求线段OA、OB的长；(2)已知点C在劣弧 OA上

14、，连结BC交OA于D ,当OC2= CD?CB时，求C点的坐标；(3)在。上是否存在点P,使SaPQD= S；aABD?若存在，求出点 P的坐标；若不存在， 请说明理由.【题组五】17. (2020?张家港市模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A ( - 5, 0),以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC,并延长BC至点D,使CD= BC,过点D作x轴垂线，分别交 x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结 OF.(1)当/ BAC=30°时，求 ABC的面积；(2)当DE = 8时，求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、0、F为顶点的三角形

15、与 ABC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.18(2019?靖江市校级一模)如图，矩形 ABCD中，AB=8, BC = 12, E是BC边的中点， 点P在线段 AD上，过P作PFLAE于F,设PA=x.(1)求证： PFAs ABE；(2)当点P在线段AD上运动时，是否存在实数 x,使得以点P, F, E为顶点的三角形 也与 ABE相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由；(3)探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写 出DP满足的条件：.箭用图19(2019?洪泽区二模)在 AOB 中，Z ABO=90° , AB=3

16、, BO = 4,点 C 在 OB 上，且 BC= 1 ,(1)如图1,以。为圆心，OC长为半径作半圆，点 P为半圆上的动点，连接 PB,作DBXPB,使点D落在直线 OB的上方，且满足 DB: PB=3: 4,连接 AD请说明 ADBAOPB;如图2,当点P所在的位置使得 AD / OB时，连接OD,求OD的长；点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出 OD长的最大值：若没有， 请说明理由.(2)如图3,若点P在以。为圆心，OC长为半径的圆上运动.连接 PA,点P在运动过程中，PA-| PE是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由.S1邺邺20. (2019?江都区三

17、模)如图，矩形 OABC顶点A在x轴上，顶点 C在y轴上，点B的坐 标为(8, 6),点D是BC边上一点，且 D为BC中点，OB与AD相交于点E,动点P 从点O沿y轴向点C运动，运动速度为1单位长/秒，过点P的直线与x轴平行分别交 OB、AD、AB于点M、N、Q,设点P的运动时间为t秒.(1)求点D的坐标和直线 AD的解析式；(2)设线段MN的长度为l ,求l与t的函数关系式，写出t的取值范围；(3)若点G为过三点O、M、N的圆的圆心(当 M、N重合时，规定点 G在过M点且 与y轴平行的直线上)，当动点P从点。运动到点C,点G也随之运动，求点 G的运动 路径长.【题组六】21. (2019?宿

18、迁模拟)在平面直角坐标系 xOy中，OC的半径为r (r>1),点P是圆内与圆心C不重合的点，OC的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与。C交于点A, B,若满足|PA- PB|=2,则称点P为。C的“完美点”，如图点P为。C的一个“主羊q” 兀夫忘 .(1)当。O的半径为2时31点M (-, 0) OO的“完美点”，点(一2, 一五)。的“完美点”；(填“是”或者“不是”)若。的“完美点” P在直线y=1x±,求PO的长及点P的坐标;(2)设圆心C的坐标为(s, t),且在直线y= - 2x+1上，OC半径为r,若y轴上存在OC的“完美点”，求t的取值范围.22.

19、(2019?苏州二模)如图， ABC内接于。O, AC是直径，点 D是AC延长线上一点,且/ DBC = Z BAC, tan/ BAC= .(1)求证：BD是。的切线;的值;(3)如图，直径AC=5,数=存，求4ABF面积.23. (2019?常熟市二模)已知： BD为。O的直径，点 A为圆上一点，直线 BF交DA的延长线于点F,点C为。O上一点，AB= AC,连接BC交AD于点E,连接AC,且/ ABF=/ ABC.(1)如图1 ,求证：BF作。O的切线；(2)如图2,点H为。内部一点，连接 OH, CH.如果/ OHC = / HCA=90° ,猜想CH与DA的数量关系，并加以

20、证明；(3)在(2)的条件下，若 OH = 6, OO的半径为10.记 AEC面积为&, ABE面积为S2,求一的值.5224. （2019?丹阳市一模）如图，点 C是线段AB上一点，AbAB, BC为。的直径.（1）在图（1）直径BC上方的圆弧上找一点 P,使得PA=PB;（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）连接PA,求证：PA是。的切线;D、E.求（3）在（1）的条件下，连接 PC、PB, / PAB的平分线分别交 PC、PB于点二的值.参考答案【真题再现】1. （2018年镇江中考第 26题）如图1,平行四边形 ABCD中，ABXAC, AB= 6, AD = 10,

21、点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的OP与对角线AC交于A, E两点.（1）如图2,当。P与边CD相切于点F时，求AP的长；(2)不难发现，当 OP与边CD相切时，OP与平行四边形 ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，OP与平行四边形 ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的 AP的值的取值范围? _mAPu4或AP = 5-q图1B 2【分析】(1)连接PF,则PFXCD,由ABLAC和四边形ABCD是平行四边形，得 PF/AC,可证明 DPFsDAC,列比例式可得 AP的长；(2)有两种情况：与边AD、CD分别有两个公共点； 。P过点A、C、D

22、三点.在RtAABC中，由勾股定理得：AC= ViOl2 -fi2=8,设 AP = x,贝U DP=10 x, PF=x,。P与边CD相切于点F , PFXCD,四边形ABCD是平行四边形, .AB/ CD, ABXAC, ACXCD, .AC/ PF, . DPFs DAC,PH PD=, AC AI;*10(2)当。P与BC相切时，设切点为 G,如图3,S?ABCD=;菖后义8黑2 =10PG,?4024当。P与边AD、CD分别有两个公共点时，AT <AP<-g-,即此时OP与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为 4,4,。P过点A、C、D三点.，如图4, OP与平行四边形

23、 ABCD的边的公共点的个数为此时AP = 5综上所述，AP的值的取值范围是:4-QAP24T或 AP=5.故答案为:一 HAP工冬或AP=5.9,5点评：本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公式，第 2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题.2.（2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1中的。O）.人们在北半球可观测到北极星， 我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这 样棉线就与地平

24、线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉 线的夹角”的大小是变化的.【实际应用】观测点A在图1所示的OO±,现在利用这个工具尺在点 A处测得a为31。，在点A所 在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得 a为67。. PQ是。O的直径，PQXON.（1）求/ POB的度数；（2）已知 OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即OO上凝 的长.（兀取3.1）【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E, HD，BC于D, CHLBH 交 BC 于点C,则/ DHC =67° ,证出/ HBD = Z DHC = 67° ,由平行

25、线的性质得出/ BEO=ZHBD = 67° ,由直角三角形的性质得出/BOE = 23° ,得出/ POB=90° - 23 = 67° ;(2)同(1)可证/ POA = 31° ,求出/ AOB = Z POB-/ POA = 36° ,由弧长公式即 可得出结果.【解析】(1)设点B的切线CB交ON延长线于点 E, HD，BC于D, CHLBH交BC于 点C,如图所示：则/ DHC = 67° ,. Z HBD+ZBHD = Z BHD + ZDHC = 90° , ./ HBD = Z DHC =67

26、76; ,1. ON / BH, ./ BEO=Z HBD = 67° , ./ BOE=90° - 67° = 23 , .PQXON, ./ POE=90° , ./ POB=90° 23 = 67° ;(2)同(1)可证/ POA = 31 ° , ./AOB=/ POB/ POA = 67° 31° =36° ,二3968 (km).,m 3G 斤M641： 0点评：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键.3. （2019苏州中考

27、第26题）如图，AB为。的直径，C为。上一点，D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点 E、F.(1)求证：DO/AC;(2)求证：DE?DA = DC2;(3)若 tan/CAD二求 sin/CDA 的值.【分析】（1）点D是配中点，OD是圆的半径，又 ODLBC,而AB是圆的直径，则/ACB=90° ,故：AC/OD;（2）证明 DCEs DCA,即可求解；(3)=3, SPA AEC DEF 的相似比为 3,设：EF = k,贝U CE = 3k, BC=8k, tan DF1-2则AC=6k, AB=10k,即可求解.【解析】(1)因为点D是弧BC的中点，所以/CAD=/

28、BAD,即/CAB = 2/BAD,而/ BOD=2ZBAD,所以/ CAB=Z BOD, 所以 DO / AC;(2) CD = ./ CAD = Z DCB, . DCEA DAC, .CD2=DE?DA;1(3) tanZCAD = 5,连接 BD ,贝U BD = CD ,/ DBC = / CAD,在 RtBDE 中，tan/DBE二爵三需 设：DE = a,则 CD=2a,而 CD2=DE?DA,则 AD = 4a,AE=3a,AE3,DE而 AECs DEF ,即 AEC和 DEF的相似比为 3,设：EF=k,则 CE=3k, BC=8k,1tan/ CAD三日， .AC=6k,

29、 AB = 10k,3 sin/ CDA二号.点评：本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解.4.(2019扬州中考第25题)如图，AB是。的弦，过点。作OCOA, OC交AB于P, CP=BC.(1)求证：BC是。的切线；(2)已知/ BAO=25° ,点Q是看遍j上的一点.求/ AQB的度数；若OA=18,求血雪的长.OAB=/OBA, /CPB = /PBC,【分析】（1）连接OB,根据等腰三角形的性质得到/ 等量代换得到/ APO = / CBP,根据三角形的内角和得到/ CBO = 90° ,于是得到结论

30、；（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到/ABO = 25° , ZAPO=65° ,根据三 角形外角的性质得到/ POB=Z APO-Z ABO =40° ,根据圆周角定理即可得到结论;【解答】（1）证明：连接OB,根据弧长公式即可得到结论. .OA= OB, ./ OAB=Z OBA, , PC= CB, ./ CPB=/ PBC, . / APO=/ CPB, ./ APO=/ CBP, .OCXOA, ./ AOP=90° , ./ OAP+/APO = 90° , ./ CBP+Z ABO=90° , ./ CBO= 9

31、0° , .BC是。O的切线；(2)解：.一/ BAO = 25° , ./ ABO =25 ° , / APO = 65 ° ,POB=Z APO - Z ABO = 40，/AQB=与(/AOP+/POB) =4 M130° =65° ; 金总, / AQB = 65° , ./ AOB=130° ,赤京的长B的长三咒常18三23兀.点评：本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键.5. （2019盐城中考第 25题）如图，在

32、 RtABC中，/ACB=90° , CD是斜边 AB上的中线，以CD为直径的。分别交AC、BC于点M、N,过点N作NELAB,垂足为E.5（1）若。O的半径为一，AC=6,求BN的长;2【分析】（1）由直角三角形的性质可求 AB=10,由勾股定理可求 BC=8,由等腰三角形的性质可得BN=4;（2）欲证明NE为。O的切线，只要证明 ONLNE.【解析】（1）连接DN , ONED OO的半径为 2 .CD = 5 /ACB=90° , CD是斜边 AB上的中线，BD= CD = AD = 5,AB= 10,BC- 77 J-8CD为直径 ./ CND= 90°

33、,且 BD = CDBN= NC=4(2) /ACB = 90° , D为斜边的中点，.-.CD = DA=DB=AB, ./ BCD = Z B, .OC=ON, ./ BCD = Z ONC, ./ ONC=Z B, .ON / AB,NE± AB, ONXNE,NE为。O的切线.点评：本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.6. (2018年南京中考第 26题)如图，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，连接 DE .过点A作AFLDE,垂足为F,。经过点C、D、F,与AD相交于点 G.(1)求证： AFGA DF

34、C;(2)若正方形 ABCD的边长为4, AE=1,求。的半径.【分析】(1)欲证明 AFGsDFC,只要证明/ FAG = /FDC, / AGF =(2)首先证明CG是直径，求出 CG即可解决问题；【解答】(1)证明：在正方形 ABCD中，/ ADC = 90o , / CDF + Z ADF= 90° , afxde, ./ AFD = 90o , / DAF + Z ADF =90° , ./ daf = z cdf, 四边形gfcd是。的内接四边形， / FCD+Z DGF = 180° , / FGA+Z DGF= 180° , ./ fga

35、=z fcd,afga dfc.(2)解：如图，连接 CG. ,/ ead = /AFD = 90° , / eda = /adf, . edaa adf,EA DAEA AF-=,即=一,&F DFDA DF afga dfc,AG 总方-=，DC EWTAG一二一, X DA在正方形 ABCD中， DA=DC,，AG=EA=1, DG = DA-AG = 4T=3,CG=+ DC- =5,. / CDG = 90° ,.CG是。的直径，O O的半径为一. 2点评：本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题

36、，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.【专项突破】【题组一】1. (2020?连云港模拟)如图，矩形 ABCD中，AB=4, BC=6, E是BC边的中点，点 P在 线段AD上，过P作PFXAE于F,设PA = x.(1)求证： PFAs abe；(2)当点P在线段AD上运动时，是否存在实数 x,使得以点P, F, E为顶点的三角形 也与 ABE相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由；(3)探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：案三或0WXV 1口B5【分析】(1)根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三

37、角形相似;(2)由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当/PEF = /EAB时，则得到四边形 ABEP为矩形，从而求得x的值；当/PEF = /AEB时，再结合(1)中的结论，得到等腰 APE.再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.(3)首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆 D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围.【解答】(1)证明：如图1中,B矩形 ABCD, ./ ABE = 90 ° , AD / BC, ./ FAF = / AEB,又; PF± A

38、E, ./ PFA = 90° =/ ABE, . PFAA ABE.(2)解：分二种情况:若EFPsabe,如图 1,则/ PEF = /EAB,PE/ AB,四边形ABEP为矩形,.-.PA=EB=3,即 x=3,如图 2,若 PFEsABE,则/ PEF = /AEB,BS2. AD / BCPAF = Z AEB, ./ PEF = Z PAF.PE= PA. PFXAE,点F为AE的中点， ABE 中，AB=4, BE=3,AE=5,”二广三，PFEAABE,E 3 '睦=得,（8分）.满足条件的x的值为3或三.(3)如图3,当。D与AE相切时，设切点为 G,连接D

39、G,图3AP=x,PD一DG= 6 - x,. Z DAG = Z AEB, Z AGD = Z B= 90 ,AGDA EBA,日弓<=当。D过点E时，如图4, OD与线段有两个公共点，连接 DE,此时PD=DE = 5,AP= x = 6 5= 1,当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件:0< x< 1;故答案为:x满足的条件：基=£或0*<1.J12. (2020?陆丰市模拟)如图， ABC中，以AB为直径作OO,交BC于点D, E为弧BD上一点，连接 AD、DE、AE,交BD于点F.(1)若/ CAD = Z AED,求

40、证：AC为。O的切线；(2)若 DE2=EF?EA,求证：AE 平分/ BAD;(3)在(2)的条件下，若 AD=4, DF=2,求OO的半径.【分析】(1)由圆周角定理可得/ BDA = 90° ,可得/ DBA+ZDAB=90° ,可证/ BAC = 90° ,由切线的判定可证 AC为。的切线；(2)通过证明 DEFsAED,可得/ EDF = /DAE,可得/ BAE = /DAE,即 AE 平 分/ BAD;(3)过点F作FHXAB,垂足为H,由角平分线的性质可得DF = FH=2,由面积法可求AB = 2BF,由勾股定理可求 BF的长，即可求。的半径.【

41、解答】证明：(1) ; AB是直径， ./ BDA=90° , ./ DBA+Z DAB = 90° , . / CAD = Z AED, / AED = Z ABD, ./ CAD = Z ABD, ./ CAD+Z DAB= 90BAC=90° ,即ABXAC,且AO是半径,.AC为。O的切线；(2) DE2= EF?EA,防 DE . DEFA AED, ./ EDF = Z DAE, . / EDF = Z BAE, ./ BAE=Z DAE ,AE 平分/ BAD;(3)如图，过点F作FHAB,垂足为H,. AE 平分/ BAD, FH ±AB

42、, /BDA = 90° ,DF= FH = 2,. SaABF=tABX FH= vBFX AD -2AB=4BF,AB=2BF,在 RtMBD 中，AB2=BD2+AD2, . (2BF) 2= (2+BF) 2+16,BF=号，BF = - 2 (不合题意舍去) . AB-20TIDOO的半径为 s3. (2020?播州区校级模拟)如图，RtAABC 中，/ ACB= 90° , AC = 6, AB=10, 0C 与AB相切于点D,延长AC到点E,使CE=AC,连接EB.过点E作BE的垂线，交 OC 于点P、Q,交BA的延长线于点F.(1)求AD的长；(2)求证：E

43、B与。C相切；(3)求线段PQ的长. ./ ACD = Z CBA= a,32【分析】(1) sin/ABC二通二产A D3AD = ACsin g m；(2)过点C作CFXBE交BE于点F,则CF=CD =圆的半径=BCsin庄 三，即可求解;(3)证明四边形 EGCF为矩形，CG=EF = FCtan/，PQ=2PG,即可求解.【解答】解：(1)连接CD,则CDXAB,. CE= AC, /ACB=90° ,AC= 6, AB = 10, BC=8,AC J3sin/ ABC三芯三号三sin a,则tan产* ,AD = ACsin”二手(2)过点C作CKXBE交BE于点K, .

44、 /ACB=90° , CE = AC, ./ CBA=Z CBK= &24.CK= CD =圆的半径=BCsin月等， EB与。C相切；(3)过点C作CGXFE交FE于点G, . /BEF = 90° , CG± EF, CFXBE, 四边形EGCF为矩形，3 3 L£CG= EF= FC tan a= BC?sin a?tan a= 8 工弓 N 4三工,PQ= 2PG = 2一 W = 2；痣尸 一 尸二？.4. （2020?萧山区一模）如图，以 AB为直径作半圆 。，点C是半圆上一点，/ ABC的平分线交。于E, D为BE延长线上一点，且

45、 DE = FE.（1）求证：AD为。切线；(2)若 AB = 20, tan/EBA+，求 BC 的长.【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明/4= / 2,再利用AB为直径得到/2+/BAE=90° ,则/ 4+/BAE=90° ,然后根据切线的判定方法得到AD为。切线;(2)解：根据圆周角定理得到/ ACB=90° ,设AE=3k, BE=4k,贝U AB=5k= 20,求得AE=12, BE = 16,连接OE交AC于点G,如图，解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明：BE平分/ABC,1 = / 2,. AB为直径， AEXBD, DE=

46、 FE,/ 3= / 4, / 1 = 7 3,4=7 2, , AB为直径， ./ AEB = 90° , / 2+/ BAE = 90°.Z 4+Z BAE = 90° ,即/ BAD = 90° ,AD± AB,AD为。O切线；(2)解：.AB为直径， ./ ACB=90° ,在 RtMBC 中, tanZEBA=1, ,设 AE=3k, BE = 4k,贝U AB=5k=20, .AE=12, BE = 16,连接OE交AC于点G,如图，D1 = / 2,. 丽二电OEXAC,3=Z 2,tan/EBA = tan/3=g,

47、4.设 AG = 4x, EG = 3x,AE=5x= 12,1. OG / BC,AC= 2AG=巧,BC= -=【题组二】5. (2019?亭湖区二模)如图， OA、OB是。O的两条半径，OAOB, C是半径OB上一动点，连接AC并延长交。于D,过点D作圆的切线交 OB的延长线于E,已知OA=6.(1)求证：/ ECD =/ EDC;(2)若 BC=2OC,求 DE 长；(3)当/ A从15°增大到30°的过程中，求弦 AD在圆内扫过的面积.【分析】(1)连接OD,由切线的性质得出/ EDC + /ODA = 90° ,由等腰三角形的性质得出/ODA = /O

48、AC,得出/ EDC = /ACO,即可得出结论；(2)设DE=x,则CE=DE = x, OE = 2+x,在RtAODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；(3)过点 D作DFXAO交AO的延长线于 F,当/ A= 15°时，/ DOF = 30° ,得出11 1DF = OD = OA = 3, Z DOA= 150° , S 弓形ABD=S 扇形 oda Saaod=15tt9,当Z A= 30°时，/ DOF = 60° , S弓形abd = S扇形oda Saod= 12兀9序，即可得出结果.【解答】(1)证明：连接OD,如图1所示

49、： ./ EDC+Z ODA = 90° , .OAXOB, ./ACO+/OAC= 90° , OA、OB是。O的两条半径，.OA= OB, ./ ODA = Z OAC, ./ EDC = / ACO, . / ECD = Z ACO, ./ ECD = Z EDC;(2)解：. BC=2OC, OB=OA=6,.OC = 2,设 DE = x, . / ECD = Z EDC,.CE= DE = x,.OE=2+x, . / ODE = 90° ,.-.od2+de2=oe2,即：62+x2= ( 2+x) 2,解得：x=8,DE= 8;(3)解：过点D作D

50、F LAO交AO的延长线于F,如图2所示:51DF= Odd- ioA=3, /DOA = 150。,4 50"&1lS 弓形 ABD = S 扇形 ODA SaAOd*A?DF = 15 兀亍 36X3=15 兀一9,当/ A=30° 时，/ DOF = 60° ,DF/ DOA= 120° ,S 弓形 ABD = S 扇形 ODA SaAO一;OA?DF= 12l，6X 当/ A从15°增大到30°的过程中，AD在圆内扫过的面积=(15兀-9)- (12兀- 9.5)=3 ti+9v13 -9.6.(2020?长春模拟)如

51、图，AB是。O的直径，BD是。O的弦，延长 BD到点C,使DC = BD,连接 AC, E为AC上一点，直线 ED与AB延长线交于点 F,若/ CDE = / DAC , AC= 12.(1)求。O半径；(2)求证：DE为。的切线；【分析】(1)证明ADXBC,可得AB=AC=12,则半径可求出;(2)连接OD,由平行线的性质，易得 ODLDE,则结论得证.【解答】解：(1) .AB为。的直径， ./ ADB = 90° ,AD± BC,又 BD = CD,AB= AC= 12,。0半径为6;(2)证明：连接0D, . / CDE = Z DAC, ./ CDE+Z C=Z

52、 DAC + Z C, ./ AED = Z ADB,由（1）知/ ADB=90° , ./ AED=90° , . DC = BD, OA=OB .OD /AC. ./ ODF = Z AED = 90° , 半径 ODEF.DE为。O的切线.7. (2020?宿州模拟)如图，点 。是4ABC的边AB上一点，。与边AC相切于点巳与边BC、AB分别相交于点 D、F,且DE=EF.(1)求证：/ C=90° ;(2)当 BC=3, sinA=1时，求 AF 的长.【分析】(1)连接OE, BE,因为DE =所以OE/BC,从可证明 BCXAC;EF,所以。

53、5三EF ,从而易证/ OEB = /(2)设。O的半径为r,则AO=5- r,在 RtAAOE 中，sinA=3从而可求出r的值. .朝二套,OBE=Z DBE,.OE= OB, ./ OEB=Z OBE, ./ OEB=Z DBE,OE / BC, OO与边AC相切于点E,OEXAC,BC，AC,C=90° ;(2)在ABC, Z C=90° , BC=3, sinfc |,AB=5,设。的半径为r,则AO=5-r,在 RtAAOE 中，sinA 需=于三=:，15石，“L L C,1S 5AF = 5 - 2-百二1.8.(2020?海门市一模)如图， ABC中，AB

54、=AC,以AB为直径的。交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF LAC于点F,交AB的延长线于点 G.(1)若 AB = 10, BC= 12,求 DFC 的面积；(2)若 tanZC=2, AE=6,求 BG 的长.【分析】(1)连接AD,由AB是。O的直径，得到 ADXBC,根据等腰三角形的性质得 到DFLAC,根据射影定理得到 CD2=CF?AC,根据三角形的面积公式即可得到结论；(2)连接BE,由AB是。O的直径，得到 BEX AC,根据已知条件得到 BE=2DF,设CF=EF = x,则DF=2x,得到BE = 4x, AB=AC = 6+2x,根据勾股定理列方程得到AB= 10, BE = 8,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)连接AD,AB是。O的直径，AD± BC,AB= AC= 10,DF± AC, BD= CD