结构力学——力法

1、结构力学傅向荣一一.超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构的静力特征和几何特征静力特征静力特征:仅由静力平衡方程不能求出仅由静力平衡方程不能求出 所有内力和反力所有内力和反力. 超静定问题的求解要同时考虑结构的超静定问题的求解要同时考虑结构的“变变形、本构、平衡形、本构、平衡”.几何特征几何特征:有多余约束的几何不变体系。有多余约束的几何不变体系。一一.超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构的静力特征和几何特征 与静定结构相比与静定结构相比, 超静定结构的优点为超静定结构的优点为: 1.内力分布均匀内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强抵抗破坏的能力强1.内力与材料的物理性质内力与材料的物理性

2、质、截面的几何形状和尺寸有关截面的几何形状和尺寸有关。二二.超静定结构的性质超静定结构的性质2.温度变化、支座移动一般会产生内力温度变化、支座移动一般会产生内力。一一.超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构的静力特征和几何特征1.力法力法-以多余约束力作为基本未知量以多余约束力作为基本未知量。二二.超静定结构的性质超静定结构的性质2.位移法位移法-以结点位移作为基本未知量以结点位移作为基本未知量.三三.超静定结构的计算方法超静定结构的计算方法3.混合法混合法-以结点位移和多余约束力作为以结点位移和多余约束力作为 基本未知量基本未知量.4.力矩分配法力矩分配法-近似计算方法近似计算方法.5.矩

3、阵位移法矩阵位移法-结构矩阵分析法之一结构矩阵分析法之一.一一.超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构的静力特征和几何特征力法等方法的基本思想力法等方法的基本思想: 1.找出未知问题不能求解的原因找出未知问题不能求解的原因, 2.将其化成会求解的问题将其化成会求解的问题, 3.找出改造后的问题与原问题的差别找出改造后的问题与原问题的差别, 4.消除差别后消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解改造后的问题的解即为原问题的解二二.超静定结构的性质超静定结构的性质三三.超静定结构的计算方法超静定结构的计算方法 一一.力法的基本概念力法的基本概念101基本体系基本体系待解的未知问题待解的未知问题

4、变形条件变形条件 1X力法基本力法基本未知量未知量一一.力法的基本概念力法的基本概念10101111P11111X01111PX22/qlMPlM1EIl3311/EIqlP841/)(/831qlXPMXMM1182/qlM1.确定基本体系确定基本体系2.写出位移条件写出位移条件,力法方程力法方程3.作单位弯矩图作单位弯矩图,荷载弯矩图荷载弯矩图;4.求出系数和自由项求出系数和自由项5.解力法方程解力法方程6.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图一一.力法的基本概念力法的基本概念10101111P11111X01111PX22/qlMPlM1EIl3311/EIqlP841/)(/831qlXPMX

5、MM1182/qlM1.确定基本体系确定基本体系 4.求出系数和自由项求出系数和自由项2.写出位移条件写出位移条件,力法方程力法方程 5.解力法方程解力法方程3.作单位弯矩图作单位弯矩图,荷载弯矩图荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图llEIEIP作弯矩图作弯矩图.练习练习1.确定基本体系确定基本体系 4.求出系数和自由项求出系数和自由项2.写出位移条件写出位移条件,力法方程力法方程 5.解力法方程解力法方程3.作单位弯矩图作单位弯矩图,荷载弯矩图荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图llEIEIPX1PX1=1PlM1PlMP0101111PXEIl34311/EIPlP2

6、31/)(/831PXPMXMM11解解:MPl83Pl85llEIEIP1.确定基本体系确定基本体系 4.求出系数和自由项求出系数和自由项2.写出位移条件写出位移条件,力法方程力法方程 5.解力法方程解力法方程3.作单位弯矩图作单位弯矩图,荷载弯矩图荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图X1PX1=1lM10101111PXEIl3311/EIPlP231/)(/231PXPMXMM11解解:llEIEIPPPlMPMPlPl23二二.力法的基本体系与基本未知量力法的基本体系与基本未知量 超静定次数超静定次数: : 多余约束个数多余约束个数. . 几次超静定结构几次超静定结构?比较法

7、比较法: :与相近的静定结构与相近的静定结构 相比相比, , 比静定结构比静定结构 多几个约束即为几多几个约束即为几 次超静定结构次超静定结构. .X X1 1X X2 2X X1 1X X2 2力法基本体系不惟一力法基本体系不惟一. .若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. .去掉几个约束后成为静去掉几个约束后成为静定结构定结构, ,则为几次超静定则为几次超静定X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3去掉一个链杆或切断去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个链杆相当于去掉一个约束一个约束去掉一个固定端支去掉一个固

8、定端支座或切断一根弯曲座或切断一根弯曲杆相当于去掉三个杆相当于去掉三个约束约束. .1X2X3X1X2X3X1X2X3X将刚结点变成铰结将刚结点变成铰结点或将固定端支座点或将固定端支座变成固定铰支座相变成固定铰支座相当于去掉一个约束当于去掉一个约束. .2X3X1X2X3X1X几何可变体系不能几何可变体系不能作为基本体系作为基本体系一个无铰封闭框有一个无铰封闭框有三个多余约束三个多余约束. .1X2X3X4X5X6X1X2X3X根据计算自由度根据计算自由度确定超静定次数确定超静定次数31928W基本结构指去掉多基本结构指去掉多余约束后的结构余约束后的结构（14 次）14436(1 次）1172

9、8(6 次)6333(4 次)4533(6 次)618381X2X3X4X5X6X7X8X9X10X10836 一一.力法的基本概念力法的基本概念二二.力法的基本体系与基本未知量力法的基本体系与基本未知量三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算1.力法的典型方程力法的典型方程qllEI2EIqllEI2EIX1X212变形条件变形条件:00211.力法的典型方程力法的典型方程qllEI2EIqX1X212变形条件变形条件:0021qX1=11X1121X2=12X2212P1P2012121111PXX022221212PXX-力法的典型方程力法的典型方程)(jiij主系数主

10、系数0)(jiij付系数付系数iP荷载系数荷载系数jiij位移互等位移互等柔度系数柔度系数1.力法的典型方程力法的典型方程qllEI2EIqX1X212qX1=11XX2=12X11212212P1P201212111PXX02222121PXXEIllEIllEI3321167132221M1lM2lMP22/qlEIlllEI32122121EIlllEI32212121EIlllEI3222313221EIqlP41169EIqlP424140320921/,/qlXqlXPMXMXMM2211202ql402/qlM内力分布与内力分布与刚度无关吗刚度无关吗? 荷载作用下超静定结构内力分

11、布与刚度的绝对值无关只与各杆刚度的比值有关.qllEI2EIqX1X212202ql402/qlM01212111PXX02222121PXX40320921/,/qlXqlX0021q1X2X40202221/,/qlXqlX01212111PXX02222121PXX00211X2X40203221/,/qlXqlX01212111PXX02222121PXX0021小结小结:1.力法的典型方程是体系的变形协调方程力法的典型方程是体系的变形协调方程2.主系数恒大于零主系数恒大于零,付系数满足位移互等定理付系数满足位移互等定理3.柔度系数是体系常数柔度系数是体系常数4.荷载作用时荷载作用时,

12、内力分布与刚度大小无关内力分布与刚度大小无关,与与 各杆刚度比值有关各杆刚度比值有关.荷载不变荷载不变,调整各杆刚调整各杆刚 度比可使内力重分布度比可使内力重分布.三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算1.力法的典型方程力法的典型方程求求A截面转角截面转角00212.超静定结构的位移计算与力法计算的校核超静定结构的位移计算与力法计算的校核(1).位移计算位移计算qllEI2EIAX2X1Aq202ql402/qlM202ql402/qlM1Mi)()(EIqlqllqllEIA32280114021120211求求A截面转角截面转角(1).位移计算位移计算qllEI2EIA

13、X2X1Aq202ql402/qlM202ql402/qlM1Mi)()(EIqlqllqllEIA322801140211202111X2X202ql402/qlM1Mi)()(EIqlqllqllEIA3228012183232202121单位荷载法单位荷载法求求超静定结构位超静定结构位移时移时,单位力可单位力可加在任意力法加在任意力法基本结构上基本结构上.(2).力法计算校核力法计算校核qllEI2EIAX2X1Aq202ql402/qlM202ql402/qlM011dsEIMM022dsEIMMX1=1M1lX2=1M2l三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算1.

14、力法的典型方程力法的典型方程例例1. 力法解图示结构力法解图示结构,作作M图图.012.超静定结构的位移计算与力法计算的校核超静定结构的位移计算与力法计算的校核3.算例算例l/2EIEIPl/2lX1PPX1=183/PlMP2/ lM1解解:01111PX323/PlMEIl6311/EIPllPlllPllEIP961144212232421131)(4/Pl16111/PX PMXMM1101l/2EIEIPl/2lX1PPX1=183/PlMP2/lM1解解:01111PX323/PlMEIl6311/EIPllPlllPllEIP961144212232421131)(4/Pl161

15、11/PXPMXMM1101解解:01111PXEIl 3211/EIPlPllEIP16214211213231/PlX PMXMM11PX14/PlMPP1M1X1=1另一解法另一解法03113000321PX1=1M1X2=1M2M3X3=1PMPX1PX2X3X1=1X2=1X3=1PM1M2M3MPPX1X2X3000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX032PP例例2. 力法解图示结构力法解图示结构,作作M图图.解解:PllX1PX2X3000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX 033

16、2233113P 023232333EAlGAskQEAsNEIsMd dd03X0022221211212111PPXXXX EIl 32211/EIl 62112/EIPlPP16221/882221/PlXplXPMXMXMM221182/Pl例例3. 力法解图示桁架力法解图示桁架.EA=常数常数.解解:Paa1XP0101111PXEAaEAlNN)(2141111EAPaEAlNNPP)(2121121/PXPNXNN11PP2P00P00NP11XN111111221XP-P/2-P/2P/2P/222 /22 /1X1XEAaX1101解：解：kXXP/11111 )(32251

17、qlX例例 4. 求作图示梁的弯矩图。求作图示梁的弯矩图。PMXMM11)1(1111kXP ,310lEIk 当当k当当)(qlX451EIkX /11EIl6311EIPlP245310k当当01X解：解：01111PX 例例 5. 求解图示加劲梁。求解图示加劲梁。横梁横梁44m101IEIEAEIP3 .533,2 .1267.10111 当当kN .,m 944101123XAPP,NXNNMXMM1111%./.3191925080415当当kN .,m 944101123XA23m107 . 1AqlX4598.4967.103 .5331当当,A梁的受力与两跨梁的受力与两跨连续梁

18、相同。连续梁相同。（同例（同例4 4中中 ）k下侧正弯矩为下侧正弯矩为设基本未知力为设基本未知力为 X，则，则2)05. 04(5)05. 04)(5 . 040(XXXX跨中支座负弯矩为跨中支座负弯矩为80)5 . 040(4X根据题意正弯矩等于负弯矩，可得根据题意正弯矩等于负弯矩，可得862915.46X有了基本未知力，由典型方程可得有了基本未知力，由典型方程可得23m 1072. 1AEAlFFEAlFPNPN112N111, 其中：其中：解得：解得：223P1FX（拉）（拉）解：解：基基本本体体系系FPFP力法典型方程为：力法典型方程为：01111PX 例例 6. 求超静定桁架的内力。

19、求超静定桁架的内力。 FPFP=PFP=PFPFNP 图图NFEA为常数为常数各杆最后内力由各杆最后内力由叠加法得到：叠加法得到：NP11NNFXFF基基本本体体系系FPFPFP=PFPN1F解：解：“ 3“ 3、4 4两结点两结点的相对位移的相对位移 等于所拆除杆的拉等于所拆除杆的拉（压）变形（压）变形 ” ”34 34l FPFP FP=PFPFNP 图图自乘求自乘求1111互乘求互乘求1P1P或互乘求或互乘求1111X X1 122221)222121 422222(1P11P11134aFXaaEAX EAXal1342 令：令：3434l 有：有：223P1FX（拉）（拉）三三.荷载

20、作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算1.力法的典型方程力法的典型方程2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核超静定结构的位移计算与力法计算的校核3.算例算例4.无弯矩情况判别无弯矩情况判别 在在不计轴向变形不计轴向变形前提下前提下,下述情况无弯矩下述情况无弯矩,只有轴力只有轴力.(1).集中荷载沿柱轴作用集中荷载沿柱轴作用P(2).等值反向共线集中荷等值反向共线集中荷 载沿杆轴作用载沿杆轴作用.PP(3).集中荷载作用在不动结点集中荷载作用在不动结点P可利用下面方法判断可利用下面方法判断: 化成铰接体系后化成铰接体系后,若能若能平衡外力平衡外力,则原体系无弯矩则原体系无弯矩.4.无

21、弯矩情况判别无弯矩情况判别000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX 0321PPP奇次线性方程的奇次线性方程的系数组成的矩阵系数组成的矩阵可逆可逆,只有零解只有零解.0321XXXPMXMXMXMM332211三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算1.力法的典型方程力法的典型方程2.超静定结构的位移计算与力法计算的校核超静定结构的位移计算与力法计算的校核3.算例算例4.无弯矩情况判别无弯矩情况判别5.超静定拱的计算超静定拱的计算PPX1X1=111PP1dsGAQdsEANdsEIM2121211101111PX01dsEI

22、MMPP11通常用数值积分方法或计算机计算通常用数值积分方法或计算机计算 一一.力法的基本概念力法的基本概念二二.力法的基本体系与基本未知量力法的基本体系与基本未知量三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算四四.对称性对称性 (Symmetry) 的利用的利用对称结构对称结构非对称结构非对称结构支承不对称支承不对称刚度不对称刚度不对称几何对称几何对称支承对称支承对称刚度对称刚度对称对称荷载对称荷载: :作用在对称结构对称轴两侧作用在对称结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,方向方向 和作用点对称的荷载和作用点对称的荷载反对称荷载反对称荷载: :作用在对称结构对称轴两侧作用

23、在对称结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,作作 用点对称用点对称, ,方向反对称的荷载方向反对称的荷载PP对称荷载对称荷载PP反对称荷载反对称荷载PllMllPllEI=CllEI=CM.选取对称基本结构选取对称基本结构,对称基本未对称基本未知量和反对称基本未知量知量和反对称基本未知量1X2X3X11XM112XM213XM3MP 000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX 032233113 0003333P2222121P1212111PXXXXX 典型方程分为两组典型方程分为两组:一组只含对称未知量一组只含对称未知量另一组只含反对称未

24、知量另一组只含反对称未知量对称荷载对称荷载,反对称未知量为零反对称未知量为零反对称荷载反对称荷载,对称未知量为零对称未知量为零1X2X3X11XM112XM213XM3PMXMXMM2211对称荷载对称荷载,反对称未知量为零反对称未知量为零反对称荷载反对称荷载,对称未知量为零对称未知量为零MPX3=0对称结构在正对称荷载作用下，对称结构在正对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是正对称的其弯矩图和轴力图是正对称的,剪力图反对称；变形与位移对称剪力图反对称；变形与位移对称.对称荷载对称荷载:1X2X3X11XM112XM213XM3PMXMM33对称荷载对称荷载,反对称未知量为零反对称未知量为零反对称

25、荷载反对称荷载,对称未知量为零对称未知量为零MPX1= X2 =0对称结构在反正对称荷载作用下，对称结构在反正对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是反正对称的其弯矩图和轴力图是反正对称的,剪力图对称；变形与位移反对称剪力图对称；变形与位移反对称.反正对称荷载反正对称荷载:Pl/2l/2EI1X2X3XP/2P/201111PX11XM11MPP/2P/2Pl/4Pl/4EIl11EIPlP83181PlXPMXMM11MPPl/8Pl/8解：解：0P1 111 X11144EI 11800EIP 15 .12X P11MXMM例例:求图示结构的弯矩图。求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。.选取对

26、称基本结构选取对称基本结构,对称基本未对称基本未 知量和反对称基本未知量知量和反对称基本未知量取半结构计算取半结构计算A.无中柱对称结构（奇数跨结构）无中柱对称结构（奇数跨结构）对称荷载对称荷载:半结构半结构取半结构计算取半结构计算A.无中柱对称结构（奇数跨结构）无中柱对称结构（奇数跨结构）对称荷载对称荷载:反对称荷载反对称荷载:半结构半结构取半结构计算取半结构计算A.无中柱对称结构（奇数跨结构）无中柱对称结构（奇数跨结构）对称荷载对称荷载:反对称荷载反对称荷载:B.有中柱对称结构（偶数跨结构）有中柱对称结构（偶数跨结构）对称荷载对称荷载:反对称荷载反对称荷载:练习练习:练习练习:M1MPM0

27、P1 111 XEIplEIlP2331311,231PXPMXMM110P1 111 XEIplEIlP1624731311,PX1431PMXMM11M1MPM3Pl/28Pl/7Pl/73Pl/28Pl/73Pl/28Pl/73Pl/282Pl/73Pl/140P1 111 XEIplEIlP4322111,PlX831PMXMM11M1MPM3Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/83Pl/8例例4：求作图示圆环的弯矩图：求作图示圆环的弯矩图, EI=常数。常数。解：解： 取结构的取结构的1/4分析分析11 MsinP2PRM ,dEIREIsM22111 ,dMPEIPREI

28、sMP2211PRX 1)sin(P2111PRMXMM若只考虑弯矩对位移的影响，有：若只考虑弯矩对位移的影响，有：例例 5. 试用对称性对结构进行试用对称性对结构进行简化。简化。EI为常数。为常数。P /2P/2P/2P /2I/2I/2P /2P /2I/2方法方法 1PP /2P /2PP /4P /4P /4I/2P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2P /4例例 5. 试用对称性对结构进行试用对称性对结构进行简化。简化。EI为常数。为常数。方法方法 2PP /2P /2PP /4P/2P /4P /4P /2P /4P /4P/2P /4P /4

29、P /2P /4P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2t 1t2 一一.力法的基本概念力法的基本概念二二.力法的基本体系与基本未知量力法的基本体系与基本未知量三三.荷载作用下超静定结构的计算荷载作用下超静定结构的计算四四.对称性对称性 (Symmetry) 的利用的利用五五.温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算t1t1t2t1t1t1t2t1X1X2t1t1t2t10022221211212111ttXXXX0021htltNiiit)(0)(.)( dilhtltNEIsMMiiKy75340解：解：01111 tX 例例. 求图示刚架由于温度变化引起求图示刚架由于温度变化引起的内力与的内力与K点的位移。点的位移。 t1=+250C t2=+350C,EI=常数常数,矩形截面矩形截面,h=l/10.10300