导数与微分习题课件

1、第三章估值问题导数与微分主要内容 一、目的要求二、内容结构三、典型例题 四、练习题导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件 理解导数概念与的几何意义理解导数概念与的几何意义, ,知道导数的物理知道导数的物理 意义，了解可导与连续性的关系；意义，了解可导与连续性的关系； 理解函数的微分概念，掌握微分法则，会求理解函数的微分概念，掌握微分法则，会求函函 数的一阶微分数的一阶微分, ,掌握微分在近似计算中对简单掌握微分在近似计算中对简单 问题应用问题应用. . 熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则，熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则， 复合函数及隐函数的求导方法复合函数及隐函数的求导方法;

2、 ; 理解高阶导数的概念，会求简单函数的理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；阶导数；目的要求导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件 重点：重点：导数与微分的概念及几何意义，导数与微分的概念及几何意义，求函数（包括复合函数、隐函数）求函数（包括复合函数、隐函数）的导数的导数. .难点：难点：对隐函数求导对隐函数求导. .重点与难点导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件知识网络图导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件导导数数与与微微分分导数导数导数的概念导数的概念导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义高阶导数高阶导数单侧导数单侧导

3、数连续与可导的关系连续与可导的关系导数的运算法则及导数公式导数的运算法则及导数公式导数的四则运算法则导数的四则运算法则导数公式导数公式复合函数求导法则复合函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则微分微分微分的概念微分的概念微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义可导与可微的关系可导与可微的关系微分公式和运算法则微分公式和运算法则微分公式微分公式微分的运算法则微分的运算法则微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用00000()()limlimxxxxf xxf xyyxx 可导一定连续，连续不一定可导可导一定连续，连续不一定可导. . 2 ( )( )( )( ) ( )( )( )

4、 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xv xu xv xu xv xu x v xu x v xu xu x v xu x v xv xv xvx 复复合合函函数数的的导导数数，等等于于函函数数对对中中间间变变量量的的导导数数乘乘以以中中间间变变量量对对自自变变量量的的导导数数. .设设函函数数在在点点 处处有有增增量量如如果果 的的增增量量可可写写为为 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数为为的的线线性性主主部部是是的的高高阶阶无无穷穷小小 则则称称函函数数在在点点可可微微并并 定定称称为为在在点点处处的的微微分分 记记义义作作d d 或或

5、d d( ),(), (),( ),( ),( ).yf xxxyyyAxoxAxAxyoxxyf xxAxyf xxyf x 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件 ( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x 例例求求e e的的导导数数1( )(sincos ).xf xxx 解解e e(sincos )xyxx e ee e() (sincos )(sincos )xxxxxx (sincos )(cossin )xxxxxx e ee e提示与分析：提示与分析：利用导数的乘法法则求解利用导数的乘法法则求解. .例题2cos .xx e e导

6、数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件222222yxxyxyx 例例 抛抛物物线线上上哪哪一一点点处处的的切切线线与与直直线线平平行行？哪哪一一点点处处的的法法线线与与直直线线平平行行？提示与分析：提示与分析：,.y 根根据据导导数数的的几几何何意意义义表表示示出出抛抛物物线线上上任任一一点点的的切切线线斜斜率率然然后后根根据据已已知知条条件件列列方方程程、解解方方程程即即可可导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件即即要要满满足足222,x 解解 抛抛物物线线上上任任一一点点处处切切线线的的斜斜率率为为22,kyx 解解得得2,2.xy要要使使得得某某一一点点的的切切线线与

7、与平平行行，2yx 222(0,2)2.yxxyx 所所以以抛抛物物线线上上点点处处的的切切线线与与直直线线平平行行要要使使得得某某一一点点的的法法线线与与平平行行，2yx 即即要要满满足足122,2x 解解得得317,.416xy 23 1722(,)4 162.yxxyx 所所以以抛抛物物线线上上点点处处的的法法线线与与直直线线平平行行22222yxxyxyx 抛抛物物线线上上哪哪一一点点处处的的切切线线与与直直线线平平行行？哪哪一一点点处处的的法法线线与与直直线线平平行行？导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件222yxx2yx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件

8、解解一一cos(cot)()sinxxx 2(cos ) sincos (sin )sinxxxxx 222sincossinxxx 221csc.sinxx 3cot.yx 例例求求的的导导数数提示与分析：提示与分析：利用导数的除法法则求解利用导数的除法法则求解. .2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件求求的的导导数数cot.yx 解解二二1(cot)()tanxx 2(1) tan1 (tan )tanxxx 220 tan1 sectanxxx 221 secta

9、nxx 2221coscossinxxx 221csc.sinxx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件2314ln(2).2xyxx 例例求求函函数数的的导导数数解解211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx 21.13(2)xxx提示与分析：提示与分析：利用复合函数求导法则求解利用复合函数求导法则求解. .链式法则链式法则导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件52405351( )0.xyx yxxyy xxy 例例求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数在在处处的的导导数数提示与分析：提示与分析：利用隐函数求导法则求解利用隐函数求导法则

10、求解. .解解 方方程程两两边边对对 求求导导 得得：,xdddddddd524(35)(1)yx yxxxx即即524()(3)5()10yx yx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件4235(63)2010y yxyx yx 即即423(53)62010yxyxyx 解解得得：342620153xyxyyx 时时，52435101yx yxxxy 524()(3)5()10yx yx 3042162011(0,1).535xyxyxyyx 55 ( )yy x 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件106(12 ).xyx 例例求求函函数数的的导导数数此此函函数数的

11、的形形式式为为应应该该用用对对数数求求导导法法() ( ),.xf x 提示与分析：提示与分析：解解 等等式式两两边边取取对对数数得得ln(10) ln(12 )yxx求求导导得得上上式式两两边边对对 x12ln(12 )(10) ()12yxxyx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件2 ln(12 )(10)12yyxxx 102(10)(12 )ln(12 ).12xxxxx 10(12 )xyx 12ln(12 )(10) ()12yxxyx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件( )17,(0)_.(2007)23nyyx 例例设设函函数数则则年年考考研研题题

12、解解234( )(1)(23)22(23)46(23)8( 1)( !) (23)2nnnnyxyxyxynx .n根根据据 阶阶导导数数的的定定义义，逐逐阶阶求求导导数数，然然后后总总结结规规律律提示与分析：提示与分析：( )(1)1( 2)!(0)( 1)( !) 32.3nnnnnnnyn 1( 2)!3nnn 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件提示与分析：提示与分析：()( )( )636066360fff 000()()()f xxf xfxx 6360 sin380 30. 利利用用微微分分计计算算的的近近似似值值例例( )sin30 30f xx 该该题题是是求求函

13、函数数在在点点处处的的值值. .导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件000sin30 30()()()xf xxf xfxx 0( )sin ,6360f xxxx 解解 设设取取，()()66360ff 1()sin,662f 而而 13sin 30 300.5076.22360 x 于于是是 663()(sin )cos,62xxfxx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件、求求函函数数的的导导数数1sinln.yxxx 解解( sinln )yxxx( sin ) lnsin(ln )xxxxxx 1(sincos )lnsinxxxxxxx(sincos )ln

14、sin .xxxxx ( )( )( ) ( )( ) ( )u xv xu x v xu x v x 提示与分析：提示与分析：利用导数的乘法法则求解利用导数的乘法法则求解. .练习题导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件提示与分析：提示与分析：利用复合函数求导数的链式法则求解利用复合函数求导数的链式法则求解. .ddddddddyvyvx 解解22arctan ,1xyv vx 222212(1)2 ( 2 )1(1)xxxvx 222221222(1)1()1xxxx 22.1x 、求求复复合合函函数数的的导导数数222arctan.1xyx 导数与微分习题导数与微分习题PPTP

15、PT课件课件提示与分析：提示与分析：先用利用隐函数的求导法则，然后先用利用隐函数的求导法则，然后 利用复合函数求导法则对方程两边分别求导利用复合函数求导法则对方程两边分别求导. .解解 等等式式两两边边对对 求求导导：xeeeeyyyxye ee e(1)yyxy e ee e.1yyyx 、求求隐隐函函数数e e 的的导导函函数数31.yyx对对上上式式整整理理得得：导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件提示与分析：提示与分析：利用高阶导数的定义求解利用高阶导数的定义求解. .、设设e e，求求使使得得的的点点24( )( )0.xf xxfxx 解解e e2( )()xfxx e

16、eee222xxxe e2(12 )xx ( )fx eeee222(12 )2xxx e e2(12 )xx e e22(22 )xx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件1.x ( )0fx e e22(22 )0 xx 220 xe e2(0)x ( )fx e e22(22 )xx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件提示与分析：提示与分析：利用对数求导法利用对数求导法. .、设设求求15(1) ,.xyyx 1(1):xyx 解解 先先对对等等式式两两边边取取对对数数1lnln(1)yxx 再再利利用用隐隐函函数数的的求求导导法法则则对对 求求导导: :xyy 211ln(1)11xxxx 11ln(1)1xx y 111(1) ln(1).1xxxx 导数与微分习题导数与微分习题PPTPPT课件课件提示与分析：提示与分析：若若令令则则要