高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修2-2

1、第1课时利用导数研究函数的极值第一章1.3.2利用导数研究函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点极值的概念观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.答案答案答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案答案答案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在r上是增函数

2、，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.极值的概念(1)极大值与极大值点已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把 称为函数f(x)的一个极大值点.梳理梳理y极大f(x0)f(x)f(x0)y极小f(x0)极大值极小值极大值点极小值点题型探究例例1求下列函数的极值，并画出函数的草图.(1)f(x)(x21)31；解答类型一求函数的极值命题角度命题角度1不含参数的函数求极值不含参数的函数求极值解解f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2.令f(x)0，解得x11，x2

3、0，x31.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)无极值极小值0无极值当x0时，f(x)有极小值且f(x)极小值0.函数的草图如图所示.解答令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e) ，没有极小值.函数的草图如图所示.(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.(2)求可导函数f(x)的极值的步骤求导数f(x)；求方程f(x)0的根；观察f(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程

4、根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.反思与感悟 跟踪训练跟踪训练1设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则c.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)d.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)解析解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)1时，f(x)6xx(a1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值极小值从上表可知，函数f

5、(x)在(，0)上是单调增函数，在(0，a1)上是单调减函数，在(a1，)上是单调增函数.(2)讨论f(x)的极值.解答解解由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值.当a1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3.讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(ar).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程；解答因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)求函数f(x)的极值.解答当a0时，f(x)0，函数f(x

6、)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.类型二已知函数极值求参数解答解解f(x)x2(a1)xa，因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，所以f(x)0在(0,1)内有两不等实根，已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极

7、值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3(1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.求a，b，c的值；解答解解函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a).解得a3.a3，bc0.解答求函数的单调减区间.解解由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2).由f(x)0，得3x(x2)0，0 x2，函数f(x)的单调减区间是(0,2).解答当0 x0，当x1时，f(x)0

8、.f(x)在(0,1)上是单调增函数，在(1，)上是单调减函数，函数f(x)在x1处取得极大值.类型三函数极值的综合应用例例4(1)函数f(x) x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_.答案解析f(x)x24(x2)(x2).令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值且f(x)在(，2)上是增函数，在(2,2)上是减函数，在(2，)上是增函数.根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与y f(x)5

9、xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.解答x2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点.g(x)3x214x8(3x2)(x4)，解解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(， )( ，4)4(4，)g(x)00g(x) m16m利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4若

10、2ln(x2)x2xb0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解答解解令g(x)2ln(x2)x2xb，g(x)与g(x)随x在(2，)上的变化情况如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知，函数在x0处取得极大值，极大值为2ln 2b.所以2ln 20，当x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选d.234512.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为a.1a2 b.3a6c.a2 d.a6答案23451解析

11、解析解析f(x)3x22axa6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以(2a)243(a6)0，解得a6或a3.234513.函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a_，b_.答案解析223451函数的极值点为x11，x22，即为2bx23xa0的两根，4.直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_.23451解析解析解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2a2.答案(2,2)5.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 .(1)求a，b的值；解答23451(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答2345123451又f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值23451f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，)