高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.2 导数的几何意义课件7 北师大版选修1-1

1、mxyx oyy=f(x)ab复习：复习：1、函数的平均变化率、函数的平均变化率2、函数在某一点处的导数的定义、函数在某一点处的导数的定义 （导数的实质）（导数的实质）3、函数的导数、瞬时变化率、函数的导数、瞬时变化率、 平均变化率的关系平均变化率的关系y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy如图：如图：pq叫做曲线的割线叫做曲线的割线 那么，它们的那么，它们的 横坐标相差（横坐标相差（ ） 纵坐标相差（纵坐标相差（ ） yx请问：是割线pq的什么?xy斜率斜率当当q点沿曲线靠近点沿曲线靠近p时，割线时，割线pq怎么变化？怎么变化？x呢？呢？y呢？呢？pqoxyy=f(x)割割

2、线线切线切线t 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线割线pq如果有一个极限位置如果有一个极限位置pt.则我则我们把直线们把直线pt称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线pq的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数

3、处的导数.pqoxyy=f(x)割割线线切切线线t【例【例1】 求曲线求曲线y=x2在点在点p(1,1)处的切线的方程。处的切线的方程。 k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim解：解： y=f(1+ x)-f(1) = (1+ x)2 -1=2 x+（ x）2xxxxxy222 曲线在点曲线在点p(1,1)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2)2(lim0 xkx因此，切线方程为因此，切线方程为 y-1=2(x-1)即：即： y=2x-1（4）根据点斜式写出切线方程根据点斜式写出切线方程求求斜斜率率【总结】【总结】求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点p(xp(x0 0,f(

4、x,f(x0 0)处的切线的方法：处的切线的方法： (1)求y=f(x0+ x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）（ k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点p处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点p处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313pxy上一点上一点 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点p处的切线的斜率等于处的切线

5、的斜率等于4. (2)在点在点p处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的函 数 值 由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(

6、x)的导函数的导函数.即即:【例【例2】 k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim）的切线方程。，过点（求抛物线625 xy2200解：设切点（x ，x ）5(6),2p又切线过点 ，0)2x0则k=f(x02x200 x -6其斜率应满足5x -2200即x -5x +6=00解得 x =2，312且k =4,k =6即切线方程y=4x-4,y=6x-9 (5)根据点斜式写出切线方程【总结】【总结】求过曲线求过曲线y=f(x)外点外点p(x1,y1)的切线的步骤：的切线的步骤： xykx0lim2）利用所设切点求斜率（ k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim(1)

7、设切点(x0，f (x0)(3) 用(x0，f (x0)， p(x1,y1)表示斜率表示斜率(4) 根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的

8、导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。1.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。小结小结随堂检测：随堂检测： 1.1.已知曲线已知曲线y=2xy=2x2 2上一点上一点a(1,2)a(1,2)，求，求 （1 1）点）点a a处的切线的斜率；处的切线的斜率； （2 2）点）点a a处的切线方程。处的切线方程。 2.2.求曲线求曲线y=xy=x2 2+1+1在点在点p(-2,5)p(-2,5)处的切处的切 线

9、的方程。线的方程。3 3、求曲线、求曲线y=xy=x-1-1过点过点(2,0)(2,0)的切线方程的切线方程001解：设切点（x， ）x(2),p又切线过点 ，0201)x0则k=f(x201x 001x其斜率应满足x -20解得 x =1即切点为（1，1)且k=-1切线方程:x+y-2=03 3、求曲线、求曲线y=xy=x-1-1过点过点(2,0)(2,0)的切线方程的切线方程12)(2xxxf4、曲线、曲线 在点在点m处的切处的切 线的斜率为线的斜率为2，求点，求点m的坐标。的坐标。 223xy 13xy5、在曲线、在曲线 上求一点，使过该上求一点，使过该点的切线与直线点的切线与直线 平行

10、。平行。 思考与探究思考与探究 曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点公共点吗？下图中，直线是否是曲线在点p p处的切线？处的切线？xoyp xoyy=f(x) 设曲线设曲线c是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线c上取一点上取一点a(x0,y0)及邻近一及邻近一点点b(x0+x,y0+y),过过a、b两点作两点作割割线线， 当点当点b沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点a点点a处的处的切线切线。即即x0时时, 如果割线如果割线ab有一个有一个极极限位置限位置ad, 那么直线那么直线ad叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyabd 设割线设割线ab的倾斜角为的倾斜角为，切线切线ad的倾斜角为的倾斜角为 当当x0时，割线时，割线ab的的斜