高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4.2 圆锥曲线的共同特征课件 北师大版选修2-1

1、第三章4曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征学习目标1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一椭圆的第二定义椭圆是如何定义的？(第一定义)我们把平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点f1，f2叫作椭圆的焦点，两个焦点f1，f2间的距离叫作椭圆的焦距.答案梳理梳理右准线离心率e(2)两点说明在上述定义中，只有当0e1时才表示椭圆.知识点二双曲线的第二定义思考双曲线的第一定义是什么？我们把平面内到两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数(

2、大于零且小于|f1f2|)的点的集合叫作双曲线.定点f1，f2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a(a0)表示，焦距常用2c(c0)表示.答案梳理梳理(1)双曲线的第二定义内容知识点三圆锥曲线的共同特征统一定义圆锥曲线上的点m到一个定点f的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0e1时，圆锥曲线是 ；当e1时，圆锥曲线是 ；当e1时，圆锥曲线是 .此即为圆锥曲线的统一定义.椭圆抛物线双曲线题型探究 类型一由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程例例1方程 |xy2|表示的曲线是a.椭圆 b.双曲线c.抛物线 d.不能确定答案解析它表示点(x

3、，y)到点(1，1)的距离等于点(x，y)到直线xy20的距离，且点(1，1)不在直线xy20上，故该方程表示的曲线是抛物线.在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.反思与感悟解答方法二由椭圆的第二定义可知点m的轨迹是椭圆，类型二依据圆锥曲线的性质求其方程例例2根据下列条件分别求椭圆的标准方程.解答因为椭圆的一条准线为直线x5，所以椭圆的焦点在x轴上.解答圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a，c之

4、间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，一条准线的方程为5y3 0，求此双曲线的方程.解答 类型三椭圆、双曲线的第二定义及应用答案解析设p(x0，y0)，则|pf|aex0.又点f在线段ap的垂直平分线上，椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径.(1)椭圆的焦半径公式当椭圆的焦点在x轴上时，设f1，f2分别是椭圆的左，右焦点，p(x0，y0)是椭圆上任一点，则|pf1|aex0，|pf2|aex0.反思与感悟同理，得|pf2|aex0.简记为：左“”右“”.同理可知，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公

5、式为|pf1|aey0，|pf2|aey0(f1为下焦点，f2为上焦点).综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关.(2)双曲线的焦半径公式对于双曲线 1(a0，b0)(f1为左焦点，f2为右焦点)：若点p(x1，y1)在左支上，则|pf1|aex1，|pf2|aex1；若点p(x1，y1)在右支上，则|pf1|aex1，|pf2|aex1.对于双曲线 1(a0，b0)(f1为下焦点，f2为上焦点)：若点p(x1，y1)在下支上，则|pf1|aey1，|pf2|aey1；若点p(x1，y1)在上支上，则|pf1|aey1，|pf2|aey1.跟踪训练跟踪训练3已知双曲线x23y23

6、上一点p到左，右焦点的距离之比为12，求点p到右准线的距离.解答设f1，f2分别为双曲线的左，右焦点，设点p到右准线的距离为d，即点p到右准线的距离为6.当堂训练23451答案解析23451答案解析23451答案解析234514.已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为 ，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|_.答案解析6抛物线c：y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2，即椭圆的半焦距c2.a，b是c的准线x2与e的两个交点，把x2代入椭圆方程得y3，所以|ab|6.23451解答则a10，c2a2b264，解得c8，故点(8，0)是椭圆的右焦点，设点p到点(8，0)的距离为d，故点p到点(8，0)的距离为8.规律与方法应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(0e1或e1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二