注电考试——高数知识

1、积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分不定积分不定积分积分学积分学基本积分表基本积分表 kckxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 cxdxx cxxdx|ln)3( dxx211)4(cx arctan dxx211)5(cx arcsin xdxcos)6(cx sin xdxsin)7(cx cos xdxxtansec)10(cx sec xdxxcotcsc)11(cx csc dxex)12(cex xdx2cos)8

2、( xdx2seccx tan xdx2sin)9( xdx2csccx cot dxax)13(caax ln cxxdx|cos|lntan)16( cxxdx|sin|lncot)17( cxxxdx| )tan(sec|lnsec)18( cxxxdx| )cot(csc|lncsc)19(caxadxxa arctan11)20(22cxaxaadxxa |ln211)22(22caxdxxa arcsin1)23(22caxxdxax | )( |ln1)24(2222caxaxadxax |ln211)21(22cx sh)14( xdxch xdxcx ch)15(sh;)(.

3、 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 第一类换元法第一类换元法常用代换常用代换:.,)(. 1rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.tan,)(. 322taxxaxf 令令如如双曲函数代换双曲函数代换.1. 4tx 令令倒置代换倒置代换第二类换元法第二类换元法被积函数被积函数正正、余余弦弦函函数数多多项项式式 指指数数函函数数多多项项式

4、式 反反三三角角函函数数多多项项式式 对数函数对数函数多项式多项式 后后面面画画红红线线者者拖拖到到dxexexx cossin 或或两两者者都都可可分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称有理函数两个多项式的商表示的函数称有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.真分式化

5、为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1caxaaxadx ;)(1()(. 21caxnaaxadxnn ;arctanln2. 342422222cqxqnqpxxmdxqpxxnmxpppmp dxqpxxnqpxxdxpxmdxqpxxnmxnmpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxr)cos,(sinduuuuuur22221211,12 （2）

6、 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxr（3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型讨论类型:),(nbaxxr ),(necxbaxxr 解决方法解决方法: 作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨

7、公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 定积分定积分牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xf是连续函是连续函数数)(x

8、f在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba定积分的计算法定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv，则，则上的奇、偶函数且连续上的奇、偶函数且连续分别为分别为，若若,)()(llxgxf ，0d)(

9、llxxf lllxxgxxg0d)(2d)(为为常常数数，则则为为周周期期的的连连续续函函数数，是是以以若若atxf)( ttaaxxfxxf0d)(d)(两个重要性质两个重要性质广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在

10、；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式定积分的应用定积分的应用定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfa)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfa)()(12aa直角坐标情形直角坐标情形abab da2)(21

11、xo d )( r xo)(2 r)(1 r da)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfvba2)( dyyvdc2)( xyo)(yx cdxo badxxav)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xa(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21a曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy b曲线弧为曲线弧为c曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs

12、)()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfs)(1)(22侧侧(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdii)(2 )(为为线线密密度度x (7) 变力所作的功变力所作的功)(xfo abxdxx x babadxxfdww)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdpp)( )(为为比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oal l llllyyxadxgadff2322)( . 0

13、xf)(为引力系数为引力系数g(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分重积分重积分上连续，上连续，在区域在区域若若dyxfz),( ，)()(21xgyxg 连连续续，且且)(),(21xgxg则有则有 dyxyxfdd),( )()(21d),(dxgxgbayyxfx)2(上连续，上连续，在区域在区域若若dyxfz),( ，)()(21yxy 连连续续，且且)(),(21yy

14、 则有则有 dyxyxfdd),( )()(21d),(dyydcxyxfy )3(oxyabx，：其中其中bxad ，：其中其中dycd oxycdy二重积分的计算二重积分的计算.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(drdrdrrf ,:1 d).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下重积分的应用重积分的应用(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面dyxfz),( ddxdyyxfv.),(设设s曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面s的面积为的面积为 ;122dxdyaxydyzxz (2) 曲面积曲面

15、积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区

16、域面上的闭区域d，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0am处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxffff ,)(),(23222 d

17、ayxxyxffdx ,)(),(23222 dayxyyxffdy .)(),(23222 dayxyxaffdz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作直线作直线过点过点dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz先单后重先单后重:. ),(),(),(),(21 dyxzyxzddzzyxfdxdydyxf 三重积分的计算三重积分的计算截面法的一般步骤：

18、截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zd;(3) 计算二重积分计算二重积分 zddxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zf；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzf即得三重积分值即得三重积分值.z先重后单先重后单 dvzyxf),( 21),(ccdzdxdyzyxfdz .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdr

19、dzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算联系联系曲线积分曲线积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypd

20、xll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)格林公式格林公式定定理理（格格林林公公式式）函函数数上上的的是是平平面面区区域域设设1),(),(cdyxqyxp,1函函数数）函函数数称称为为（一一阶阶偏偏导导数数都都连连续续的的c线线组组成成，或或逐逐段段光光滑滑的的简简单单闭闭曲曲由由光光滑滑的的边边界界dd 的的正正方方向向是是人人沿沿此此并并约约定定d 在在其其左左侧侧，则则方方向向前前进进时时区区域域ddxdyypxqqdypdxdd )(dxdyqpyxd 与路径无关的

21、四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题定积分定积分曲线积分曲线积分二重积分二重积分计算计算计算计算green公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyozs xydyxdxdyzz221d

22、syxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab的的一一个个原原函函数数，求求是是已已知知例例)(cosxfxxdxxxxf cos)(的的一一个个原原函函数数是是解解：由由于于)(cosxfxx)(cosxfxx 即即dxxxxxdxxxxf cos)cos(cos)(cxxxxdxx 2)cos(21coscos典型例题典型例题例例解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.

23、)()(212cxfxf xdxx4sincos 计计算算例例xdxxxdxx404sincos2sincos 解解：xdxx422sincos2 xdxx420sincos4 xdxx420sincos4 xxd sinsin4420 02sin545 x 54 例例. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 所所围围平平面面图图形形与与直直线线求求曲曲线线例例bybyax 12222积积。轴轴旋旋转转所所的的旋旋转转体体的的体体绕绕yaba2每每一一个个截截面面的的半半径径为

24、为：为为积积分分变变量量解解：我我们们以以,y2)(1bya )(122bya 截截面面面面积积为为 bbdybya)(122 旋旋转转体体的的体体积积为为 bdybya022)(12 032232bbyya ba238 例例 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 d例例解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyddyxd x-型型 xxddyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxd所围立体的体积所围立体的体积与与求曲面求曲面例例vyxzyxz222213 解解将此两曲面的交线将此两曲面的交线 222213yxzyxz面，面，投向投向 xoy投影为投影为 0122zyx的边界线，的边界线，面投影区域面投影区域这正是该立体在这正是该立体在dxoy即积分区域即积分区域 d于是所求立体体积为于是所求立体体积为 dyxyxvdd)3(22 dyxyxdd)1(22 dyxyxdd)222(22 10220d)22(drrr xyz例例 写写出出积积分分 ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| )