理论力学讲义

1、授课提纲第一篇 理论力学理论力学，它是研究物体机械运动一般规律的一门科学；理论性较强，且在工程技术领域中有着广泛应用的技术基础课，是近代工程技术的重要理论基础之一；为大家的后继课程，材料力学、机械原理、机械设计等等提供必要的基础知识。一、 基本概念1. 机械运动：指物体在空间的位置随时间的变化；2. 物体的平衡：指物体相对于地面静止或作匀速直线运动；注：我们这里说的位置是相对的量，需要借助参考系对位置进行具体描述。二、 理论力学的主要内容：1. 静力学：研究力系的简化与物体在力系作用下的平衡规律；2. 运动学：从几何学的角度来研究物体的运动规律；3. 动力学：研究作用于物体上的力与物体运动变化

2、的关系；4. 研究对象：刚体，指任何情况下都不发生变形的物体，也就是说，一个物体受力后，其内部任意两点的距离保持不变，其尺寸又不可忽略的物体，即不考虑受力时的变形；质点：同刚体相类似，不考虑变形，且其大小尺寸也可忽略不计的受力体。第一章 静力学基础静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学，其主要内容之一就是建立力系的平衡条件，并借此对物体进行受力分析。一、 概念：1. 力系：指作用于同一物体上的一组力；2. 物体的平衡状态：指物体相对于地球处于静止或匀速直线运动；3. 平衡力系：物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系；4. 力系的简化：它是静力学建立力系平衡条件的主要方法，指用简单的力系代

3、替复杂的力系，这种代替必须在两力系对物体的作用效应完全相同的条件下进行；5. 等效力系：对同一物体作用效应相同的两力系；6. 合力：一个力与一个力系等效，则此力为该力的合力。二、 静力学研究的主要问题1. 力系的简化；2. 建立物体在各种力系作用下的平衡条件。第一节 力的概念一、力的概念1. 力是相互的；力是物体间的相互作用，这种作用将引起物体机械运动状态发生变化；2. 力作用于物体的两种效果：力的外效应：使机械运动状态发生变化（静力学）力的内效应：使物体产生变形（材料力学）3. 力的三要素：力的大小、方向和作用点（线）4. 力的单位：牛顿（牛）：N；千牛顿：kN5. 力的矢量表示：力是矢量：

4、既有大小，又有方向的物理量。用带箭头的线段表示；线段的延伸称为力的作用线；注：线段AB的长度表示力的大小；线段的方位和箭头表示力的方向，其起点和终点表示力的作用点。用带箭头的大写字母表示力；，用F表示力的大小。力的性质（公理）性质1（两力平衡原理）：作用于同一物体上的两个力，使其处于平衡状态的必要与充分条件是：此两力必须等值，反向，共线（只适用于刚体）注：受两个力而平衡的构件称为两力构件。例：性质2（加减平衡力系原理）：在已知力系上，加上或减去任一平衡力系，不会改变力系对刚体的作用效应。推论1（力的可传性原理）：作用于刚体上的力，可沿其作用线滑移到该刚体的任何位置而不会改变此力对刚体的作用效应

5、（力是滑移矢量，不能任一移至作用线以外的位置）。注：由性质2得推论1。注意：力的可传性原理不适用于研究物体的内效应；在研究物体的内效应时，力应作为固定矢量处理。性质3（力的平行四边形法则）：作用于某点两力的合力也应用于该点，其大小和方向可用此两力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。矢量合成式：矢量合成式：反之，力也可以分解，也可用平行四边形法则来进行，但必须附近一定条件：1) 规定两个分力的方向；2) 规定其中一个分力的大小和方向等等推论2（三力平衡定理）：若刚体在三个共面而又互不平行的力作用于平衡状态，则此三力必须汇交于一点（三力构件）。证明：注：若三个力中已知两个力的交点及第三个力的作

6、用点，即可判断出第三个力作用线的方位。性质4（作用与反作用公理）：若将物体间相互之一称为作用力，则另一个就被称为反作用力，两物体间的相互作用力与反作用力必定等值，反向，共线，分别同时作用于两个相互作用的物体上。此公理阐明了力是物体间的相互作用，作用与反作用的称呼是相对的，力总是以作用与反作用的形式存在的，且以作用与反作用的方式进行传递。注意：性质1与性质4的区别。补：1. 物体系（物系）：多个物体（构件）通过某种约束按照一定的方式连接起来的系统。物系外的物体与系间的作用力称为外力，而物系内部物体间的相互作用力称为内力。内力总是成对出现的，且等值，反向，共线，所以对物系而言，内力的合力总是零。2

7、. 公理：是人们在长期的生活和实践中总结概括出来的，它们简单而明显，为大家所公认而无需证明，上面的四条力的性质即为公理，而推论则需要严格的证明过程。静力学的全部理论都可以用上述四个公理推证而得出，如前所述的推论1和推论2。这部分基本上采用这种逻辑推演的方法，建立静力学的理论体系，这一方面能保证理论体系的完整和严密性，另一方面也可以培养我们的逻辑思维能力。第六节 约束力与约束反力1. 约束的概念：一物体的运动受到周围物体的限制时，这种限制称为约束，约束限制了物体本来的可能产生的某种运动，因此，约束有力作用于物体，这种力称为约束力。2. 力的分类：主动力：使物体产生可能运动的力，称为主动力；约束力

8、：约束限制某种可能运动的力，称为约束力。因为约束力是由主动力引起的反作用力，故其全称为约束反作用力，简称约束反力。注：约束反力总是作用在被约束物体与约束物体的接触处，其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反。一、 柔性约束：由柔（绳）索，胶带，链条等所形成的约束。只限制物体沿柔索伸长方向的运动，即对物体只有沿柔索方向的拉力，由F表示。受力：沿柔索的中心线而背离物体（拉力）例：二、 光滑面约束（相对光滑）此约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线指向约束物体的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束物体，简称法向压力。例：注：1) 指向

9、被约束物体；2) 沿曲面的法向方向；3) 不计摩擦三、 铰链约束1) 若项链的构件有一个固定，则为固定铰链（支座）2) 若均不固定，则为中间铰链3) 支座只能限制构件沿之承面垂直方向的运动，约束反力必定通过铰链中心，并垂直于之承面。例：四、 固定端约束反力例：建筑物上的阳台，地面上的电线杆等等既限制移动，又限制转动。力：限制移动；力偶：限制转动五、 轴承约束（向心轴承或径向轴承）or（向心推力轴承和径向止推轴承）1. 向心轴承通常不限制轴沿轴线方向的运动，约束反力在垂直于轴线的径向平面内，一般有两个正交分力：和（空间）或（平面问题）；2. 径向轴承不但限制垂直于轴线方向的运动，而且还起到轴向止

10、推的作用，为此，我们要用三个约束反力，（空间问题）或为，（平面问题）。第七节 受力图为了求解力学问题，我们需要根据问题的已知条件和待求量有选择地研究某个物体或某几个物体的运动和平衡，这一个或几个物体就称为研究对象。1. 分离体：把研究对象从与它联系的周围物体中分离出来，这种解除了约束的自由体称为分离体。2. 研究对象：受力体；与其周围联系的物体：施力体。3. 画受力图的一般步骤：1) 画出分析对象的分离体简图（取隔离体）；2) 在简图上标上已知的主动力（先画主动力）；3) 在简图上解除约束处画上约束反力（后画约束反力）；4) 回头检查，力是否画的完整，正确例：解：第二节 平面汇交力系的合成运算

11、什么是平面汇交力系？力系中各力作用线在同一平面且汇交于一点者称为平面汇交力系。因为力是矢量，故平面汇交力系的合成亦按矢量法则进行。平面汇交力系的合成方法有两种：一是几何法，二是解析法，下面分别介绍。一、 几何法1. 两汇交力系合成的三角形法则：将平行移至的终点，连接的始点和的终点，即得合力R，指向的终点。注意：力三角形只表明力的大小和方向，它不表示力的作用点或作用线，合成时合力的大小与作用力的次序无关。例：2. 多个汇交力合成的力的多边形法则必须注意：在力多边形中，各分力矢依次首尾相接，也就是说各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，由此构成一个有缺口的力多边形abcde，故称为不

12、封闭的力多边形，而合力矢则是此力多边形的封闭边，但它的方向与各分力环绕力多边形的方向相反，且与各分力矢的作图顺序无关。即平面汇交力系合成的一般结果为一合力，合力为力系中各力的矢量和，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力的大小和方向与各力合成的顺序无关。3. 平面汇交力系平衡的几何条件：即：此力系组成的力多边形自行封闭。注：几何法解题具有直观、简便、一目了然的优点；但结果不够十分精确。二、解析法（以力在坐标轴上的投影为基础）1. 力在直角坐标轴上的投影：过力F两端向坐标轴引垂线。（为锐角）投影的正负号规定：从始端到末端的指向与坐标轴正向相同为正，反之为负。注：力的分量是矢量，力的投影是代数量。由勾

13、股定理知：2. 平面汇交力系合成的解析法：已知：将上式两边分别向力，y轴取投影，则有：即得到合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。同理：（大小）；3. 平面汇交力系平衡的解析条件：0即： 平面汇交力系的平衡方程。则有：各力在x轴和y轴上投影的代数和分别等于零。4. 求解平面汇交力系平衡问题的主要步骤：1) 选取研究对象2) 受力分析（4步走）3) 根据平衡条件列平衡方程求解未知力：几何法：选适当的长度和力的比例尺解析法：选坐标系，投影计算第三节 力对点之矩一、 力矩的概念：力对点优点之矩为一代数量，它的大小为力F的大小与力臂S的乘积，它的正负号表示力矩在平面

14、的转向，记作1. 符号规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正，反之为负。例：2. 显知：当力的作用通过矩心时，即S=0，则力沿其作用线滑移时，不会改变力对点之矩的值。3. 力矩的单位：牛顿米，NM二、 合力矩定理（适用于任意力系）叙述：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。注：在计算力矩时，有时力臂值未在图上标出，计算亦较繁，应用这个定理，可将力沿图上标注尺寸的方向作正交分解，分别计算各分力的力矩，然后相加求出原力对该点之矩。第四节 力偶的概念及其运算法则一、 力偶的定义：一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶臂：二力之间的距离，用d表示表示：二

15、、 力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位（力偶对物体的作用效应取决于此）力偶矩：在力学上，以F和d的乘积冠以适当的正负号作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，记作：或M。即：符号规定：力偶取逆时针转动为正，反之为负。单位：三、力偶的等效条件凡三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以置换，等效示意图例：四、力偶的性质性质1：力偶对其作用面内的任意点的力矩值恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。证明：性质2：力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，即力偶无合力（力偶不能用一个力等效，也不能用一个力来平衡）力和力偶可同时看成力系的两个基本元素。由上述两条性质，则有：力偶在其作用面内可任意转移

16、位置；力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小。五、平面力偶系的合成：结果为一合力偶，合力偶矩的大小为各分力偶矩的代数和。补：平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零例：整体受力分析如上图所示：取隔离体反代回去，得综上所述，各约束处得约束反力均为已知了。第五节 力的平移定理（力线平移定理）1. 内容：作用于“刚体”上的力，均可平移到刚体内任一点，但同时附加一个力偶，力偶等于原力对该点之矩，此即力的平移定理。2. 力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用

17、。例： 补：力在直角坐标系与斜坐标系上的投影的区别及分解与投影的关系？第二章 平面力系第一节 平面任意力系的概念，简化及简化结果的讨论一、平面任意力系的概念力系中各力的作用线都在同一平面内，它们即不汇交于一点，也不全部平行，此力系称为平面任意力系。二、平面任意力系的简化结果及其讨论平面汇交力系简化时可以用力的平行四边形法则或三角形法则，将力依次合成，平面任意力系的简化也可以用这种方法，但过程较繁琐，实际意义也不大，因此我们利用刚学过的力的平移定理，将其向一点进行简化。例：简化之后得到一个合力和一个合力偶。其中，称为主失，称为主矩，原力系与主失和主矩的联合作用等效。主失的大小和方向与简化中心O的

18、选择无关，只是原力系各力的矢量和；但主矩与简化中心O的选择有直接的关系。三、简化结果的讨论1. 合力偶，此时为平面力偶系的简化，与简化中心无关；2. 合力，其作用线通过简化中心；3. 合力，力的平移定理的应用；其中，在的哪一侧由的转向决定。4. 平衡力系。第二节 平面任意力系的平衡方程及其应用一、平面任意力系的平衡方程1. 基本形式：由上一节的平面任意力系的简化讨论知道，当主失和主矩同时等于零时，力系即为平衡状态，则平面任意力系平衡的充要条件为：此组平衡方程相互独立，最多只能求解三个未知量。2. 二矩式：力的投影轴不能与A、B的连线相垂直。3. 三矩式： A、B、C三点不共线。注：1. 在应用

19、平衡方程解平衡问题时，为了使计算简化，通常将矩心选在两个未知力的交点上，而坐标轴则尽可能与该力系中多数未知力的作用线垂直。2. 如果不满足2、3中的两个附加条件，所列的三个平衡方程将不能保持相互独立，不论选取哪一组形式的平衡方程，对同一个平面力系来说，最多只能列出三个独立的平衡方程，因而只能求出三个未知量。三、平面任意力系平衡方程的解题步骤：1. 确定研究对象，画出受力图；应该选取既有已知力又有未知力作用的物体（二力构件不能作为研究对象）；当研究对象是物系时，先观察整体构件，计算中最好遵循“先整体，后局部”的做法，尽量避开题目不要求求解的未知力（内力）。2. 列平衡方程求解适当选取坐标轴和矩心

20、，一般水平和垂直坐标轴可以不画，但倾斜的坐标轴必须画。注意：由于物体系是由许多物体组成的，因此，在解物体系时，就有一个选择对象的问题，原则是：先选取运用平衡方程能确定某些未知量的部分为研究对象；此外，在选择平衡问题时，应尽可能避免解联立方程；当物系平衡时，该系中的物体必然处于平衡状态，对于每一个物体，可以列出若干个独立的平衡方程，在考察整体平衡时，不必计及系统的内力。约定：受力分析时，系统内力不必画出。三、平面任意力系的特殊形式1. 平面汇交力系：（两个投影方程）2. 平面平行力系：或者（不平行作用线）例：第三节 静定与静不定问题及物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念1. 静定问题：一个刚

21、体平衡时，未知量个数等于独立平衡方程格式，全部未知量可通过静力学平衡方程求解。2. 静不定问题（超静定问题）：为了提高构件与结构的可靠性，采用了增加约束的方法，因而未知量个数超过了独立方程个数，仅用静力学平衡方程不可能求出所有的未知量。二、物体系统的平衡（回顾）例：补：刚结点（不承受弯矩）用侧结点的两构件没有相对的转角，永远保持直角。第四节 平面静定桁架内力的计算1. 桁架的概念：是由一些杆件彼此在两端连接而组成的一种结构，各杆件处于同一平面内的桁架称为平面桁架；桁架中各构件彼此连接的地方称为节点。2. 为了简化计算，工程中采用以下两种假设：1) 桁架中各杆重力不计，载荷加在结点上；2) 各杆

22、件两端用光滑铰链连接。桁架中各杆件均为二力构件（杆），内力均沿杆件的轴线方向。3. 桁架中杆件内力的计算方法：节点法和截面法。一、节点法：取单个节点为研究对象即平面汇交力系的形式，只有两个独立的平衡方程，故应从只有两个未知力的节点开始计算。注：在解题中，各杆内力一律假设为受拉状态，即其指向背离节点，求得力为正即为拉力，反之为压力。例：二、截面法：假想用一个截面将 切开，任取一半为研究对象；在切开处画出杆件的内力，分离体上受平面任意力系作用，它可求解三个未知力。注意：1. 所取截面必须将 切成两半，不能有一根杆件相连；2. 每取一次截面，截开的杆件都不应超过三根。例：第三章 空间力系1. 空间力

23、系：力系中各力的作用线不在同一平面内。2. 空间力系的分类：空间汇交力系，空间平行力系，空间任意力系。第一节 力在空间直角坐标轴上的投影1. 力在空间的方位分类1) 轴向力：力的方位与某坐标轴重合或平行。例：轴向力不需要标注方向角。投影：要么全投影，要么为零。2) 平面力：力的作用线在某坐标平面或它的平行面上的力。例：力的下标即表示该力所处之平面；力F的作用线与该力作用点引出的辅助线之夹角，即为它的方向角。投影：投影：投影：3) 空间力：非以上两种情况的力。1) 若力与x、y、z轴的正向夹角、为已知，则力在空间的方向就完全确定了。2) 若力与z轴的夹角已知，同时与z轴所组成的平面和oxz坐标平

24、面的夹角已知，则在空间的方向也完全确定。2. 力的投影1) 直接投影法：2) 二次投影法：3. 力的计算： （大小） （方向）第二节 空间汇交力系的合成与平衡一、 空间汇交力系的合成矢量式：投影式： 合力投影定理计算公式： 注：空间汇交力系合成的结果为一合力，合力的作用线通过各力的汇交点，合力矢量为各力矢量的矢量和。二、 空间汇交力系的平衡条件及平衡方程1. 平衡条件：2. 平衡方程：第三节 力对轴之矩一、 力对轴之矩的概念1. 学习目的：为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引进力对轴之矩的概念。2. 定义：用d表示z轴与xy平面的交点O到作用线的垂直距离，在对O点之矩就可以用力度量F对门绕z

25、轴的转动作用，记作：注：力对轴之矩在轴上的投影是代数量，其值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩。3. 符号规定：从z轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。4. 注：1) 当力的作用线与转轴平行时，力对轴之矩为零； 2) 当力的作用线与转轴相交时，力对轴之矩为零。5. 单位：二、合力矩定理计算空间力对轴之矩：第四节 空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程分析方法：通过力系的简化建立平衡条件，从而得到平衡方程。1. 平衡条件：如果某一物体上作用着一个空间力系，它既能产生使物体沿x，y，z三轴方向的移动效应，又能产生绕轴转动的效应。若物体在空间力系作用下保持平衡

26、，则物体应既不移动也不转动，从而得到平衡方程。2. 平衡方程： 即：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和都必须分别等于零。三、空间平行力系的平衡方程式令z轴与力系的各力平行，则有：则得到平衡方程式：补：四、空间汇交力系的平衡方程：则有平衡方程式：五、空间力系的平面解法:将空间受力图投影到三个坐标平面上，得到三个平面力系，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所有的未知量。例题1例题2（36）第五节 重心的概念1. 学习目的：因为重心与平衡稳定、安全生产有密切的关系。2. 何以见得？1) 用手推车推重物时，只有重物的重心正好与车轮轴线在同一铅垂面内时，才能比较省力。2) 起

27、重机起吊重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的上方，才能使起吊过程中保持物体的平衡稳定。3) 电机转子、砂轮、飞轮等，都要求它的重心位于转动轴线上，否则会使高速旋转的机器产生剧烈的振动，甚至引起破坏，造成事故，等等。3. 重心的概念：由地球引力组成的一个空间平行力系的合成G称为物体的重力；不论物体如何放置，此合力作用点是确定的，该点叫做物体的重心。第六节 重心坐标公式1. 均质、等厚平板，其形心为：？2. 均质体，其形心为：3. 任物体：注：若某轴通过图形的形心，在图形对该轴的静矩必为零；若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。第七节 重心及形心位置的求法一、对称法（图解法）对于均质体，若

28、在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，在物体的重心或形心亦必在此对称面，对称轴或对称点上。1. 若物体有两个对称面，则重心在两对称面的交线上；2. 若物体有两个对称轴，则重心必在两对称轴的交点上；3. 球心即重心、形心；圆心即形心。例：二、分割（解析）法(1) 积分法无限分割法在求基本规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小的形体。重心公式：类似地也可以用dV和dA来求解重心和形心。组合法有限分割法若某物体为一个基本形体挖去一部分后的残留体，则只需将挖去的体积或面积看成负值，仍然可应用相同的方法求出形心。三、平衡法（实验法）注：物体的形状复杂或质量分布不均匀，其重心常由实验来确定(1)

29、悬挂法：形状复杂的薄平板(2) 称重法：形状复杂的零件，体积庞大的物体以及由许多构件组成的机械。例：第四章 摩擦1. 研究摩擦的目的：掌握其规律，以便充分利用其有利的一面，尽可能地克服其不利的一面。举例：(1) 有利：人靠摩擦行走，车靠摩擦制动摩擦制动器、带传动、摩擦轮传动等等；(2) 不利：由于摩擦带来了多余的阻力，损坏机件，消耗能量，降低效率，同时摩擦还可能产生磨损。2. 分类：(1) 按照物体接触部分可能存在的相对运动，分为滑动摩擦和滚动摩擦。1. 滑动摩擦是两物体接触面作相对滑动或具有相对滑动趋势时的摩擦；2. 滚动摩擦是一个物体在另一个物体上滚动时的摩擦，如车轮在轨道上的滚动。(2)

30、 按照两接触物体之间是否发生相对运动，分为静摩擦和动摩擦。(3) 按照接触面之间是否润滑，分为干摩擦和湿摩擦。第一节 滑动摩擦1. 作用于接触处的公切面上；2. 方向与物体的滑动方向或滑动趋势的方向相反。3. 分类：静滑动摩擦和动滑动摩擦。一、静摩擦：实验：分析：(1) 开始时，用较小的砝码去作用于A物体时，物体由于重力和摩擦力的作用处于平衡；(2) 逐渐增加砝码，此时随的增加而变大，当增加到某一临界值时，物A处于临界平衡状态；此后若继续增大，物体就会开始滑动。因此，静摩擦力也被称为切向有限的约束反力。临界摩擦力：静摩擦定律：临界摩擦力的大小与物体间的正压力成正比。式中：静滑动摩擦因数（静摩擦

31、因数），为比例系数； 物体的正压力。其中，的大小与两接触物体的材料及表面粗糙度、干湿度、温度等有关，而与接触面积的大小无关。由先前的分析知道，随主动力的不同而改变，它的大小可由平衡方程确定，但介于0和临界值之间，即，其方向与两物体间相对滑动趋势的分析相反。注：(1) 生产中利用也就是增大的方法：加大正压力或或两者同时加大来实现。例：带传动中，需增加胶带轮之间的，可以用张紧轮，也可以采用三角胶带代替平胶带等办法来增加。(2) 克服或减少的方法：设法减少例：降低接触面的粗糙度，加入润滑剂等。综述，静摩擦力的三要素：(1) 大小：，由物体的平衡条件来决定；临界状态下：；(2) 方向：与物体间相对滑动

32、趋势的方向相反，并沿接触表面作用点的切向；(3) 作用点：接触点或接触面上摩擦力的合力作用点。二、动滑动摩擦（）1. （当主动力时，由静变动，物体开始运动）式中：动摩擦因子，通常2. 与的显著不同点：(1) 动摩擦力一般小于临界静摩擦力维持一个物体的运动要比使它由静止进入运动要容易。(2) 静摩擦力之值要由与主动力有关的平衡条件来决定；而动摩擦力则不论主动力存在与否，只要相对运动存在，它就是一个常值（）。综述，的三要素：(1) 大小：；(2) 方向：与物体间相对滑动方向相反，并沿接触的表面作用点之切向；(3) 作用点：接触点或接触面上的摩擦力合力的作用点。三、摩擦角与自锁1. 全反力：法向反力

33、（正压力）与切向反力（摩擦力）的合力即为，它代表了约束面对物体的全部作用，故称之为全反力。2. 摩擦角：全反力与接触面公法线的夹角为，且其随静摩擦力的变化而变化，当时，夹角也达到最大值，即为（临界）摩擦角。大小：注：也是表示材料和表面摩擦性质的物理量。表示全反力能够偏离法向的范围。3. 摩擦锥：物体与之承面的摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称之为摩擦锥；全反力的作用线不能超出这个摩擦锥。4. 自锁：不论怎样增加主动力的大小，物体总能保持平衡而不移动的现象。注：自锁的条件：。5. 休止角：在堆放松散物质如砂、土、煤和粮食时，能够堆起的最多坡角。6. 自锁的应用与避免：工

34、程上的螺旋千斤顶；轴上斜键的自锁；机床上各种夹具的自锁等等；工作台在导轨中要求能顺利的滑动，不允许发生卡死现象的补：（自重作用时的情形）当时，物体在斜面上保持平衡（不动）；当时，物体开始运动。 用两种材料做斜面与滑块，将滑块放在斜面上，逐渐增大斜面的倾角，直至滑块在自重作用下开始下滑，此时，即。第二节 考虑滑动摩擦时的平衡问题一、解析法：有无摩擦时求解平衡问题的不同：在受力图上要考虑摩擦力的存在；摩擦力是一项未知量，求解时需补充方程因为为一范围取值，所以求解的结果也应是一个范围值，即平衡范围。例：二、几何法：例同上：第三节 滚动摩擦简介1. 库仑滚动摩擦定律：式中：滚动摩擦系数，其单位：；（偏

35、心距的最大值）第五章 点的运动1. 运动学的任务：研究物体在空间的位置随时间的变化规律，而不谈及运动产生的原因。2. 物体在空间的位置必须相对于某给定的物体来确定。3. 参考体：提前给定的物体。4. 参考系：故连在参考体上的坐标系。5. 静参考系或定参考系：在研究大多数的工程实际问题时，总是将故连于地球上坐标系作为参考系。6. 瞬时：指物体运动经过某一位置所对应的时刻，用t表示；时间间隔：两瞬时之间的一段时间，记为：。7. 学习运动学的目的：(1) 为学习动力学及其它后继课程打基础；(2) 运动学在工程技术中也有独立的应用。第一节 用矢径法表示点的位置、速度和加速度一、点的运动方程：，其中称为

36、动点M的失径（或位失）注：动点M在坐标系中的位置由失径唯一地确定。的大小、方向随时间t而改变，故位失可写为时间t的单值连续函数。此方程称为动点M的失径形式的运动方程，其失端曲线即为动点的运动轨迹。三、点的速度速度：表示点运动的快慢和方向的物理量。动点自到，其位移称为，且其大小平均速度：当时，即动点的速度等于动点的失径对时间的一阶导数；动点速度为矢量，其方向为其轨迹曲线在点的切线方向并指向运动的一方，单位：。三、点的加速度：速度的平均变化率即平均加速度：当时，即点的加速度等于它的加速度对时间的一阶，或等于它的失径对时间的二阶导数，单位： 。第二节 用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度（点的轨迹

37、未知时应用）注：通过动点的位置和速度，加速度矢量在直角坐标轴上的投影，将其矢量形式变为代数形式，即根据投影原理来运算。一、点的直角坐标运动方程：当点运动时，坐标x、y、z都是时间的单值连续函数。 动点M的直角坐标运动方程；从中消去t可得到动点M的轨迹方程。二、点的速度在直角坐标轴上的投影则有。即：动点速度在各坐标轴上的投影，分别等于对应的位置坐标对时间的一阶导数。速度的大小：方向：加速度：则：即：加速度大小：方向：注：只要是矢量，都可以用类似的方法求其大小及方向余弦。第三节 用弧坐标法确定点的位置，用自然坐标法确定点的速度和加速度一、用弧坐标建立点的运动方程（代数量），规定正、负方向；单位：m

38、。其增量称为距离，设二、自然轴系以动点M为坐标原点，以轨迹上过M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标轴（切向轴）以指向弧坐标正的方向为其正向，此正交坐标系称为自然轴系，矢量在其上的投影为自然坐标，分别用和表示切向轴和法向轴。三、用自然坐标表示点的速度当时，即上式即；当时，与同向；当时，与反向。四、用自然坐标法表示点的加速度1. 切向加速度：2. 法向加速度：，且（曲率半径）得到：，即矢量的大小为，方向为，可表示为，则有注：由于恒为正，故始终指向该点轨迹的曲率中心；在自然轴系中，点的速度为切向矢量，而点的法向加速度为法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬时变化率。3. 全加速度： 大小：方向：其中，为全加速度与法向轴正向所夹锐角，在的哪一侧，有的正负决定。五、点的运动的几种特殊形式1. 匀速直线运动：为常量，故。2. 匀速曲线运动：为常量，故。