第八章第五节对坐标的曲面积分

1、一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第八章 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxyx)(侧的规定表示 :其面元在 xo

2、y 面上的投影记为,0syx)(的面积为则规定,s,s,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyz)( ,)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . s分析分析: 若 是面积为s 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxrzyxqzyxpv )cos,cos,(cosnvcosvs nvsnv机动 目录 上页 下页 返回 结束 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiipcos),(iiiircos),(0limni 1iyziii

3、p)(,(izxiiiq)(,(ixyiiir)(,(iiiiqcos),(is对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxrzyxqzyxpv 进行分析可得iniviiisnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1iyziiip)(,(izxiiiq)(,(分,yxrxzqzypdddddd记作p, q, r 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.ixyiiir)(,(或第二型曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdpqr),(),(),(z

4、yxrzyxqzyxpa 若对 的任 则称此极限为向量场 a 在有向曲面上对坐标的曲面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zypddxzqdd称为q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxrdd称为r 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为p 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxrxzqzypdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzysns) ),(, ),(, ),(zyxrzyxqzyxpa 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 (1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则 sa dsasaddisa dyxrxzqzypddddddsnadsa d机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设光滑曲面yxdyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxr是 上的连续函数, 则yxzyxrdd),() ,(yxdyxr),(yxzyxdd证证:0limni 1ixyiiir)(,(isixy)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iir),(iizixy)(yxx,yzyxryxddd)(,(yxzyxrdd),(机动 目录 上

6、页 下页 返回 结束 若,),( , ),(:zydzyzyxx则有zyzyxpdd),(), (zy,pzyd),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzdxzxzyy则有xzzyxqdd),() z, ,(xzdxq),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxrdd),() ,(yxdyxr),(yxzyxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取

7、上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxdyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxddd)2(yxdyxadd333axzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxd0,01:),(22yxyxdyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxdyxyxyxdd 1222221cossin2rryxdrrrd1210315220d2sinozyx112yx

8、dyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxdyxxydd )1(22yx yxdyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 ni 1izyiiip)(,(ixziiiq)(,(yxrxzqzypddddddiyxiiir)(,(0lim0limni 1iiiipcos),(iiiiqcos),(iiiircos),(issrqpdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 令yxrxzqzypddddddsrqpdcoscoscossand向量形式),(rqpa )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddy

9、xxzzysns sa dnaansnad( a 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 221cosyxx其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzsdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xxyxd222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxddd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yx

10、dd得代入将,)(2221yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:szyxfd),(iiiniisf),(lim10yxrxzqzypddddddiyziiinip),(lim10ixyiiir),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系izxiiiq),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxrxzqzypddddddyxrxzqzypdddddd联系联系:yxrxzqzypddddddsrqpdcoscoscos思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ddddddzyxyxzxzyi1:222222czbyax取外侧 .解解:zyxdddxdycyxdbyax,2222111dxdycyxdbyax,2222111yxcyxdbyaxdd112,